28.2（第1课时 ）中心对称（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 初中数学中心对称同步练，分层设计为“概念辨析-作图技能-对称中心确定-性质综合应用”四层次，知识覆盖从单一概念到综合计算，适配新授课基础巩固与能力提升需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|成中心对称概念辨析、坐标计算|结合生活情境（如哪吒图片变换），选择题与填空题结合，强化概念理解| |技能层|已知图形关于某点对称作图|网格作图题为主，融合坐标变换，培养空间观念| |理解层|两个图形对称中心确定|通过坐标与图形位置关系，训练对称中心判定推理| |综合层|性质应用求面积、长度、角度|结合函数与几何（如反比例函数与中心对称），提升综合解题能力|

28.2（第1课时 ）中心对称（原卷版） 目 录 类型一、成中心对称 1 类型二、画已知图形关于某点对称的图形 5 类型三、画两个图形的对称中心 10 类型四、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 15 类型一、成中心对称 1．《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画电影发展，提升中国文化影响力．如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是（     ） A．中心对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称 2．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 3．给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 5．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法中判断错误的是（    ） A．对应点与旋转中心所连线段的夹角一定等于旋转角 B．成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心 C．若过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成两个梯形，则这两个梯形一定全等 D．由两个全等的梯形一定能拼成一个菱形 9．如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 12．下列说法中正确的是（   ） A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C．平移改变图形的形状和大小 D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 13．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 14．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，⋯，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B．1 C． D．0 15．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①；②二次函数和图像关于轴对称；③；所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 16．如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________． 17．在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是______． 18．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点成中心对称，则________． 19．如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为____________，点C的坐标为______，则点D的坐标为____． 20．在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是________． 21．点关于点中心对称的点的坐标是_______． 22．小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是___________． 23．数轴上点，，表示的数分别为，和． (1)若，，三个点中有两个点恰好关于另一个点成中心对称，求出的值． (2)线段与线段关于原点成中心对称，若点在上，求出的取值范围． 24．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 25．在正方形网格中，三个顶点的位置如图所示 (1)画出关于点的中心对称的图形： (2)画出关于直线的轴对称的图形； (3)画出与的对称轴直线． 26．按下列要求画一个与已知四边形成中心对称的四边形； (1)以顶点A为对称中心 (2)以的中点O为对称中心． 类型二、画已知图形关于某点对称的图形 27．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     28．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 29．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 30．与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 31．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 32．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 33．如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后，点旋转后对应点的坐标． 34．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)经过平移，的顶点移到了点，画出平移后的； (2)以点为对称中心，画出与成中心对称的． 35．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察发现，与关于点成中心对称，则点的坐标是______． 36．如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 37．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中作，使与关于直线对称； (2)在图2中作，使与关于点成中心对称． 38．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)将绕点C逆时针旋转，画出旋转后得到的； 39．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出点，，，并画出； (2)将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的； (3)若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为______． 40．如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； (2)在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为______________； (3)已知在x轴上有一点P，使周长最小，试求出点P的坐标． 类型三、画两个图形的对称中心 41．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 42．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 43．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 44．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 45．如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　） A． B． C． D． 46．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 47．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 48．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 49．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 50．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H点的坐标是_________．    51．如图，在正方形网格中有，直线直线n，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为______； (2)请画出以点O为对称中心的对称图形； (3)与成中心对称，请画出它们的对称中心M． 52．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 53．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为． (1)点的坐标为________，请画出； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 54．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位所得的，并求平移过程中扫过的面积； (2)画出关于原点对称的； (3)若与关于点成中心对称，求点的坐标． 55．如图，在正方形网格中有，直线，互相垂直，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心（保留作图痕迹）；若不是，说明理由． 类型四、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 56．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 57．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 58．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 59．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 60．如图1是一个由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，其中，．连接，，，交于点，图中阴影部分形如美丽的风车，如图2，其中，．当风车四个叶片面积都相等时，菱形的边长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 61．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 62．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 63．如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 64．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 65．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 66．综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 67．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下两个问题（每个问题画线不超过5条）． (1)在图1中，画；连接，再作关于的对称点； (2)在图2中，点是竖格线上一点，先画出的中点；在上找一点，交于点，使得． 68．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 69．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 70．如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． (1)_________；_________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形为轴对称图形时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 1．如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（  ）    A． B． C． D． 2．如图，点为矩形的对角线的交点，点从点出发，沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B．正方形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 3．如图，是等腰三角形的底边中线，与关于点中心对称，连接，则的长是（　　）    A．4 B． C． D． 4．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 6．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 7．如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P．若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线的函数解析式为______． 8．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 9．综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“两次轴对称变换”主题下设计的问题． (1)【观察发现】如图1、图2的网格图中与关于直线对称，与关于直线对称． ①【发现1】图1中直线，且与的水平距离为4个单位，那么可以看作是向右平移得到的，平移距离为__________个单位长度． ②【发现2】图2中直线与相交于点，所夹锐角为，那么可以看作是绕旋转中心__________，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为__________． (2)【操作实践】①如图3，直线与垂直，垂足为点，请作出关于直线的轴对称图形． ②【发现3】与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (3)【拓展应用】如图4，通过两次轴对称变换使得线段与线段重合，请画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段． 10．探究解题 (1)如图1，与相交于点O，连接，，，点E为边上一点，连接并延长交边于点F，求证：； (2)如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q； (3)如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q． 1．在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标都为整数，则称该点为“整点”．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都是整点，其坐标分别为，，．与关于整点成中心对称． (1)在网格中作出； (2)直接写出内部（不含边界）的“整点”坐标； (3)若在网格区域内（包含边界）存在“整点”，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 2．若一次函数的图象经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． (1)的值为_________； (2)若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； (3)已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求此时点的坐标； ②若线段与矩形的边有且只有两个公共点，的取值范围是___________________． 3．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： (1)画出平移后的，使得C点的对应点是点． (2)画出关于点O成中心对称的． (3)点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 4．问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． (1)探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． (2)探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． (3)拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 5．定义：如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． (1)如图2，六边形是“对等角六边形”．若，，连接，．求证：． (2)如图3，六边形是“对等角六边形”，求证：． (3)如图4，在“对等角六边形”中，对角线，，交于点O，已知，求四边形的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2（第1课时 ）中心对称（解析版） 目 录 类型一、成中心对称 1 类型二、画已知图形关于某点对称的图形 16 类型三、画两个图形的对称中心 30 类型四、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 44 类型一、成中心对称 1．《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画电影发展，提升中国文化影响力．如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是（     ） A．中心对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】D 【详解】解：由图可知，两个哪吒的图片成轴对称. 2．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质确定两个三角形的位置关系，再依次判断平移、轴对称、中心对称三种变换能否一次完成重合，选出正确选项． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 点与点、点与点关于点中心对称， ∴ 绕点旋转（一次中心对称变换）可与完全重合， 平移、一次轴对称变换无法使两个三角形重合， 故正确的是C项． 3．给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平移、轴对称、旋转、中心对称的性质，逐个判断四个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①根据平移的性质，平移前后对应点的连线段平行或共线且长度相等，因此对应点的连线段一定相等，①是真命题； ②成轴对称的两个图形，对称轴是对应点连线的垂直平分线，命题将二者关系颠倒，②是假命题； ③根据旋转的性质，旋转前后所有对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，因此都相等，③是真命题； ④根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，命题描述正确，④是真命题； 综上，真命题共个． 4．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，点是线段的中点，利用数轴上两点间的距离公式列方程求解即可； 【详解】解：设点对应的实数为， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵ 点关于点的对称点为点， ∴ 点是线段的中点，即， ∴， 解得， 即点C所对应的实数为． 5．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 6．已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 7．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 8．下列说法中判断错误的是（    ） A．对应点与旋转中心所连线段的夹角一定等于旋转角 B．成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心 C．若过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成两个梯形，则这两个梯形一定全等 D．由两个全等的梯形一定能拼成一个菱形 【答案】D 【分析】本题考查旋转、中心对称、菱形和梯形的性质． 选项A和B涉及旋转和中心对称的基本定义，正确；选项C利用菱形的中心对称性，过对角线交点的直线分成的两个图形全等，正确；选项D中，两个全等的梯形不一定能拼成菱形，错误． 【详解】解：选项A：旋转前后，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，这是旋转的基本性质，正确； 选项B：成中心对称的两个图形，对应点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，正确； 选项C：菱形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，过对称中心的任意直线将菱形分成两个全等图形，若分成的图形是梯形，则它们全等，正确； 选项D：两个全等的梯形可能拼成平行四边形，但拼成菱形需满足四边相等，这不是必然的，错误； 故选：D． 9．如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．根据题意可得，点和点关于原点对称，据此求出的坐标即可． 【详解】解：和关于原点中心对称， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴的坐标为． 故选：D． 11．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 12．下列说法中正确的是（   ） A．如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称 B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等 C．平移改变图形的形状和大小 D．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移，中心对称图形的定义和性质依次即可判断． 【详解】解：A. 如果把一个图形绕一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，故选项错误； B. 如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点到对称中心之间的距离相等，故选项错误； C. 平移不改变图形的形状和大小，故选项错误； D. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故选项正确； 故选D． 13．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 14．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，⋯，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这10个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴． 15．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①；②二次函数和图像关于轴对称；③；所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，中心对称图形的性质，利用对称轴方程可得，即可判定①；由可判定②；设，则点关于点的对称点的坐标为，可得点在二次函数的图像上，即得点和点关于点对称，即可判定③，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ∴，对称轴为直线， 即， 解得，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴互为相反数， ∴二次函数和图像关于轴对称，故②正确； 如图，点在二次函数的图像上，点在二次函数的图像上，设，则点关于点的对称点的坐标为， 把代入，得， 把代入，得， ∴点在二次函数的图像上， 即点和点关于点对称， ∴，故③正确； 综上，正确的结论为①②③，共个， 故选：． 16．如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得点、关于原点中心对称，求出，即的横坐标为，代入反比例函数解析式即可解答． 【详解】解：反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B， ∴点、关于原点中心对称， 即， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∵点在第二象限， ∴的横坐标为． 将代入反比例函数，得， 因此点的坐标为． 17．在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，点P是点A和点B的中点，应用中点公式进行列式计算，求解点B的坐标，即可作答． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵点与点B关于点成中心对称， ∴点是的中点 ∵点，点， ∴横坐标：，纵坐标： ∴，． ∴点B的坐标为， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点成中心对称，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的变换，二次函数图象上点的坐标特征，中心对称的性质，根据抛物线顶点坐标的对称性表示出抛物线的顶点坐标是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，结合中心对称的性质，求得抛物线顶点坐标，进而得到抛物线的解析式，整理对比得到、、的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线与抛物线关于点成中心对称， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线的解析式为， ，，， ， ． 故答案为： ． 19．如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为____________，点C的坐标为______，则点D的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，轴对称和中心对称图形的性质．根据轴对称和中心对称的性质，得出对称点的坐标关系是解答本题的关键．根据题意，可知A、B两点关于x轴对称，B、D两点关于原点O对称，B、C两点关于y轴对称，然后由轴对称的性质求出A、C、D三点的坐标． 【详解】解：长方形的两条对称轴作为x轴，y轴． 、B两点关于x轴对称，，，则点A坐标为； B、C两点关于y轴对称，，，则点C坐标为； B、D两点关于原点O对称，，，则点D坐标为； 故答案为：；；． 20．在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据题意列出算式． 先根据题意，列出算式，再计算． 【详解】解：∵在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为， ∴点表示的数是． 故答案为：． 21．点关于点中心对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握关于中心对称的两个点，到对称中心的距离相等．由M、N关于点A成中心对称，得出点A为的中点，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 【详解】解：设点关于点中心对称的点为， ∵点关于点的中心对称点为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为． 故答案为：． 22．小好同学用计算机软件绘制函数的图象如图所示，发现它关于点成中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，，……得出，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴ ∵， 当时，，即，即 ∵关于点中心对称的点为，即当时，， ∴， 故答案为：． 23．数轴上点，，表示的数分别为，和． (1)若，，三个点中有两个点恰好关于另一个点成中心对称，求出的值． (2)线段与线段关于原点成中心对称，若点在上，求出的取值范围． 【答案】(1)的值为，，； (2)的取值范围是． 【分析】分三种对称中心的情况，利用数轴中点公式列方程求解； 先求出关于原点对称的点、表示的数，再根据点在线段上的不等关系列不等式组求解． 【详解】（1）解：数轴上两点关于某点成中心对称，则该点为两点的中点，中点表示的数为两点表示数的平均数， 分三种情况讨论： 若点是，的对称中心，则，解得； 若点是，的对称中心，则，解得； 若点是，的对称中心，则，解得； 综上所述，的值为，，； （2）解：∵线段与关于原点成中心对称， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴线段的左端点为表示为，右端点为表示为， ∵点在上， ∴， 解得． 24．如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点关于点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积． 25．在正方形网格中，三个顶点的位置如图所示 (1)画出关于点的中心对称的图形： (2)画出关于直线的轴对称的图形； (3)画出与的对称轴直线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 如图，直线即为所求． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）结合网格即可画出与的对称轴． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 26．按下列要求画一个与已知四边形成中心对称的四边形； (1)以顶点A为对称中心 (2)以的中点O为对称中心． 【答案】(1) 解：如图，四边形即为所求； (2) 解：如图，四边形即为所求． 【分析】本题考查了中心对称图形的画法，解题的关键是掌握中心对称的性质．对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分． （1）以为对称中心，分别延长至，使； （2）以为对称中心，与互为对称点，分别延长至, 使 【详解】（1）解：延长至，使；延长至，使；延长至，使；连接． （2）解：连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接． 类型二、画已知图形关于某点对称的图形 27．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 28．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 29．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答． 【详解】如图，取格点，连接，，取格点E，F． ∵， ∴， ∴， ∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合． 同理可证：点B与点关于点O对称， ∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上， 故嘉嘉说法正确； 由中心对称的性质得， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形， 故淇淇说法正确． 故选C．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 30．与在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点成中心对称，其中点，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由于点A1与点A关于原点O成中心对称，点A（4，2），所以点A1的坐标为（-4，-2），故选B． 考点：中心对称． 31．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 32．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 【答案】(1)如图，即为所求， 的坐标为； (2)即为所求， 【分析】（1）根据关于原点对称的图形的性质作图即可，再写出点的坐标 （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 33．如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后，点旋转后对应点的坐标． 【答案】(1)如图所示 (2) 【分析】（1）根据网格结构找出点、、旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点绕点顺时针旋转后的位置，然后写出坐标即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由旋转的性质及网格特征可得，点的坐标为． 34．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． (1)经过平移，的顶点移到了点，画出平移后的； (2)以点为对称中心，画出与成中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求作的三角形； (2)如图，即为所求作的三角形； 【分析】（1）先根据点的对应点判断平移的方式，再确定点，的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点，，的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点，，， ∴把先向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∵，， ∴，，即，， 作图略； （2）解：∵，，， ∴，，． 作图略． 35．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察发现，与关于点成中心对称，则点的坐标是______． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2)解：如图，即为所求． (3) 【分析】（1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）连接，，，相交于点，可知与关于点中心对称． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：观察图形可知，与关于点中心对称． 36．如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中心对称的意义，作图即可； （2）根据菱形的判定和性质，结合题意，画图即可； 【详解】（1）略 （2）略 37．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图1中作，使与关于直线对称； (2)在图2中作，使与关于点成中心对称． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称图形的特点作出图形即可； （2）根据中心对称图形的特点作出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 38．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)将绕点C逆时针旋转，画出旋转后得到的； 【答案】(1)如图，为所求 (2)如图，为所求 (3)如图，为所求 【分析】（1）根据平移规律找出，进而作图即可； （2）找出关于原点O成中心对称的，进而作图即可； （3）根据旋转的性质得到，进而作图即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 39．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出点，，，并画出； (2)将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的； (3)若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为______． 【答案】(1)点，，，即为所求， (2)，即为所求， (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出； （2）根据平移的性质即可作出，根据中心对称图形的性质即可作出； （3）根据坐标平移的法则，以及成中心对称图形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：∵为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为， ∴点的坐标为，即． 40．如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； (2)在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为______________； (3)已知在x轴上有一点P，使周长最小，试求出点P的坐标． 【答案】(1)如图，，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质和旋转的性质，画出图形即可； （2）结合（1）的作图方法即可解答； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，则点P即为所求，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点以点O为对称中心的对应点坐标为， 点以点O为旋转中心，顺时针方向旋转后对应点的坐标为， 即点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，则点P即为所求． ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为． 类型三、画两个图形的对称中心 41．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 42．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 43．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 44．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 45．如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标，由此即可得． 【详解】解：由图可知，， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标均为， 与的对称中心是， 故选：B． 【点睛】本题考查了求对称中心，正确找出两个三角形旋转后的对应点是解题关键． 46．如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 47．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 48．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 49．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 50．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H点的坐标是_________．    【答案】（2，-1） 【分析】连接对应点AD、CF，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心H点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：如图，连接AD、CF，则交点就是对称中心H点．    观察图形可知，H（2，-1）． 故答案为：（2，-1）． 【点睛】本题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定H点位置是解决问题的关键． 51．如图，在正方形网格中有，直线直线n，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为______； (2)请画出以点O为对称中心的对称图形； (3)与成中心对称，请画出它们的对称中心M． 【答案】(1)6；作图如下： (2) (3) 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画图，线段扫过的部分为四边形，再利用网格法求面积即可； （2）利用中心对称的性质进行画图即可； （3）连接，此时的交点即为对称中心为． 【详解】（1）解：连接，如图， 由图可得，线段扫过的图形为四边形， ∴面积为； （2）略 （3）略 52．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)将平移，使点A移动到点，请画出； (2)作出关于O点成中心对称的； (3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）先根据平移的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，再顺次连接即可； （3）根据中心对称的定义判断，进而根据平面直角坐标系写出对称中心的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：与关于点P中心对称，如图，对称中心的坐标为． 53．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为． (1)点的坐标为________，请画出； (2)是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)，图见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出，并读取点的坐标； （2）结合是的边AC上一点，将平移后点P的对应点是，得出平移规律是向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，据此画出平移后的； （3）连接对应点，它们的交点即为对称中心点，再读取坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 则点的坐标为； （2）解：所作如图所示： （3）解：∵和关于某一点成中心对称， ∴图中点即为对称中心，的坐标为． 54．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位所得的，并求平移过程中扫过的面积； (2)画出关于原点对称的； (3)若与关于点成中心对称，求点的坐标． 【答案】(1)即为所求； (2) 即为所求： (3) 【分析】（1）根据平移的性质，画出，顺次连接，即可求解，再求得平行四边形的面积即可； （2）根据关于原点的对称的性质画出点，顺次连接，即可求解； （3）连接，找到中点即为所求，根据坐标系写成点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：平移过程中扫过的面积为 （2）略 （3）解：如图， 55．如图，在正方形网格中有，直线，互相垂直，垂足为O． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心（保留作图痕迹）；若不是，说明理由． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 如图，与成中心对称．如图点即为所求 【分析】（1）先根据平移的规律找到点，再依次连接得，即可作答； （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答； （3）观察与，得出与成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 类型四、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 56．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． 57．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 58．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 59．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 60．如图1是一个由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，其中，．连接，，，交于点，图中阴影部分形如美丽的风车，如图2，其中，．当风车四个叶片面积都相等时，菱形的边长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据题意和图形拼接特点，推断出 共线， 共线，利用全等三角形性质得出线段长度关系；设菱形边长为 ，表示出相关线段长；利用三角形面积公式及中点性质，根据“风车四个叶片面积都相等”建立方程求解． 【详解】解：∵由两组不同的全等三角形和一个菱形拼接而成的中心对称图形，，， ∴，，菱形， ，， 设菱形的边长为，则， ， 分别过作菱形四边垂线，垂足分别为， ∵菱形， ∴平分， ∴， 同理可得， 设， ∴，，，， ∵风车四个叶片面积都相等， ∴， 解得， ∴菱形的边长为， 故选：B． 61．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 62．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质得出，，，根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵图形是一个中心对称图形，为对称中心，，，， ∴，，， ∴， ∴． 63．如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可知阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称图形，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 64．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 65．如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 66．综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 【答案】(1)①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2)如图所示： 先找到两个矩形的中心，然后连接中心直线m即为所求 【分析】（1）①通过证明即可判断，的数量关系； ②利用平行四边形和全等三角形的性质得到，，然后利用等式的性质求解； （2）直接利用矩形的性质结合中心对称图形的性质得出答案． 【详解】（1）解：① ②∵在中， 又由①可知 ∴ ∴ 即； （2）略 67．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中，，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下两个问题（每个问题画线不超过5条）． (1)在图1中，画；连接，再作关于的对称点； (2)在图2中，点是竖格线上一点，先画出的中点；在上找一点，交于点，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先画；连接，作网格的对角线，则，再作网格的对角线，则交于点； （2）取与竖格线的交点，连接并延长交竖格线于点，则，连接交于点，连接并延长交于点，则，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，设交于点，交于点， ∵， ∴到的距离等于的长， ∵ ∴ ∴到的距离等于的长 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴到的距离相等 ∴ ∴点是关于的对称点； （2）解：如图，连接 由作图可得 ∴四边形是平行四边形 又∵为对角线中点，平行四边形是中心对称图形，且为对称中心， ∴ 68．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2)42 【分析】（1）首先由中心对称的性质得到，，然后推出，即可得到四边形是平行四边形； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，得到，，，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 69．如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】(1) 证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 【详解】（1）略； （2）解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． 70．如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． (1)_________；_________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形为轴对称图形时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)证明：点和关于点对称，点C和E关于点P对称， ，； 四边形是平行四边形． (3)或 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据已知得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （2）根据对称的性质可得，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （3）分情况讨论：①当四边形为矩形时，②当四边形是菱形时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点，则四边形是矩形，得，即点到的距离，根据对称性可得到的距离相等，则，证明，得出，得出，证明得出，进而根据，即可求解；当在的右侧时，同理可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论， ①当四边形为矩形时，则 ∴在上， 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当四边形是菱形时，则， ∴重合， ∵ ∴ 综上所述，四边形为轴对称图形时，或 （4）解：当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点到的距离， ∵关于点对称，点在射线上， ∴到的距离相等， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴，即点是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图 同理可得 综上所述，的长为：或 1．如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线，交延长线于点A，交最左侧菱形对边分别于点，交最右侧上方菱形一边于点F，过点作，垂足为G，   菱形是中心对称图形， 经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由中心对称图形可知， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 2．如图，点为矩形的对角线的交点，点从点出发，沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B．正方形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 【答案】A 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况，这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点与点重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形， 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是确定与的位置关系． 3．如图，是等腰三角形的底边中线，与关于点中心对称，连接，则的长是（　　）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据与关于点中心对称，可得，再根据勾股定理可得的长． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线， ∴， ∴， ∵与关于点中心对称， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 4．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的坐标为，由于、关于点对称，则， 【详解】解：设的坐标为， 和关于点对称． ，， 解得， 点的坐标 故选：． 【点睛】本题主要考查了一个关于一点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，且弄清中心对称的点的坐标特征． 5．如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 【答案】 【分析】先利用切线的性质得到的半径为1，再根据反比例函数图象的对称性得到点B的坐标为，同理得到的半径为1，则可判断与关于原点中心对称，的阴影部分与的空白部分面积相等，所以图中两个阴影部分面积的和等于的面积，然后根据圆的面积公式计算． 【详解】解：∵点的坐标为，且与x轴相切， ∴的半径为1， ∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点， ∴点B的坐标为， 同理得到的半径为1， ∴与关于原点中心对称， ∴的阴影部分与的空白部分完全重合， ∴的阴影部分与的空白部分面积相等， ∴图中两个阴影部分面积的和． 6．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 7．如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P．若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】由右边两个圆关于点P中心对称，可知过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和，所以若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图可知，右边两个圆关于点P中心对称， 过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和； 若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心， 由题意知，点P的坐标为，左边圆的圆心坐标为， 设该直线的函数解析式为， 将和代入，得：， 解得， 该直线的函数解析式为． 8．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 9．综合与实践： 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在“两次轴对称变换”主题下设计的问题． (1)【观察发现】如图1、图2的网格图中与关于直线对称，与关于直线对称． ①【发现1】图1中直线，且与的水平距离为4个单位，那么可以看作是向右平移得到的，平移距离为__________个单位长度． ②【发现2】图2中直线与相交于点，所夹锐角为，那么可以看作是绕旋转中心__________，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为__________． (2)【操作实践】①如图3，直线与垂直，垂足为点，请作出关于直线的轴对称图形． ②【发现3】与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． (3)【拓展应用】如图4，通过两次轴对称变换使得线段与线段重合，请画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段． 【答案】(1)①；②， (2)①如图，即为所求， ②与关于点成中心对称，对称中心为点， (3)画出这两条对称轴和第一次轴对称后的对称线段如图， 【分析】（1）①根据图形即可得出结果；②连接、、、、、，由网格特点得，从而即可得出结果； （2）①根据轴对称的性质作图即可；②连接、、交于点，再结合中心对称图形的性质即可得解； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：①由图可得，可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度； ②如图，连接、、、、、， 由网格特点得， ∴可以看作是绕旋转中心，顺时针旋转得到的，旋转角的度数为． （2）解：①略； ②连接、、交于点， ∴与关于点成中心对称； （3）略． 10．探究解题 (1)如图1，与相交于点O，连接，，，点E为边上一点，连接并延长交边于点F，求证：； (2)如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q； (3)如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q． 【答案】(1)证明：∵ ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2)点如图所示： (3)点如图所示： 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心，连接并延长与图形另一边的交点即为点； （3）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心，连接并延长，交左上角小正方形的边于点，连接并延长交右下角小正方形的边于点，连接，连接并延长与的交点即为点． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 1．在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标都为整数，则称该点为“整点”．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都是整点，其坐标分别为，，．与关于整点成中心对称． (1)在网格中作出； (2)直接写出内部（不含边界）的“整点”坐标； (3)若在网格区域内（包含边界）存在“整点”，且以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）利用中心对称点坐标公式求出，，，描点连线作图； ​（2）通过观察所作的，找出三角形内部整点； ​（3）分是平行四边形的边、对角线讨论，通过线段平移求点，舍去超出网格的点． 【详解】（1）解：根据中心对称的性质，若点关于点对称的点为，则， ，即，， ∴关于对称的点：， 关于对称的点：， 关于对称的点：， 在网格中描出，，，再依次连接即可得到； （2）通过观察所作的，内部的整点为，； （3）若是平行四边形的边，则：，， 情况1：把平移到处，即先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，同样的，把也向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，就能与重合，此时，如图： 情况2：把平移到处，即先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，同样的，把也向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，就能与重合，此时，不在网格区域内，不符合题意， 若是平行四边形的对角线，则，，把平移到处，即先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，同样的把先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，就能与重合，此时，如图： 2．若一次函数的图象经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． (1)的值为_________； (2)若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； (3)已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求此时点的坐标； ②若线段与矩形的边有且只有两个公共点，的取值范围是___________________． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3)①或；②或 【分析】（1）将点代入一次函数解析式，解方程求出的值． （2）先得到完整一次函数解析式，根据一次函数得出函数单调递增，分、两种情况，利用纵坐标差为列方程求解 （3）①根据原点中心对称、轴写出矩形顶点坐标，设边长列周长方程，求出后得到点坐标；②先写出矩形各边对应的直线，结合图象分类讨论线段与矩形边仅有两个公共点的边界条件，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵过， ， 解得； （2）解：由（1）得一次函数的解析式， ∵， ∴随增大而增大， 点横坐标为，纵坐标为， ①当时，最高点为，最低点为， ， 解得； ②当时，最高点为，最低点为， ， 解得； 综上，当时，；当时，； （3）解：①如图， ∵，矩形以原点为中心，轴， ∴矩形对角顶点：，，， ∴，， ∵矩形周长为， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 故点坐标为或 ②由①可得矩形的各顶点：，，， ∴直线为， 如图，当不在点左侧时，且与轴不重合时，线段与矩形的边有且只有两个公共点， ∵点横坐标为， ∴， 解得， ∵与轴不重合时， ∴， ∴， ∴的取值范围是或． 3．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： (1)画出平移后的，使得C点的对应点是点． (2)画出关于点O成中心对称的． (3)点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)如图：即为所求． (3)如图：点F即为所求，的最小值为 【分析】（1）由C点的对应点是点可知：将向右移动一个单位、再向上平移两个单位得到，据此作图即可； （2）先利用中心对称的性质求得的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求；然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求， ∴的最小值是， ∴的最小值为，即． 4．问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． (1)探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． (2)探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． (3)拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 【答案】(1)①；② (2) (3)，是的重心 【分析】（1）①先证四边形是平行四边形，再证，即可得解； ②证明，可得，同理可得，再用的面积减去这两个面积即可得解； （2）连接，连接并延长交于点D，记的交点为K，，证明M，O，F共线，E，O，H共线，，，，设，则，可得，再进一步求解即可． （3）利用（2）中的式子求最值即可，求出，可得O是的重心． 【详解】（1）解：①由中心对称的性质得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②同理①可得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：如图（4），连接，连接并延长交于点D，记的交点为K， ∵与关于O成中心对称，“平行六边形”， ∴M，O，F共线，E，O，H共线，， ∴, ∵ ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：， ∴，即， 同理：， ∴，即， ∴， ∴平行六边形的面积 ； （3）解： 同理：， ∴， ∴的最小值为：， 此时， ∴，即， ∴“平行六边形”的面积的最大值为：； ∴， ∴； 同理：， ∴， ∴， ∴O是的重心． 5．定义：如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． (1)如图2，六边形是“对等角六边形”．若，，连接，．求证：． (2)如图3，六边形是“对等角六边形”，求证：． (3)如图4，在“对等角六边形”中，对角线，，交于点O，已知，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7.5 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，得，可得，即得答案； （2）过点F作，得，由，，得，得，得，即得答案； （3）由六边形相对的边平行，得相对的两个三角形相似，得，得，得，同理，，得点O是六边形的对称中心，即得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点F作， 则， ∵六边形是对等角六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵对等角六边形的对角线交于点， ∴对角线将六边形分割为6个小三角形， 由（2）知，， 同理可证对等角六边形相对的边均平行， ∴相对的两个三角形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴点O是六边形的对称中心， ∵， ∴ 故四边形的面积为7.5． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $