29.1.1　圆的有关概念 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦圆的定义、弦、弧、点与圆位置关系等核心知识，课堂导入从生活圆形物体及毕达哥拉斯名言切入，引导学生感受数学与生活的联系，通过画圆过程衔接小学知识，搭建学习支架。 该资料特色在于以数学眼光观察生活，通过动手画圆和小组讨论培养几何直观与抽象能力，用“d与r数量关系”推理点与圆位置，例1结合矩形性质深化圆的定义理解，提升学生推理意识与应用能力，为教师提供清晰教学流程与分层训练，助力高效教学。

29.1.1　圆的有关概念 　　　　　　　　　　　　　　　 课题 29.1.1　圆的有关概念 授课人 教 学 目 标 1.探索圆的两种定义,理解并掌握弦、弧、优弧、劣弧、半圆等基本概念,并能够从图形中识别. 2.体会圆的不同定义方法,感受圆和实际生活的联系. 3.理解并掌握点与圆的三种位置关系. 4.在解决问题的过程中,使学生体会数学知识在生活中的普遍性. 教学 重点 　　掌握点与圆的三种位置关系. 教学 难点 　　掌握点与圆的三种位置关系. 授课 类型 新授课 课时 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　圆象征着圆满和谐.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切立体图形中最美的是球,一切平面图形中最美的是圆.” 圆形物体在生活中很常见,许多物体都给我们以圆的形象(图29-1-10). 图29-1-10 　　感受生活中圆形的美,让学生意识到生活中处处有数学,学会用数学的眼光看世界. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 圆的定义 问题1:在小学,我们已经对圆有了初步认识,如图29-1-11,观察画圆的过程,你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 图29-1-11 师生活动:学生观察画圆的过程,并动手尝试画圆.师生共同得出结论: 图29-1-12 如图29-1-12,在一个平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心,线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”. 注意:“圆”指的是“圆周”,不是“圆面”. 问题2:从画圆的过程你还能得出哪些结论呢? 师生活动:学生分小组讨论、交流问题,教师适时点拨,得出结论: (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 因此,圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 　　1.通过动手尝试画圆,培养学生善于观察、动手动脑的习惯,同时通过画圆使学生经历圆的形成过程,在操作中感受定点与动点的关系,进一步认识圆. 活动 二: 探究 与 应用 问题3:确定一个圆的要素是什么? 一是圆心,圆心确定其位置;二是半径,半径确定其大小. 【探究2】 点与圆的位置关系 观察画圆的过程,你还发现了什么? 问题1:平面被圆分成了几部分?教师请同学们回答(三部分). 问题2:相应地,平面内的点与圆有几种位置关系,观察图29-1-13中点A,B,C与☉O的位置关系是怎样的? 图29-1-13 教师板书:平面内的点与圆有三种位置关系:点在圆外,点在圆上,点在圆内. 问题3:设☉O的半径为r,任意一点到圆心O的距离d与半径r的关系. 教师板书:点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系有三种:d>r,d=r,d<r. 问题4:反过来,已知任意一点P到圆心O的距离d和☉O的半径r,能否判断点P和☉O的位置关系? 师生活动:学生进行口答,阐述自己的想法,教师引导全班同学发现、探究规律,继而进行总结归纳. 教师继续板书:d>r⇔点P在圆外; d=r⇔点P在圆上; d<r⇔点P在圆内. 符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端,从右端也可以推出左端. 【探究3】 圆的有关概念 1.弦:连接圆上任意两点的线段叫作弦,经过圆心的弦叫作直径,直径长是半径长的2倍.如图29-1-14,AB,AC是弦,AB是直径. 图29-1-14 注意: (1)弦和直径都是线段; (2)直径是经过圆心的特殊弦; (3)直径是弦,但弦不一定是直径. 探索:圆中最长的弦是什么?为什么? 　　2.通过观察得到点与圆的位置关系,从而总结出规律,学生的思维得到提升. 活动 二: 探究 与 应用 图29-1-15 图中最长的弦是直径. 2.弧:圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧.以A,B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆. 优弧和劣弧: 小于半圆的弧叫作劣弧,如图29-1-16中的; 　图29-1-16 大于半圆的弧叫作优弧,如图中的(用三个字母表示). 3.等圆:能够重合的两个圆叫作等圆.容易看出:同圆或等圆的半径相等;反过来,半径相等的两个圆是等圆. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫作等弧. 练一练: 有以下命题:①半圆是弧,但弧不一定是半圆;②过圆上任意一点只能作一条弦,且这条弦是直径;③弦是直径;④直径是圆中最长的弦;⑤直径不是弦;⑥优弧大于劣弧;⑦以点O为圆心可以画无数个圆.其中正确的个数为 (C) A.1　　　　　　B.2　　　　　　C.3　　　　　　D.4 　　 3.在探索过程中,教师通过问题的引导,有助于学生对弦、直径、弧、半圆等概念的理解.教师指导学生理解弧与弦的对应关系,对学生以后的学习起到铺垫作用. 【理解应用】 　　例1　如图29-1-17,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 图29-1-17 证明:∵四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于点O, 图29-1-18 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD,　 ∴OA=OC=OB=OD, ∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上(图29-1-18). 师生活动:学生思考问题,教师进行个别提问,学生进行阐述,教师进行总结. 　　1.例1是利用矩形的性质得到线段的相等关系,再根据圆的定义进行证明,让学生在一定的图形背景中深刻理解圆的定义,有一定的综合性和灵活性. 活动 二: 探究 与 应用 　　例2　☉O的半径为10,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和☉O的位置关系: (1)8;(2)10;(3)12. [答案:(1)点P在☉O内　(2)点P在☉O上　(3)点P在☉O外] 变式　在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,以点B为圆心,BC为半径作圆,点A,C和☉B有怎样的位置关系? [答案:点C在☉B上,点A在☉B外] 　　2.例2及变式加深了学生对点与圆的位置关系的理解. 【拓展提升】 例3　如图29-1-19,AB是半圆O的直径,AC是弦.若∠ACO=22°,则∠COB的度数为　44°　.  图29-1-19 　　例4　如图29-1-20,在☉O中,D,E分别为半径OA,OB上的点,且AD=BE,C为上的点,连接CD,CE,CO,∠AOC=∠BOC.求证:CD=CE.[答案:略] 　图29-1-20 师生活动:学生积极思考,快速解答问题,并与老师进行交流,确定答案,理解知识. 教师进行个别提问,在得到学生答案的同时,引导学生说明理由,同时给予必要的指导和解释. 　　此环节所设计的问题是利用圆的特征及三角形外角性质、全等三角形的性质与判定解决问题,有利于培养学生灵活应用所学的知识解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.下列说法中错误的是 (B) A.直径相等的两个圆是等圆 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧 2.已知☉O的直径为10 cm,点P不在☉O外,则OP的长 (B) A.小于5 cm B.不大于5 cm C.小于10 cm D.不大于10 cm 3.点A在以点O为圆心,3 cm为半径的圆内,则点A到圆心O的距离d的范围是　0 cm≤d<3 cm　.  活动 三: 课堂 总结 反思 4.如图29-1-21,AB,AC为☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C.求证:CE=BF. 　图29-1-21 证明:∵OB,OC是☉O的半径,∴OB=OC. 又∵∠B=∠C,∠BOE=∠COF, ∴△EOB≌△FOC(ASA),∴OE=OF. ∵CE=OC+OE,BF=OB+OF, ∴CE=BF. 5.如图29-1-22,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作☉C,半径为r. (1)当r在什么范围内时,点A,B在☉C外? (2)当r在什么范围内时,点A在☉C内,点B在☉C外? 　图29-1-22 解:(1)当0<r<3时,点A,B在☉C外. (2)当3<r<4时,点A在☉C内,点B在☉C外. 师生活动:学生进行当堂检测,完成后,教师进行个别提问,并指导学生解释做题理由和做题方法,使学生在思考解答的基础上,共同交流,形成共识,确定答案. 　　当堂训练是为了加深对所学知识的理解运用,在问题的选择上以基础为主,疑难点突出,增加开放型、探究型问题,使学生思维得到拓展,能力得以提升. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境和探究新知的环节中,重视学生的生活经验和已有的知识储备,学生学习较为轻松,乐于接受和创新;在课堂训练环节中,教师多多引导,由学生自由发言,重视学生能力的培养. ②[讲授效果反思] 教师解析新知时,注意强调:(1)圆是封闭图形,有内部和外部之分;(2)对于等弧定义的理解;(3)弧的分类有三种,不要忽略半圆;(4)点与圆位置关系的数量化. ③[师生互动反思] 从整个教学过程来看,学生能够积极参与课堂,主动探究,增强了解决实际问题的能力. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $