28.1（第2课时）旋转作图（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦旋转作图核心技能，通过基础操作、情境应用、坐标综合三层递进设计，强化从直观作图到代数表达的知识迁移，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |画旋转图形|旋转方向/角度判断、简单图形旋转作图|以"俄罗斯方块""正方形旋转"为情境，通过选择、填空、作图题巩固旋转三要素| |利用旋转设计图案|旋转与平移结合的图案设计|结合七巧板拼图、游戏图案设计，体现应用意识，培养创新思维| |坐标系中的旋转|坐标变换、旋转与平移/对称综合|在平面直角坐标系中进行图形旋转，融合代数计算与几何推理，提升空间观念|

28.1（第2课时）旋转作图（解析版） 目 录 类型一、画旋转图形 1 类型二、利用旋转设计图案 25 类型三、坐标系中的旋转 26 类型一、画旋转图形 1．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格． 2．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 3．格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 4．如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移和旋转．根据平移和旋转的性质作图后即可得到答案． 【详解】解：如图，即为所求， 将先向左平移4个单位后坐标为，再绕原点O顺时针旋转得到点的坐标是 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向上平移4个单位长度得到，再将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，先根据题意画出，进而画出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，，即为所求， ∴点的坐标是， 故选：C． 6．如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图—旋转变换和轴对称，解题的关键：利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，然后根据对称的性质画出点、关于轴对称的点、，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，和即为所作， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 7．如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转和平移，坐标与图形，根据题意，画出变换后的图形即可求解，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意作图如下： 由图可得，点坐标为， 故选：． 8．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 根据题意画出图形，即可可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 9．将如图方格纸中的图形绕O点顺时针旋转得到的图形是() A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用旋转变换作图，旋转作图要注意：(1)旋转方向；(2)旋转角度．整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动． 根据旋转的特征，图形绕点顺时针旋转，点的位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形． 【详解】解：∵方格纸中的图形绕点顺时针旋转， ∴右边的阴影部分旋转到点的下方，左边的阴影部分旋转到点的上方， 故选：D． 10．如图，将线段绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，则点的坐标是（  ） A．（1，） B．（，） C．（3，） D．（，3） 【答案】C 【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 由图形可知：点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了画旋转图形，根据画旋转图形的步骤准确画出图形是解决本题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，然后作答即可． 【详解】解：∵点位于内， ∴， 旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图， ∴， 故答案为：． 12．如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转作图，先画出旋转的，连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，两直线交于一点即为点P，并写出坐标． 【详解】如图所示． 点P的坐标是． 故答案为：． 14．在下面的方格纸上，画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】 【分析】本题考查方格纸内图形的旋转作图，利用旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，确定各顶点旋转后的位置，再顺次连接即可得到旋转后的图形． 【详解】略． 15．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 点的坐标为 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求： 点的坐标为． 【分析】（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点、、绕原点顺时针旋转的对称点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．按要求在下面方格中画图并完成填空． (1)上图中图形到图形，先向______平移了______格，再向______平移了______格； (2)以方格中的虚线为对称轴，补全图形的轴对称图形，如果每一个小方格表示1平方厘米，那么图形补全后的图形面积是______平方厘米； (3)将长方形绕它的顶点，顺时针方向旋转，画出旋转后的图形． 【答案】(1)下；5；右；4 (2)；7 (3) 【分析】（1）由图象即可得解； （2）先补全图形，再结合题意即可求解； （3）根据题意补全图形即可． 【详解】（1）图形到图形，先向下平移了5格，再向右平移了4格； （2）解：由图可得，图形补全后总共占7个小方格， ∵每一个小方格表示1平方厘米， ∴图形补全后的图形面积是7平方厘米； （3）略 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【答案】如图，即为所求： ； 【分析】利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】略 19．如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出图形，写出点、的坐标； (2)连接，则______． 【答案】(1)如图，即为所求，， (2) 【分析】（1）根据旋转中心，旋转方向及角度找出点A、B的对应点、的位置，然后顺次连接即可，进而可直接得出点、的坐标； （2）利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由勾股定理得． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的（点，，的对应点分别为点，，），使得点的坐标为，并写出点的坐标； (2)将绕着点按顺时针方向旋转得到（点，，的对应点分别为点，，），并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示； ； (2)如图所示； ； 【分析】（1）根据点的对应点的坐标为找到平移方式，画出图形，进而得出坐标即可； （2）将三角形三顶点分别绕着点按顺时针方向旋转得到对应点，连接可得，根据所画图形即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，点的坐标为， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵，， ∴，，即，， 图略． （2）略 21．如图，已知和点O，把绕点O顺时针旋转得到，在网格中画出． 【答案】如图所示： 【详解】解：略 22．在7×9的方格纸中，的三个顶点都在格点上． (1)在图①中画出以直线AC为对称轴的轴对称图形； (2)将图②中的绕着点A按逆时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合网格特点作出点B关于直线的对称点，再与点A、C首尾顺次连接即可； （2）分别作出绕点A逆时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 23．在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点顺时针旋转得到，作出； (2)将向下平移个单位长度得到，作出； (3)在平面内取一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为：，，． 【分析】（1）根据旋转的性质即可求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质，根据线段平移即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： ， ， , 则可知点的坐标为：，，． 24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的． (2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移方式可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点确定点的位置，再作图即可； （3）根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点D的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴和的中点的坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； (2)将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点A，B绕点C顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）和的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，和的垂直平分线交于点， ∴旋转中心的坐标是． 类型二、利用旋转设计图案 26．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 27．请设计一个旋转后能与自身重合的旋转对称图形，且该图形不是轴对称图形． 【答案】解：以点O为中心，将绕点逆时针旋转，旋转次与原图形重合，则整个图形符合题意（不含字母），如图： 【分析】根据旋转对称图形的定义，轴对称图形的定义进行设计即可. 【详解】略 28．图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 【答案】（1）如图①，△A′B′C′为所作；见解析；（2）如图②，△A″B″C″为所作；见解析． 【分析】（1）把△ABC先向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到△A′B′C′，则△A′B′C′满足条件； （2）以点P为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°得到△A″B″C″，则△A″B″C″满足条件． 【详解】（1）如图①，△A′B′C′为所作； （2）如图②，△A″B″C″为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 29．七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板组成（如图1），用这七块板可拼出许多图形（1600种以上），例如：三角形、平行四边形、以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方块顶点上）： （1）拼成长方形，在图3中画出示意图； （2）拼成等腰直角三角形，在图4中面出示意图． 【答案】 （1）如图3所示：长方形即为所求； （2）如图4所示：等腰直角三角形即为所求． 【分析】（1）利用网格结合矩形的性质得出答案； （2）利用网格结合等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】略． 【点睛】此题考查旋转变换，正确利用已知图形面积不变是解题关键． 类型三、坐标系中的旋转 30．如图，在三角形中，，，点，点，将三角形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：记点C旋转后的对应点为点E，过点C作轴，过点E作轴，则， ∵三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴在中，， ∴， 而 ∴点， 即旋转后点C的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 31．如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，则，连接，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在直角中，， ， 由题意得，， ， 在直角中，， ， 而， 点， 即点的对应点的坐标为， 故选：A． 32．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 【详解】解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 33．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由题意可先求出点的坐标，然后可得旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同，进而问题可求解． 【详解】解：过A作轴于E，过C作轴于F， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 因为， 所以每旋转四次点的位置循环出现． 因为余2， 所以旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同． 因为点且旋转2秒后的对应点与点关于原点对称， 所以旋转2秒后的对应点的坐标为， 则旋转2026秒后，点的对应点的坐标为． 34．如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】先画出旋转后的B点对应点D点，构造直角三角形求出 和的长即可求解． 【详解】解：如图，连接并将绕点按顺时针方向旋转，B点对应点为D ∵正方形边长为2 ∴，， 过D点作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴点的对应点的坐标为． 35．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，解题关键是含角的直角三角形的性质． 先根据点的坐标是，求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，即可得解． 【详解】解：如图所示，设点的对应点为点，过点作轴的垂线，垂足为， ，点的坐标是， ， ，， ， ， 由旋转的性质可得， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 36．如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序数对为点的斜坐标． （1）点关于原点对称的点的斜坐标是_______； （2）在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化，根据定义，结合三角形全等的判定及性质，求出、的长是解题的关键． （1）根据点关于原点对称的特点直接求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，作轴，交轴于点，作轴，交轴于点，证明，求出、的长即可求点坐标． 【详解】解：（1）点关于原点对称的点的斜坐标， 故答案为：； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，作轴，交轴于点，作轴，交轴于点， ， ， ，， ， ，， 点的斜坐标为， ，， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 37．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． (1)在图中画出，点的坐标为 ； (2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，因为要得到A、B的对应点坐标，所以用该规律计算的坐标，再顺次连接O、得到旋转后的三角形． （2）对于点M的旋转，因为M的坐标是，所以同样用顺时针旋转的坐标变换公式得到的坐标，进而得到纵坐标n与m的关系．先确定M在内（不含边界）时m的取值范围，再根据n和m的对应关系，推导出n的取值范围． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，点绕原点顺时针旋转后对应点坐标为． ∵， 代入得坐标为， 同理得对应点， 连接、、即可画出． （2）解：∵是直角三角形，三个顶点为、、， 设斜边的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为． ∵ 点在内部（不含边界）， ∴满足， 解得的范围． ∵点顺时针旋转后，对应点的纵坐标， ∴由，两边同乘得： ． 答案： (1) ； (2) ． 38．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． (1)请在图上画出； (2)在（1）的基础上，将绕着原点旋转得到，其中，，的对应点分别为，，，请在图上画出，并直接写出点的坐标； (3)在（2）的基础上，在轴上取一点，连接，，，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．（不要求画图） 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求，坐标为 (3)或或或 【分析】（1）由题意，描出，，三点，再连接即可； （2）根据旋转的定义，描出，，三点，依次连接即可，再写出点坐标即可； （3）设，由两点间距离公式得，，．分为顶点（）和为顶点（）两种情况讨论，分别解方程得的四个值，对应四个点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 由题意，可设，是以为腰的等腰三角形， ， 当为顶点时，，即， ，即，， 解得或， 或； 当为顶点时，，即， ，即，， 解得或， 或； 综上，或或或． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，． (1)在给出的平面直角坐标系中画出； (2)记与轴的交点为，直接写出点的坐标； (3)记直线，的交点为，直接写出的大小． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)点； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据与轴的交点求解即可； （3）根据旋转的性质，是直线绕点顺时针旋转得到，由此可得角度． 【详解】（1）略 （2）解：点如图所示： 则点； （3）解：点如图所示： 根据旋转的性质可知． 40．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的方式作出点的对应点，再顺次连接即可； （2）根据旋转的方式作出点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 41．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 【答案】(1) (2)尺规作图如图： ； 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）以A为圆心，为半径画弧与相切即可；连接，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ∵， ． （2）解：作图略； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）知：，， ， ． 42．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， ． (1)画出关于原点O对称的图形； (2)图中是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为______． (3)点D在平面内，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】(1) 如图，即为所作： (2) (3)或或 【分析】本题考查了坐标系中的平移与旋转作图，平行四边形的性质，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）将点绕点O旋转至点，再顺次连接即可； （2）设旋转中心为点P，则由旋转的性质可得，而点关于轴对称，则点P在轴上，设，由建立方程求解； （3）作出图形，符合题意的点D有三个，利用平行四边形的性质，结合平移的性质可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设旋转中心为点P， 则由旋转的性质可得， ∵，， ∴点关于轴对称， ∴点在轴上， 设， ∵， ∴由得，， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，符合题意的有点 当时，则， ∵，，， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点，那么点向右平移1个单位，向上平移2个单位即可得到点， ∴； 同理可得时，；时，， 综上：点的坐标为：或或． 43．如图，抛物线交轴于点，交轴于点及点． (1)填空：　 　，　 　，点的坐标为　 　； (2)把逆时针旋转得（其中点与，与分别是对应点），当恰好有两点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是位于轴上方抛物线上的一点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，若满足，求的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法，将点、坐标代入抛物线解析式求出、，回代可得抛物线表达式，令解方程，结合点在轴正半轴即可求出点坐标； （2）依据旋转性质可知旋转前后三角形边长不变，直角大小不变，分两类讨论三角形恰好两点落在抛物线上的情况：①当点，在抛物线上时，借助线段平行轴以及抛物线对称轴列方程求解点坐标；②当点，在抛物线上时，根据逆时针旋转后的坐标变化规律写出两点坐标关系式，代入抛物线解析式联立方程求解坐标； （3）点在轴上方抛物线上，横坐标取值范围是，且，按照在轴左侧、轴右侧分成两种情况计算，当时，过作轴垂线，采用割补面积法写出、、的代数式，结合建立方程求解并舍去不符合范围的根；当时，求出直线、直线解析式，借助铅垂线段拆分两个三角形面积，列出面积等式解方程，舍去不合理解，最终得到的所有取值． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，即， 解得，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴， 把逆时针旋转得，旋转后轴，故分两种情况讨论： ①当点，在抛物线上时，如图所示， 设， ∵把逆时针旋转得（其中点与，与分别是对应点）， ∴，轴， ∴， ∵、关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当点，在抛物线上时，如图所示， 由旋转的性质可知：，，，， 设，， 观察原图直角边：竖直向上长，水平向左长， 旋转后：竖直线段变水平线段，水平线段变竖直线段，方向符合逆时针，因此两点横纵坐标满足固定差值： 的横坐标的横坐标， 的纵坐标的纵坐标， ∴， ∴， ∴点，在抛物线上， ∴，解得， ∴， 综上，或； （3）解：∵点是位于轴上方抛物线上的一点，点的坐标为，点的坐标为， ∴，的取值范围为，且， 故分两种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点，则，， ∴， ， ， ， ， ∴ ， ， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）； ②当时，如图，设交轴于点，过点作轴，交于，则， 设直线为，将，代入得， ，解得， ∴， 当时，， ∴， 设直线为，将，代入得， ，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上，的值为或． 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 2．风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（     ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴，，，， ∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为． 3．春节时人们爱用风车装饰景区，如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰直角三角形的斜边，且在x轴上，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，等腰直角三角形的相关性质，准确地掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．先找到边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点，再运用等腰直角三角形的性质求出的长度，进而求得点B的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点为点C， ∵等腰直角三角形的斜边， ∴， 又∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点为点C， ∴， ∵风车由两种等腰直角三角形拼成， ∴是等腰直角三角形，斜边， ∴， 又∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C坐标为． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，将点，，，绕点顺时针旋转后，能与点，，组成平行四边形的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】首先根据平面直角坐标系确定点的坐标，利用平行四边形的性质求出能与组成平行四边形的第四个顶点的坐标；然后分别求出点绕点顺时针旋转后的坐标，进行比对即可得出答案． 【详解】解：由图可知，，，． 设能与点组成平行四边形的点为． 根据平行四边形的性质，分三种情况讨论： 当为对角线时，，，即，，解得，即； 当为对角线时，，，即，，解得，即； 当为对角线时，，，即，，解得，即． 综上，点的坐标可能为或或． 由图可知，，，，． 将各点绕点顺时针旋转，可得点旋转后坐标为； 点旋转后坐标为； 点旋转后坐标为； 点旋转后坐标为． 对比可知，点旋转后的坐标与重合，能与点组成平行四边形． 5．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转，再向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向下平移2个单位后的解析式为． 故选D． 7．如图，将正方形向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O逆时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，根据平移和旋转的性质，画出旋转后的位置，写出点的坐标即可． 【详解】解：由题意，点先向右平移3个单位，再绕点原点O逆时针方向旋转，得到，如图： 由图可知：； 故选C． 8．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点逆时针旋转，则其对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中绕原点旋转的点坐标变换，解题关键是利用旋转性质构造全等三角形，通过对应边相等确定旋转后点的坐标． 分别作，垂直于x轴，垂足分别为M，N，通过构建直角三角形，利用旋转的性质来确定对应点P的坐标． 【详解】解：分别作，垂直于x轴，垂足分别为M，N． ∴ ∵， ， ∴ 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵Q点坐标， ，， ∵由于点P在第二象限，第二象限中的点横坐标为负，纵坐标为正， ∴P点坐标为． 故选：C． 9．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，坐标与图形，三角函数，由菱形的性质及三角函数得，按次一个循环，即可求解；能由旋转的性质、形的性质、三角函数求出旋转后对应点的坐标，找出规律是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 由旋转得：， 同理可求：，，， 按次一个循环， ， 第2024次旋转结束时，点的坐标为； 故选：A． 10．如图，矩形的顶点O在坐标原点上， 相交于点 D，已知点若矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，矩形的对角线交点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，由题意可得矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，相当于绕点O顺时针旋转，过点，作轴，轴，轴，证明，得到，根据相似三角形可得，，即可得出答案，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴8次一个循环， ∵， ∴矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，相当于绕点O顺时针旋转，如图： ∵点的坐标为 ∴， ∵四边形是矩形顺时针旋转所得， ∴，， 过点，作轴，轴，轴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 11．如图，平行四边形中，，，对角线交于点P，将平行四边形绕点O顺时针旋转，旋转后点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点D，过点P作于点E，过点作于点，根据度角所对的直角边等于斜边一半，得到，利用勾股定理求得，得到，再根据平行四边形的性质，利用中点坐标公式，得到点P的坐标为，进而得到、，然后利用旋转的性质，证明，得到，，即可得到旋转后点的坐标． 【详解】解：如图，平行四边形旋转后得到平行四边形，过点A作于点D，过点P作于点E，过点作于点，   ，， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形是平行四边形， ，即点P为中点， ， 点P的坐标为，即， ，， 由旋转的性质可知，，， ，， ， 在和中，， ， ，， 点在第四象限， 的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 12．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】由旋转得到，进一步通过角的关系得到，得到，进一步得到坐标． 【详解】点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段， 过点作轴，过作轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 13．传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先确定风车每4秒转顺时针一圈，1005秒后点的位置，然后根据旋转的性质，即可写出点的坐标． 【详解】解：风车平均每4秒转一圈，1005秒转动（圈）， 即风车在转动251圈后，又转动圈， 如图，，过、分别作、垂直于轴垂足分别为、， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵是第四象限的点， ∴． 14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． 15．如图，将线段绕点顺时针方向旋转，则点对应的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与坐标图形-旋转变换，点的坐标，构建一线三垂直的全等模型，利用全等的性质求解即可． 【详解】解：如图，设点旋转对应点为，分别过A，作y轴的垂线，垂足为E，F． 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴旋转后点的对应点的坐标为， 故答案为：． 16．已知点，将点绕原点按逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的旋转变换、三角形全等的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，在平面直角坐标系中，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∵将点绕原点按逆时针方向旋转得到点， ∴，，点在第二象限， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵点在第二象限， ∴， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转90°，所得到的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变换-旋转，如图，设点位于第二象限，则，，过点作轴于点，过点作轴于点，得，，根据旋转的性质证明，得，，可得结论．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设点位于第二象限，则，， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∵将点绕坐标原点逆时针旋转90°得到对应点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 此时点在第三象限，则点的坐标为， 按同样的方法，若点在其它象限，将点绕坐标原点逆时针旋转90°，所得到的对应点的坐标仍然为． 故答案为：． 18．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，坐标分别为，，． (1)将进行平移得到，其中点的对应点为，点，的对应点分别为，，请在图中画出； (2)将绕原点逆时针旋转得到，其中点，，的对应点分别为，，，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) ，； (3)，． 【分析】（1）根据平移的定义作图； （2）根据旋转的定义解题； （3）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，， ∵， ∴， ∴，． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，画出；（点、、的对应点分别为点、、） (2)将绕原点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 如图，即为所求， 【分析】（1）根据平移方式找出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出点、、的对应点、、，然后顺次连接，再写出点的坐标即可． 【详解】（1）略； （2）略． 21．在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． (1)如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； (2)已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) ①，；② (2) 【分析】（1）①将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接，容易判断点关于线段的“旋转中点”都在线段上．由旋转可得，，结合中点公式可得，．使用待定系数法可得线段的解析式为，将三个点的坐标依次代入，排除不符合要求的点即可； ②由①可得线段的解析式为，因此； （2）先仿照（1）的解法画出点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”所在的四边形，容易计算得，．由作图可知，两种边界情况分别为点在边上和点在边上，分别求出、的解析式，结合不等式求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接， 由题意可知，点关于线段的“旋转中点”都在线段上， ∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， 又∵点、是、的中点， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴线段的解析式为， 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； ∵， ∴点不在线段上，即点不是点关于线段的“旋转中点”； ②由①可知，点关于线段的“旋转中点”都在上， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， 又∵，，， ∴点的坐标为，即， 设以线段为对角线的正方形为正方形，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，连接、、、，分别取、、、的中点、、、，连接成四边形，则点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”都在四边形的边上， ①当四边形在平行四边形的下方时，如图， ∵四边形是以线段为对角线的正方形， 又∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 由旋转可得，点的坐标为，点的坐标为， ∵、是、的中点， 又∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∵四边形的边要与平行四边形的内部有公共点， ∴点要在的上方， ∴， 解得； ②当四边形在平行四边形的上方时，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， 同理①可得，点要在的下方， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围为． 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，，．将平行四边形绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形． (1)点的坐标为__________； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点在x轴上，点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点或或，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）连接，过点C作轴于E点，过点作轴于点F，证明，得到，由此得到点； （2）利用待定系数法求出解析式； （3）设，分三种情况①当为边，且点P在y轴下方时，②当为边，且点P在y轴上方时，③当为对角线时，根据平行四边形对角顶点的坐标关系列方程组解答． 【详解】（1）解：如图，连接，过点C作轴于E点，过点作轴于点F， 由旋转得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设直线的函数关系式为， 则， 解得， ∴直线的函数关系式为； （3）设， ①当为边，且点P在y轴下方时，如图， ， 解得， ∴； ②当为边，且点P在y轴上方时，如图， 则， 解得， ∴； ③当为对角线时，如图， 得， 解得， ∴， 综上，存在点或或，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 2．如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到． (1)直接写出点和点的坐标； (2)抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查坐标与图形变换，二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．． （1）根据题意得到点C对应点B，点D对应点A，得到，即可求出； （2）根据题意设抛物线的解析式为把代入解析式，计算即可； （3）根据题意得到，设点P坐标，过点P作轴于点E，则，得到，即，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到． ∴点C对应点B，点D对应点A， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴设抛物线的解析式为 把代入解析式，得， 解得， ∴； （3）解：在中，， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P坐标为， 过点P作轴于点E，则， ∴， ∵， ∴， 即， ， ， 或， 解得或或（舍）， 代入点P坐标， 解得点P坐标或． 3．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点顺时针旋转得到，抛物线经过A、D两点． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使得与互补？若存在，请求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)D的坐标， (2)存在， ，， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数、几何角度问题的综合 （1）根据一次函数解析式求出点A、B坐标，再由旋转的性质得到D点的坐标，然后利用利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）因为与互补，与互补，故与相等，通过直角三角形，使，则射线与抛物线的交点即为所求点P． 【详解】（1）∵一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标，点B坐标， ∴， ∵根据旋转的性质可知：， ∴的坐标． 将A、D代入，得 解得： ∴ （2）以为直角边作直角三角形，使，则，，， ∵， ∴ 当点M在x轴上方时，点M坐标为，如解图1： ∴直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得： ， 解得，（不合题意舍去） ∴点P在第一象限时，坐标为 当点M在x轴下方时，点M坐标为，如解图2： ∴直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得： ， 解得，（不合题意舍去） ∴点P在第四象限时，坐标为 综上所述，在抛物线上存在点，，使得与互补． 【点睛】主要涉及了一次函数与坐标轴交点，求函数解析式和函数图象交点，以及坐标与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．解（2）关键是通过角度转换得出与相等，通过直线与抛物线的交点求解． 4．在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕点顺时针旋转，得到点，我们称点所组成的图形为图形关于点的“旋转图形”，称线段的中点为点与图形的“旋转中点”． 已知点，． (1)当，时，在点，，中，点与线段的“旋转中点”是___________； (2)当，时，线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域的面积是________； (3)当，时，已知点，，若线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，则的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点，则点，，取的中点记为，则点与线段的“旋转中点”组成的图形即为线段，然后求出线段的函数表达式，再判断点是否在线段上即可； （2）设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点，求出，，再确定出线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域是矩形即可； （3）可求，，，，则，设以T为中心的正方形绕点R顺时针旋转得到的正方形为正方形，同（2）可求，连接，取的中点为，则，然后以为中心作出正方形，设点的对应点为点，则正方形即为点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”组成的图形，求出，,由于线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，则得到不等式组，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：当，时，点， 设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点， 则点，， ∴线段关于点的“旋转图形”是线段， 取的中点记为， 则点与线段的“旋转中点”组成的图形即为线段， 设线段， 则， 解得， ∴线段， 对于，当时，，故点是点与线段的“旋转中点”， 对于，当时，，故点不是点与线段的“旋转中点”， 对于，当时，，故点是点与线段的“旋转中点”， 故点是点与线段的“旋转中点”； （2）解：由题意得，，则， 设点，绕点顺时针旋转后的对应点记为点， 由旋转可得，， ∴， 过点作轴于点，则， 由旋转可得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 对于，设，可得， 当时，，即，此时与点B重合， 当时，，设为 ∴点轨迹为线段，此时， 对于，设，可得 当，即时，，设为， 当，即时，，设为 ∴点轨迹为线段，此时， ∴， 再由线段，的函数表达式可得，， 故四边形是平行四边形， 连接， 则，， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 由题意可得，线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域是矩形， ∴面积为； （3）解：由题意得， 同（2）可求， ∵点， ∴， 设以为对角线的正方形的中心为，则 ∴ 设以T为中心的正方形绕点R顺时针旋转得到的正方形为正方形，的对应点为点 同（2）可求 由题意得，轴， 则轴， 连接，取的中点为 ∴ 然后以为中心作出正方形，设点的对应点为点，，则正方形即为点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”组成的图形， ∴轴， ∴ ∴，即 ，即, 如图： ∵线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”， ∴ 解得， ∴的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1（第2课时）旋转作图（原卷版） 目 录 类型一、画旋转图形 1 类型二、利用旋转设计图案 10 类型三、坐标系中的旋转 11 类型一、画旋转图形 1．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 2．如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 3．格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向上平移4个单位长度得到，再将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将先绕点顺时针旋转，得到，再作关于轴的对称图形，则顶点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（   ） A． B． C． D． 9．将如图方格纸中的图形绕O点顺时针旋转得到的图形是() A． B． C． D． 10．如图，将线段绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，则点的坐标是（  ） A．（1，） B．（，） C．（3，） D．（，3） 11．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 12．如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 14．在下面的方格纸上，画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形． 15．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 17．按要求在下面方格中画图并完成填空． (1)上图中图形到图形，先向______平移了______格，再向______平移了______格； (2)以方格中的虚线为对称轴，补全图形的轴对称图形，如果每一个小方格表示1平方厘米，那么图形补全后的图形面积是______平方厘米； (3)将长方形绕它的顶点，顺时针方向旋转，画出旋转后的图形． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，画出绕点逆时针旋转后得到的（点的对应点分别为点），并写出点的坐标． 19．如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出图形，写出点、的坐标； (2)连接，则______． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的（点，，的对应点分别为点，，），使得点的坐标为，并写出点的坐标； (2)将绕着点按顺时针方向旋转得到（点，，的对应点分别为点，，），并写出点的坐标． 21．如图，已知和点O，把绕点O顺时针旋转得到，在网格中画出． 22．在7×9的方格纸中，的三个顶点都在格点上． (1)在图①中画出以直线AC为对称轴的轴对称图形； (2)将图②中的绕着点A按逆时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形． 23．在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点顺时针旋转得到，作出； (2)将向下平移个单位长度得到，作出； (3)在平面内取一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的． (2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______． 25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； (2)将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 类型二、利用旋转设计图案 26．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 27．请设计一个旋转后能与自身重合的旋转对称图形，且该图形不是轴对称图形． 28．图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 29．七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板组成（如图1），用这七块板可拼出许多图形（1600种以上），例如：三角形、平行四边形、以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方块顶点上）： （1）拼成长方形，在图3中画出示意图； （2）拼成等腰直角三角形，在图4中面出示意图． 类型三、坐标系中的旋转 30．如图，在三角形中，，，点，点，将三角形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 33．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 34．如图，边长为2的正方形在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，将正方形绕点按顺时针方向旋转，则点的对应点的坐标为_________． 35．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点的对应点的坐标是______． 36．如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序数对为点的斜坐标． （1）点关于原点对称的点的斜坐标是_______； （2）在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标是_____． 37．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． (1)在图中画出，点的坐标为 ； (2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 38．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． (1)请在图上画出； (2)在（1）的基础上，将绕着原点旋转得到，其中，，的对应点分别为，，，请在图上画出，并直接写出点的坐标； (3)在（2）的基础上，在轴上取一点，连接，，，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．（不要求画图） 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，． (1)在给出的平面直角坐标系中画出； (2)记与轴的交点为，直接写出点的坐标； (3)记直线，的交点为，直接写出的大小． 40．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 41．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 42．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， ． (1)画出关于原点O对称的图形； (2)图中是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为______． (3)点D在平面内，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 43．如图，抛物线交轴于点，交轴于点及点． (1)填空：　 　，　 　，点的坐标为　 　； (2)把逆时针旋转得（其中点与，与分别是对应点），当恰好有两点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是位于轴上方抛物线上的一点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，若满足，求的值． 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．风力发电是常见的绿色环保发电形式，在广袤的田野间随处可见这种风力发电机，它能够使大自然的资源得到更好的利用．如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，若以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（     ）        A． B． C． D． 3．春节时人们爱用风车装饰景区，如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰直角三角形的斜边，且在x轴上，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，将点，，，绕点顺时针旋转后，能与点，，组成平行四边形的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转，再向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，将正方形向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O逆时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点逆时针旋转，则其对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形的顶点O在坐标原点上， 相交于点 D，已知点若矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转次后，矩形的对角线交点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，平行四边形中，，，对角线交于点P，将平行四边形绕点O顺时针旋转，旋转后点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为____． 13．传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两点的坐标分别为，线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为________________． 15．如图，将线段绕点顺时针方向旋转，则点对应的坐标为______． 16．已知点，将点绕原点按逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为______． 17．在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转90°，所得到的对应点的坐标为______． 18．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，坐标分别为，，． (1)将进行平移得到，其中点的对应点为，点，的对应点分别为，，请在图中画出； (2)将绕原点逆时针旋转得到，其中点，，的对应点分别为，，，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)点在轴上，且，直接写出点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，画出；（点、、的对应点分别为点、、） (2)将绕原点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．（点、、的对应点分别为点、、） 21．在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． (1)如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； (2)已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，，．将平行四边形绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形． (1)点的坐标为__________； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点在x轴上，点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，平面直角坐标系中，，把绕点顺时针旋转得到． (1)直接写出点和点的坐标； (2)抛物线过、、三个点，求抛物线的解析式； (3)若抛物线上一点，在上方，满足，求点的坐标． 3．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点顺时针旋转得到，抛物线经过A、D两点． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使得与互补？若存在，请求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕点顺时针旋转，得到点，我们称点所组成的图形为图形关于点的“旋转图形”，称线段的中点为点与图形的“旋转中点”． 已知点，． (1)当，时，在点，，中，点与线段的“旋转中点”是___________； (2)当，时，线段关于点的“旋转图形”所覆盖区域的面积是________； (3)当，时，已知点，，若线段关于点的“旋转图形”上存在点与以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，则的取值范围为_____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $