29.3　弧长和扇形面积 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦弧长、扇形面积及圆锥侧面积与全面积的计算，通过情景（弯形管道展直长度）、类比（回顾圆周长面积公式）等导入方式，从旧知过渡到新知，构建知识学习支架。 资料亮点在于多情境导入培养数学眼光，如管道问题引导发现弧长需求，公式推导过程强化数学思维，通过圆心角占比推理弧长公式，圆锥展开实验发展空间观念，实际应用问题提升数学语言表达能力，助力学生知识迁移，为教师提供多样化教学资源。

29.3　弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 教师备课　素材示例 ●情景导入　制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及计算弧长的问题． 提出问题后，指出解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积． 【教学与建议】教学：通过计算“展直长度”的导入，建立圆和扇形的模型．建议：探索扇形弧长时，可以让学生先理解圆心角是1°的弧长是多少． ●类比导入　(1)圆的周长公式和圆的面积公式分别是什么？ (2)如图，某圆拱桥的半径是40 m，桥拱所对的圆心角∠AOB＝90°，你会求桥拱的长度吗？ (3)180°，90°，45°，n°的圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？圆心角为180°，90°，45°，n°的扇形面积分别是圆面积的几分之几？ 分析：如图①，圆心角是180°，占整个周角的____，因此180°的圆心角所对的弧长是圆周长的____，圆心角是180°的扇形面积是圆面积的____； 　　 　　 　　 如图②，圆心角是90°，占整个周角的____，因此90°的圆心角所对的弧长是圆周长的____，圆心角是90°的扇形面积是圆面积的____； 如图③，圆心角是45°，占整个周角的____，因此45°的圆心角所对的弧长是圆周长的____，圆心角是45°的扇形面积是圆面积的____； 如图④，圆心角是n°，占整个周角的____，因此n°的圆心角所对的弧长是圆周长的____，圆心角是n°的扇形面积是圆面积的____. (4)在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长是____，面积是____． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【教学与建议】教学：通过对圆周长和面积公式的回顾，类比旧知识的学习方法来学习新知识．建议：从n°的圆心角所对的弧长和扇形面积分别占圆周长和面积的比例引导学生推导弧长公式及扇形面积公式． ●置疑导入　如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm. (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 【教学与建议】教学：圆心角从0到n°计算弧长，得出弧长公式．建议：探索弧长公式时，先理解1°的圆心角所对的弧长是多少． 命题角度1　利用弧长公式进行计算 灵活运用弧长公式解决问题． 【例1】(1)已知扇形的半径为6，圆心角为90°，则它的弧长是__3π__． (2)已知扇形的弧长为3π，半径为，则此扇形的圆心角为__120°__． 命题角度2　利用扇形的面积公式进行计算 利用S＝＝lR灵活解决扇形有关计算． 【例2】(1)一个扇形的圆心角为60°，半径为6 cm，则此扇形的面积是__6π__cm2. (2)一个扇形的圆心角为120°，面积为12π cm2，则此扇形的半径为__6__cm. 命题角度3　求图中阴影部分的面积 求组合图形的面积就是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差． 【例3】(1)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为 (B) A．π B．π C．π D．2π 　　　 (2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2.将△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，连接A′B′，则图中阴影部分的面积为__2π－__． 高效课堂　教学设计 1．以圆的周长和面积为基础，探究弧长和扇形的面积公式，并会用来计算弧长和扇形面积． 2．能利用弧长、扇形面积计算公式计算简单组合图形的周长和面积． ▲重点 经历探究弧长和扇形面积公式的过程． ▲难点 用公式解决实际问题． ◆活动1　新课导入 中国是世界上最早使用扇子的国家．自扇子传世以来，相关的趣闻轶事多不胜数；随着时代的发展，扇子不仅仅是一种纳凉工具，更是一种备受人们喜爱的工艺品．如图，扇子面的纸张面积如何计算，外围弧长又如何计算？ ◆活动2　探究新知 1．教材P134　思考． 提出问题： (1)你还记得圆周长的计算公式吗？写出来：__C＝2πR__． (2)圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？__答：360°__． (3)1°的圆心角所对的弧长是多少？__答：__． n°的圆心角所对的弧长是多少？__答：__． (4)由此不难得出：半径是R，所对圆心角是n°的弧的弧长是____． 学生完成并交流展示． 2．类比弧长公式的推导，如何推导扇形的面积公式？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____，n°的圆心角所对的弧长是____． 2．在半径为R的圆中，圆心角为1°的扇形面积是____，圆心角为n°的扇形面积是____． 3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝__lR__． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动4　例题与练习 例1　如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧.已知半径OA＝60 cm，∠AOB＝108°，则管道的长度(即AB的长)为多少？(结果保留π) 解：设的长为l cm.∵R＝60 cm，n°＝108°， ∴l＝＝＝36π(cm). 答：管道的长度为36 π cm. 例2　如图，两个同心圆被两条半径截得的的长度为5π，的长度为7π，AC＝4，求阴影部分的面积(ABDC的面积)． 解：设圆心角为n°，则的长l1＝，的长l2＝. ∴S阴影＝－＝(R－R)＝(R1＋R2)(R1－R2)＝(＋)(R1－R2)＝(l1＋l2)(R1－R2)＝(7π＋5π)×4＝24π. 答：阴影部分的面积为24π. 练习 1．教材P136　练习第1，2，3题． 2．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为 (　C　) 　A．π　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．π 3．如图，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 (　A　) 　A．6π　　 　B．5π　 　 　C．4π　　 　D．3π ◆活动5　课堂小结 1．弧长公式． 2．扇形的面积公式． 1．作业布置 (1)教材P138　习题29.3第2，3题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　圆锥的侧面积和全面积 教师备课　素材示例 ●归纳导入　(1)欣赏以下圆锥图片： (2)如果沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，能得到什么图形？圆锥的侧面积如何求？ 【归纳】①圆锥的侧面展开图是扇形；②侧面展开图(扇形)的半径＝母线的长；③侧面展开图(扇形)的弧长＝底面圆的周长. 【教学与建议】教学：通过圆锥图片的欣赏，归纳出圆锥展开图与扇形各元素之间的关系．建议：试验操作归纳圆锥侧面展开图的特点． ●置疑导入　操作：如图，把一个课前准备好的圆锥模型的侧面沿着母线剪开(也可以通过Flash展示圆锥侧面展开的过程)． 问题：(1)圆锥的侧面展开图是什么图形？ (2)圆锥的母线有几条？ (3)沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 【教学与建议】教学：把圆锥侧面展开的过程现场展示给学生，发现圆锥侧面展开前后的等量关系．建议：让学生自主操作． 命题角度1　有关圆锥的侧面展开图的计算 灵活运用圆锥侧面积公式解决弧长、半径、圆心角等计算问题． 【例1】(1)圆锥的母线长为4 cm，底面圆半径为3 cm，则该圆锥的侧面积是__12π__cm2. (2)用一块直径为2，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是____． (3)圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高是__5__cm. 命题角度2　圆锥的全面积的计算 圆锥的全面积＝侧面积＋底面积． 【例2】(1)如果圆锥的母线长5 cm，底面半径为3 cm，那么圆锥的全面积是__24π__cm2. (2)一个圆锥侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是__48π__． 命题角度3　圆柱和圆锥组合体的侧面积 实际问题中比如蒙古包的侧面积的计算，还有把一个直角三角形沿着不同的边旋转一周形成的图形的侧面积的计算是常见的考题． 【例3】(1)若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积是 (B) A．60π B．65π C．78π D．120π (2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝7 cm，BC＝CD＝4 cm，以AB所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求它的全面积． 解：∵在Rt△AOD中，AO＝7－4＝3(cm)，OD＝4 cm， ∴AD＝＝5(cm)， ∴所得到的几何体的全面积为π×4×5＋π×4×2×4＋π×4×4＝68π(cm2). 球的体积公式 如图，在小学，我们曾通过试验归纳出圆锥的体积等于三分之一倍的底面积乘以高．现在我们取一个半径为R的半球面，再取一个半径和高都是R的圆锥容器．两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满．试根据这一试验猜想半径为R的球的体积公式. 高效课堂　教学设计 1．通过实验，知道圆锥的侧面展开图是扇形，并了解圆锥各部分名称． 2．能够计算圆锥的侧面积和全面积． ▲重点 了解圆锥的侧面积、全面积和计算公式，并能用它进行计算． ▲难点 探求圆锥的侧面积、全面积和计算公式的过程． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动1　新课导入 1．(1)半径是R，n°的圆心角所对的弧长的计算公式是__l＝__； (2)半径为R，圆心角为n°的扇形面积的计算公式是__S＝__； (3)半径为R，弧长为l的扇形面积的计算公式是__S＝lR__． 2．如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，OA＝15 cm，底面圆半径为10 cm，要生产这种帽子1 000个，你能帮玩具厂算一算至少需要多少平方米的材料吗？ ◆活动2　探究新知 1．教材P137　思考． 提出问题： (1)圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？ (2)圆锥展开得到的平面图由哪几部分构成？这个新图形的哪些量与圆锥的哪些量有关？ (3)圆锥的侧面积有几种算法？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．圆锥是由一个__底面__和一个__侧面__围成的几何体，连接圆锥__顶点__和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点和__底面圆心__的线段叫作圆锥的高． 　 2．圆锥的侧面展开图是一个__扇形__，其半径为圆锥的__母线__，弧长是圆锥底面圆的__周长__． 3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式：__l2＝h2＋r2__，圆锥的侧面积S＝__πrl__；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝__πr2＋πrl__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P137　例3. 例2　如图，半径是10 cm的纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形(图中阴影部分)，用剩余部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，母线长a，则a＝10 cm. 由弧长公式l＝，得l＝＝π(cm)， ∴2πr＝π，解得r＝. ∴圆锥的高h＝＝＝(cm). ∴圆锥的高为 cm，底面圆的半径为 cm. 例3　一个圆锥的高是10 cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积． 　解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l.∵圆锥的高为10 cm，∴l2－r2＝100.又∵侧面展开图是半圆，∴S扇形＝S圆，即·2πr·l＝πl2，∴l＝2r.把l＝2r代入l2－r2＝100，得r2＝.∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr·2r＝2πr2＝2π·＝(cm2). 练习 1．教材P138　练习第1，2题． 2．一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为___cm__． 3．如图，已知圆锥的底面圆的半径r为10 cm，母线长l为40 cm，求它的侧面展开图的圆心角和它的全面积． 解：设侧面展开图的圆心角为n°. ∴的长为2πr＝20π cm. ∵SA＝40 cm，∴20π＝，解得n＝90， ∴它的侧面展开图的圆心角为90°， ∴S全＝S侧＋S底＝＋100π＝500π(cm2). ◆活动5　课堂小结 1．圆锥的母线长等于扇形的半径；扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长． 2．圆锥侧面展开图的有关计算． 1．作业布置 (1)教材P139　习题29.3第6，7，8题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $