28.1 图形的旋转（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 练习以“图形的旋转”为核心，分A（巩固）、B（能力）、C（思维）及拓展（中考）四层，从生活实例到综合证明，梯度递进，适配新授课分层巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|旋转概念、要素确定、性质应用|基础题型为主，如生活旋转实例（图片放正）、网格旋转作图，培养几何直观| |B组|旋转与图形综合|结合正方形、菱形等图形性质，如重叠面积计算，发展推理能力| |C组|动态规律与探究|含旋转周期问题（机器狗运动）、坐标变换规律，提升空间观念| |拓展|中考真题对接|如旋转后点坐标求解、综合证明题，强化模型意识与应用能力|

分层作业 28.1 图形的旋转 目 录 A组 巩固过关 题型01生活中的旋转 题型02图形旋转要素的确定 题型03图形旋转的规律探究 题型04利用图形旋转的性质求解 题型05求图形旋转后的点的坐标 题型06图形旋转的作图 题型07利用图形的性质证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 生活中的旋转题型01 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 3．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 图形旋转要素的确定题型02 4．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，木棒与分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点G旋转到与木棒平行的位置（规定顺时针旋转为正方向，记“+”），则旋转的角度应是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点P为等边内一点，连接，且，若等边绕点P旋转一定角度后，能与自身重合，则旋转的角度不可能是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将顺时针旋转一定角度后与重合，且点D恰好为的中点． (1)旋转中心是点___________；旋转角=___________°； (2)求出线段的长． 图形旋转的规律探究题型03 8．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A．B．C． D． 9．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 11．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 14．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 利用图形旋转的性质求解题型04 15．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，点在线段上，点A，C的对应点分别为，，连接，则的长为（   ）． A． B．4 C． D． 16．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点O同时是正方形的一个顶点，正方形的边长大于正方形的边长．若正方形的面积为16，当正方形绕点O转动时，重叠部分的面积为（     ） A．始终等于4 B．始终等于8 C．随转动变化，最小值为4 D．随转动变化，最大值为4 17．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在上，点在延长线上．记，则可表示为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点P，将绕点D旋转得到．若，，则______． 19．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，，垂足为，，垂足为，则__________． 求图形旋转后的点的坐标题型05 20．（2026·浙江宁波·三模）如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 21．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B的坐标分别为和，点D在y轴上．将菱形绕点D逆时针旋转，得到四边形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点坐标为，将绕点顺时针旋转一定角度得到，若恰好落在轴正半轴上，则点的坐标是______． 23．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A． B． C． D． 图形旋转的作图题型06 24．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形．按要求画出下列图形： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)延长交于点，求证：． 25．（2026·湖北荆州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)作出向左平移4个单位长度后得到的；（点、B、的对应点分别为点、、） (2)作出绕原点顺时针旋转后得到的．（点、、的对应点分别为点、、） 27．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，各顶点的坐标分别为，， (1)将向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到，写出平移后对应顶点，，的坐标； (2)点到直线的距离_____________； (3)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后的． 28．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，各顶点：，，． (1)请在图中画出将向左平移个单位长度得到的； (2)请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的； (3)在轴上有一点，使得周长最小，请直接写出点的坐标． 29．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点上． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图1中画出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请在图2中画出； (3)直接填空：的面积是__________． 利用图形的性质证明题型07 30．如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．试判定四边形的形状，并说明理由． 31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 32．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 33．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 34．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； (3)探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 35．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点．则线段与的数量关系是_________．若把绕点在平面内自由旋转，如图2所示，当，时，则面积的最大值为_________． 36．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）在中，，，是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点：如图，当点在线段延长线上，点在线段延长线上． (1)连接，猜想________（用含的式子表示），并证明你的猜想． (2)探究线段与的数量关系，并说明理由． 37．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线的对称图形； (2)在网格中画出绕点逆时针旋转后的图形； (3)在直线上画出点，使的值最小． 38．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． (1)线段的长度为______________． (2)将线段绕点逆时针旋转，得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是______________． (3)在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等． 39．（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境 在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考 (1)猜想与的数量关系，并证明； 实践探究 (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸 (3)在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 40．（25-26八年级下·山东青岛·期中）【课本再现】 如图1，在等边中，D是边上一点，过点C作的平行线；将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． (1)请在图1中画出； (2)此时旋转角的度数为_______； 【类比迁移】 (3)如图2，在等边中，D是边外一点，点D与点A在两旁，且，连接，延长到E，使，连接，求证：； 【拓展应用】 (4)在（3）的条件下，若，，则的长度为 ． 41．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 42．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为(     ) A． B． C． D． 43．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 44．（2026·湖北十堰·模拟预测）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 45．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 46．（2026·北京昌平·二模）如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 47．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，若A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O转动，其中O为该平面内的一个定点． (1)在腿部运动的过程中，A，O，B三点始终共线．如图2，当A，B不在水平方向上时，若，，求的度数； (2)图3为体侧运动，在运动前，A，O，B三点共线，且，，平分，且．绕点O顺时针旋转，若的旋转速度为，的旋转速度为，当运动到位置时，运动停止．运动停止时，直接写出______；（用小于平角的度数表示） 48．（2026·山西大同·模拟预测）综合与探究 问题情境： 综合与探究课上，同学们以直角三角形纸片的平移、旋转变化开展数学活动探究，其中． 操作探究： 如图1，将三角形纸片沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)当时，停止平移，然后将绕点顺时针旋转得到，其中点E，F的对应点分别为G，H． ①如图2，当点C在线段上时，延长交边于点P，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②若，，当直线与垂直时，连接，请直接写出的长． 49．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 50．（2024·山东淄博·二模）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． (1)当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 51．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 52．（25-26八年级下·陕西西安·期中）【特例感知】 在中，，， (1)如图1，若，将绕点逆时针旋转得到，连接，则________； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点，，恰好共线，连接，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园．岛屿中心有一座瞭望塔（视为点），用于监控全园生态及安保．计划在海岸线处设立主入口，在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站和．经测量，休息驿站到休息驿站和入口的距离相等（），且．测得瞭望塔到驿站的距离为米，到驿站的距离为米．为了提升游客体验，需要修建一条连接入口与瞭望塔的全景栈道．为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长．在此条件下，求四边形区域的占地面积． 53．（25-26八年级下·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． (1)如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； (2)已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 54．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 55．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 56．（2026·四川乐山·中考真题）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法． 【感知密铺】 (1)同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面． 正多边形的边数 … 正多边形的内角和 … 正多边形每个内角的大小 … 上表中 ________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面． 【探寻密铺】 (2)同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．    上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到． 【创作密铺】 (3)最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点 位置的密铺设计图．    57．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 58．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 28.1 图形的旋转 目 录 A组 巩固过关 题型01生活中的旋转 题型02图形旋转要素的确定 题型03图形旋转的规律探究 题型04利用图形旋转的性质求解 题型05求图形旋转后的点的坐标 题型06图形旋转的作图 题型07利用图形的性质证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 生活中的旋转题型01 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移运动和旋转运动，掌握平移和旋转的不变性是解题的关键． 根据平移和旋转的不变性即可求解． 【详解】解：补全图中长方形如图： 则图中空白部分图形的形状和大小与B中的图形一模一样，故B中图形经过旋转和平移能落入空白部分， 故选：B． 图形旋转要素的确定题型02 4．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出与的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 ． 【详解】解：连接，， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， 分别作出与的垂直平分线，与的垂直平分线的交点为B， 故旋转中心是点B． 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，木棒与分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点G旋转到与木棒平行的位置（规定顺时针旋转为正方向，记“+”），则旋转的角度应是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”，确定旋转后的度数，结合旋转方向的规定得出结果； 【详解】解：当时，， ，， 角度需减小， 观察图形可知，减小需将木棒绕点逆时针旋转， 规定顺时针旋转为正方向，记“”，则逆时针为负， 旋转的角度应是． 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点P为等边内一点，连接，且，若等边绕点P旋转一定角度后，能与自身重合，则旋转的角度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质及判断点为三角形中心，利用旋转对称性确定旋转角度需为的整数倍即可． 【详解】解：是等边三角形，且 点是的中心 等边绕点旋转能与自身重合的角度必须是的整数倍 、、均为的整数倍 而不是的整数倍 旋转的角度不可能是． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将顺时针旋转一定角度后与重合，且点D恰好为的中点． (1)旋转中心是点___________；旋转角=___________°； (2)求出线段的长． 【答案】(1)A；120 (2)6 【分析】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，求出即可得旋转角； （2）根据旋转的性质得出，，根据线段中点的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； 故答案为：A；120； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴． 图形旋转的规律探究题型03 8．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 9．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项． 【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周， ∵2021÷4＝505...1， 即第2021次与第1次的图案相同． 故选：A． 【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期． 10．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（   ） A．250 B．249 C．248 D．247 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． 根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题知， 第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4， 第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8， 第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9， 第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13， 第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14， 第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18， 依此类推， 所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为， 当，即时， ， 即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249， 故选：B． 11．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，8次一循环，计算即可得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，8次一循环， ∵， ∴点的坐标为． 12．（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 13．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 【答案】4 【分析】一圈有360度，每次旋转60度，那么每6次旋转为一个循环，求出除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴每6次旋转为一个循环， ∵， ∴第2026个图案与第1个至第4个中的第4个箭头方向相同． 14．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意得到滚动1，2，3，4，5次后，骰子朝上一面的点数，可得每滚动4次为一个循环，再由，即可求解． 【详解】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5， 滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4， 滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2， 滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3， 滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5， …… ∴每滚动4次为一个循环， ∵， ∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4． 故答案为：4 利用图形旋转的性质求解题型04 15．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，点在线段上，点A，C的对应点分别为，，连接，则的长为（   ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出斜边长度，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等，算出、的长度与，最后在中用勾股定理求． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 由旋转的性质可知：， ，， 在中，由勾股定理得：． 16．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点O同时是正方形的一个顶点，正方形的边长大于正方形的边长．若正方形的面积为16，当正方形绕点O转动时，重叠部分的面积为（     ） A．始终等于4 B．始终等于8 C．随转动变化，最小值为4 D．随转动变化，最大值为4 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，证明，结合正方形的性质，得，等量代换求解即可． 【详解】解：设的交点为F，的交点为E， ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴； 17．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在上，点在延长线上．记，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转性质得出 ，，然后分别求出，，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：设与相交于点O， 矩形， ∴ 矩形绕点顺时针旋转得到矩形 ，， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴ ． 18．（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点P，将绕点D旋转得到．若，，则______． 【答案】 【分析】因为四边形是菱形，所以先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，求出、、的长度，同时确定为直角．因为绕点旋转得到，所以根据旋转的性质，得到对应边，，，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】解：菱形，，， ，，且． 绕点旋转得到，旋转中心为， ，，， ∴, 在中， ． 19．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，，垂足为，，垂足为，则__________． 【答案】 【分析】过点作边的垂线，利用的直角三角形和勾股定理求出的长，根据旋转性质判定为等边三角形，利用面积法将转化为的高即可求 【详解】解：过点作于点， 在中，， ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， 由旋转的性质可知， ， 是等边三角形 ， 连接，作， ， ， ， ， 在等边中， ， 由勾股定理得， ． 求图形旋转后的点的坐标题型05 20．（2026·浙江宁波·三模）如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可．本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图 在坐标系中描下选项中的点，判断到对应点的距离，到两组对应点距离分别相等的点，就是旋转中心，本题旋转中心是图中的点G，坐标为． 21．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B的坐标分别为和，点D在y轴上．将菱形绕点D逆时针旋转，得到四边形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形性质和勾股定理求出点D坐标，作轴于点E，利用旋转性质构造全等三角形求出点坐标． 【详解】解： A，B的坐标分别为和， ，，， 四边形是菱形， ， ， 如图，作轴于点E，连接，， 由旋转得，， ， 轴， ， ， 又，， ， ，， ， 点在第一象限， 点的坐标为． 22．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点坐标为，将绕点顺时针旋转一定角度得到，若恰好落在轴正半轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】利用点的坐标求出，然后利用等面积法求出点的纵坐标的绝对值，最后利用勾股定理求出点的横坐标的绝对值，根据点所在象限确定其坐标． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为， ， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， 在中，， ∵绕点顺时针旋转一定角度得到， ∴，， 即，解得， 在中，， ∵点在第四象限， ∴点坐标为． 23．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得A、B两点坐标，得到、，根据旋转的性质求得的坐标，即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 将代入得，，将代入得， 则，，即，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴ 图形旋转的作图题型06 24．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形．按要求画出下列图形： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)绕点逆时针旋转得到， ， 又，， ， ． 【分析】（1）根据题意直接画图；注意方向为逆时针旋转； （2）延长到D点，证明即可．利用三角形内角和证明，旋转前后图形的大小不变． 【详解】（1）略 （2）略 25．（2026·湖北荆州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，证明，即可得出结果． 【详解】解：作轴，如图，则， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴，即． 26．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)作出向左平移4个单位长度后得到的；（点、B、的对应点分别为点、、） (2)作出绕原点顺时针旋转后得到的．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移方式确定点、、的坐标，再描点，连线作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点确定点、、的位置，再描点，连线作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 27．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，各顶点的坐标分别为，， (1)将向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到，写出平移后对应顶点，，的坐标； (2)点到直线的距离_____________； (3)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标的平移变化规律找出平移后所得的3个顶点坐标，根据“向上平移5个单位，再向右平移2个单位”得横坐标加2，纵坐标加5得平移后所得的3个顶点坐标，连接顶点，，得到； （2）设点到直线的距离为，根据勾股定理得， 由，根据等面积法计算即可； （3）连接、、，将、、分别绕着点顺时针旋转得到、、，顺次连接即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：设点到直线的距离为， 根据勾股定理得， ，即， 解得，； （3）略 28．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，各顶点：，，． (1)请在图中画出将向左平移个单位长度得到的； (2)请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的； (3)在轴上有一点，使得周长最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，即为所求； (3)如上图，点P即为所求，点． 【分析】（1）根据平移作图的步骤即可作图； （2）根据旋转作图的步骤即可作图； （3）过点作x轴的对称点，连接与x轴交点即为点，此时，次数的周长最小，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作图见答案，点． 29．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点上． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，请在图1中画出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请在图2中画出； (3)直接填空：的面积是__________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)3 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）通过割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∴的面积为3． 利用图形的性质证明题型07 30．如图，点为正方形外一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．试判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是正方形，理由见解析 【分析】根据旋转的性质可得，，，从而得到．四边形有三个内角为直角，且邻边相等，可判定四边形是正方形． 【详解】解：四边形是正方形， 理由如下： ∵由绕点逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 32．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 33．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在的延长线上． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）由旋转性质得到，，即可由等边三角形的判定定理得到为等边三角形； （2）先由旋转性质得到，再等量代换有，最后结合等边三角形性质即可得证． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形； （2）证明：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， 在等边中，， ． 34．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图所示，已知，点为上一点，连接、，平分，平分． (1)求证：； (2)将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数； (3)探究旋转后线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分，平分（已知）， ，（角平分线的性质）， ， ． (2) (3)解：，理由如下， 延长与交于点，由旋转性质和对顶角性质得， ， ， ， ． 【分析】（1）利用平行线性质得到，再由平分，平分，得到，．从而推出，则求证可证； （2）利用图形旋转的性质得到 ，再由直角三角形两个锐角互余求出，则的度数可求； （3）延长与交于点，由题意，，根据等量代换求出，则求证可证． 【详解】（1）略； （2）解：由旋转可得， 故 ， ∵， ． （3）略． 35．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点．则线段与的数量关系是_________．若把绕点在平面内自由旋转，如图2所示，当，时，则面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合三角形中位线等于第三边的一半求解即可；连接、，延长交于点，由勾股定理可得，，证明，进而得出，再结合三角形中位线定理，推出是等腰直角三角形，则，，当点、、三点共线时，为最大值，此时面积有最大值． 【详解】解：，， ，即， 点、、分别为、、的中点， 、分别为、的中位线， ，， ； 如图，连接、，延长交于点， ，，， ，，， 点、分别为、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，即， 点、、分别为、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最大值， 面积的最大值为． 36．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）在中，，，是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点：如图，当点在线段延长线上，点在线段延长线上． (1)连接，猜想________（用含的式子表示），并证明你的猜想． (2)探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，证明过程见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）延长至点，使，连接，证明，可得，，由三角形的内角和定理，结合旋转的性质，可得，，证明，可得，即可得； （2）延长至点，使，连接，由（1）得，，可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的性质，可得，由等角对等边，等量代换，可得，即可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：， 证明：延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由： 延长至点，使，连接， 由（1）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，等角对等边． 37．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线的对称图形； (2)在网格中画出绕点逆时针旋转后的图形； (3)在直线上画出点，使的值最小． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）分别作出关于直线对称的点，即可画出图形； （2）分别作出点绕点逆时针旋转得到的点，即可画出图形； （3）作出点关于直线对称的点，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 38．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． (1)线段的长度为______________． (2)将线段绕点逆时针旋转，得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是______________． (3)在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等． 【答案】(1) (2)①如图，为所求②22.5 (3)4 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）①确定点A、B的对应点，连接即可； ②运用分割法求解即可； （3）画出角平分线即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①略 ②四边形的面积 （3）解：如图，在图中的网格内存在4个格点，到两边所在直线的距离相等． 39．（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境 在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考 (1)猜想与的数量关系，并证明； 实践探究 (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸 (3)在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)， 证明：如图，连接， 四边形与四边形都是矩形， ， ，即． 由旋转可知：， 又， ． ． (2)证明：如图，连接， 由旋转可知：， 四边形是矩形， ，，． 又，， ， ． ，， 四边形是平行四边形． (3)或 【分析】（1）通过连接公共边构造两个三角形，利用矩形的直角性质和邻补角关系证明两个三角形均为直角三角形，结合旋转前后对应边相等的性质，用定理证明两个三角形全等，即可证明结论． （2）连接，利用旋转性质得到，结合矩形的性质和等腰三角形三线合一的性质，从而推出，最终由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论． （3）根据三点共线的两种相对位置分类讨论，利用旋转性质得到对应边、对应角相等，结合矩形对边相等推出直角三角形，用勾股定理计算的长度，再根据线段的和差关系分别求出两种情况下的长度． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：①当点、在的同侧时，如图3， 根据旋转的性质可得，，，， ， 在中，， ． ②当点、在的异侧时，如图4， 同理可得，，，，， ． 综上，的值为或． 40．（25-26八年级下·山东青岛·期中）【课本再现】 如图1，在等边中，D是边上一点，过点C作的平行线；将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． (1)请在图1中画出； (2)此时旋转角的度数为_______； 【类比迁移】 (3)如图2，在等边中，D是边外一点，点D与点A在两旁，且，连接，延长到E，使，连接，求证：； 【拓展应用】 (4)在（3）的条件下，若，，则的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）以点A为圆心，以为半径画弧，交直线于点E，连接，求解即可； （2）根据旋转角的定义求解即可； （3）根据，得到，根据平角的定义，得到，得到，证明即可； （4）先证明是等边三角形，过点B作交的延长线于点H，根据题意，可证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． 此时旋转角为， 因为等边， 所以，， 根据旋转的性质，得， 故， 故， 又因为过点C作的平行线， 故直线与直线重合即点E在直线， 故以点A为圆心，以为半径画弧，交直线于点E， 连接， 则即为所求； （2）解：绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． 此时旋转角为， 因为等边， 所以； （3）证明：因为等边， 所以，， ，， ， ， ， ∵ ∴； （4）解：因为等边，， 所以，， ∵，， ∴；， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点B作交的延长线于点H， ， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 42．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，，进而得出的坐标和的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到， ∴，， ∴轴，轴， ∴， ∴． 43．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，动点E在边上，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接，证明，进而证明是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，当点在线段上时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出即可得到结果． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点，并在延长线上取点，使得，连接，连接， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 44．（2026·湖北十堰·模拟预测）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动，则第时，点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得转一圈，需要时间为：，故每循环一次，求解即可； 【详解】解：根据题意，得转一圈，需要时间为：， 故每循环一次， ， 故与起点位置相同， 故坐标为； 45．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 【答案】C 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵点B的坐标为，∴，， A、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； B、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； C、若轴，点A的坐标为，则，该选项符合题意； D、若轴，点A的坐标为，则，该选项不符合题意． 46．（2026·北京昌平·二模）如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，，可得为等腰三角形，为等腰三角形，可得， ，即可求出； （2）过点作交于，先证明，可得，再在中得到，进而得到线段，，的数量关系． 【详解】（1）解：等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， 为等腰三角形，为等腰三角形， ， 为旋转角，， ， ， ， （2）解：如图，过点作交于， 由（1）得， ， ， ，， 在和中，， ， ． 由（1）得， 在中，， ， ，即， ， 即． 47．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，若A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O转动，其中O为该平面内的一个定点． (1)在腿部运动的过程中，A，O，B三点始终共线．如图2，当A，B不在水平方向上时，若，，求的度数； (2)图3为体侧运动，在运动前，A，O，B三点共线，且，，平分，且．绕点O顺时针旋转，若的旋转速度为，的旋转速度为，当运动到位置时，运动停止．运动停止时，直接写出______；（用小于平角的度数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不妨设，故，因为，求解即可； （2）此时转动的时间为：，因为的旋转速度为， 故转过的角度为：，此时． 【详解】（1）解：因为， 不妨设， 故， 因为， 所以， 解得， ； （2）解：根据题意，，得， 因为，平分， 所以， 所以， 当运动到位置时，运动停止， 的旋转速度为，此时转动的时间为：， 因为的旋转速度为， 故转过的角度为：， 此时． 48．（2026·山西大同·模拟预测）综合与探究 问题情境： 综合与探究课上，同学们以直角三角形纸片的平移、旋转变化开展数学活动探究，其中． 操作探究： 如图1，将三角形纸片沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)当时，停止平移，然后将绕点顺时针旋转得到，其中点E，F的对应点分别为G，H． ①如图2，当点C在线段上时，延长交边于点P，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②若，，当直线与垂直时，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形为矩形． 理由如下： 由平移的性质，得，， 四边形是平行四边形． 又， ∴平行四边形是矩形． (2)①． 证明：由平移的性质，得， ． 由（1）得，四边形为矩形． ． 又， ，   ， ． 由旋转的性质，得，，， ，， ， ， ． ②或． 【分析】（1）先根据平移后的对应点所连线段平行且相等，得到四边形是平行四边形，又有一个角是，那么这个平行四边形是矩形． （2）①利用平移后对应线段平行、平行线内错角相等、等边对等角、旋转的性质对应边相等、对应角相等，再利用的等角的性质和等角的补角相等，得到证明与全等的条件，证出对应边相等． ②运用分类讨论思想，分别画出符合题意的图形，结合旋转的性质，得到对应边相等，矩形的对边相等，在运用勾股定理求斜边的长度． 【详解】（1）略 （2）①略 ②，， ． 分两种情况讨论： 如图3-1，绕点D顺时针旋转得到，交于点M． 由旋转的性质得，，，， 由（1）得四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理，得． 如图3-2，绕点D逆时针旋转得到，延长交直线于点N． 同理可得，，， ， 在中，根据勾股定理得，． 综上所述，的值为或． 49．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②； (2)或 【分析】（1）①先证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； ②过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由点在对角线上且点不与点、重合，可得自变量的取值范围； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 点在对角线上且点不与点、重合， ， ∴； （2）解：当时，是直角三角形，如图所示， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ，即， 的长为； 当时，是直角三角形，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴的长为， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题以菱形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形、二次函数面积建模以及直角三角形存在性分类讨论，解题关键在于通过全等及角度传递证明，架起边角转化的桥梁，利用等腰三角形“三线合一”将底边用表示，再借助角的三角函数建立面积与的二次函数关系，最后对直角三角形可能情形逐一排除，锁定唯一情况，结合边长关系列方程求解，体现数形结合与分类讨论的核心思想． 50．（2024·山东淄博·二模）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，． (1)当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)证明：根据题意可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：根据题意可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线； (3)， 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）利用证明即可得证； （3）中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，即当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值， 延长交于点，则， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴的面积的最大值，旋转角． 【点睛】旋转的性质：旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置；对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角． 51．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：． 证明如下： 如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴， ∵， ， 由（1）可知：， （3）解：∵，， ∴， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 52．（25-26八年级下·陕西西安·期中）【特例感知】 在中，，， (1)如图1，若，将绕点逆时针旋转得到，连接，则________； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点，，恰好共线，连接，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园．岛屿中心有一座瞭望塔（视为点），用于监控全园生态及安保．计划在海岸线处设立主入口，在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站和．经测量，休息驿站到休息驿站和入口的距离相等（），且．测得瞭望塔到驿站的距离为米，到驿站的距离为米．为了提升游客体验，需要修建一条连接入口与瞭望塔的全景栈道．为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长．在此条件下，求四边形区域的占地面积． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解； （2）设与相交于点F，由旋转得，，，则，，利用勾股定理求出，，求出，然后利用三角形面积公式求解； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F，得到当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图，由旋转得到，然后求出，进一步利用勾股定理求出，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴点B，C，E共线， ∴； （2）解：设与相交于点F， 由旋转得，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F， ∴， ∵， ∴当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图， 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． ∴当最大时，四边形的面积为． 53．（25-26八年级下·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． (1)如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； (2)已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) ①，；② (2) 【分析】（1）①将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接，容易判断点关于线段的“旋转中点”都在线段上．由旋转可得，，结合中点公式可得，．使用待定系数法可得线段的解析式为，将三个点的坐标依次代入，排除不符合要求的点即可； ②由①可得线段的解析式为，因此； （2）先仿照（1）的解法画出点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”所在的四边形，容易计算得，．由作图可知，两种边界情况分别为点在边上和点在边上，分别求出、的解析式，结合不等式求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接， 由题意可知，点关于线段的“旋转中点”都在线段上， ∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， 又∵点、是、的中点， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴线段的解析式为， 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； ∵， ∴点不在线段上，即点不是点关于线段的“旋转中点”； ②由①可知，点关于线段的“旋转中点”都在上， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， 又∵，，， ∴点的坐标为，即， 设以线段为对角线的正方形为正方形，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，连接、、、，分别取、、、的中点、、、，连接成四边形，则点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”都在四边形的边上， ①当四边形在平行四边形的下方时，如图， ∵四边形是以线段为对角线的正方形， 又∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 由旋转可得，点的坐标为，点的坐标为， ∵、是、的中点， 又∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∵四边形的边要与平行四边形的内部有公共点， ∴点要在的上方， ∴， 解得； ②当四边形在平行四边形的上方时，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， 同理①可得，点要在的下方， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围为． 54．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)6 (2)证明：如图：过A作交于M点， ∴， ∵P是中点， ∴， 在与中 ， ∴； ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用矩形的性质、等腰三角形的判定与性质可得，即；再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图：过A作交于M点，证明可得，，再根据旋转的性质、三角形外角的性质、等角对等边以及等量代换可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （3）如图：取的中点F，连接，即，过Q作垂直于直线于G，即，证明可得，如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上，易得当共线时，有最小值；再求得直线的解析式为，易得；如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到，求得，最后根据两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． （2）略 （3）解：∵矩形，，， ∴， 如图：取的中点F，连接，即， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 如图：过Q作垂直于直线于G，即， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上， ，作C关于直线l的对称点，连接交直线l于，连接， ∴ ∴当共线时，有最小值， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， 如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到， 同理可证：∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当取最小值时，的长度为． 55．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据平角的定义列式计算即可； （2）先求出的度数，然后分在内部和在外部两种情况，根据角的和差关系列式求解； （3）分旋转后与所在直线垂直、与所在直线垂直、与所在直线垂直三种情况求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由（1）可知， ， 如图，当在内部时， 由旋转可知， ， ； 如图，当在外部时， 由旋转可知， ， ； 综上所述，或； （3）解：如图，当旋转得到的边所在的直线时，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时，此时在线段上， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时， ， ． 综上所述，当与的一边所在直线垂直时，旋转角的度数为或或． 56．（2026·四川乐山·中考真题）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法． 【感知密铺】 (1)同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面． 正多边形的边数 … 正多边形的内角和 … 正多边形每个内角的大小 … 上表中 ________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面． 【探寻密铺】 (2)同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径．    上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到． 【创作密铺】 (3)最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点 位置的密铺设计图．    【答案】(1)；能 (2)平移；旋转 (3)点 位置的密铺设计图如图： 【分析】（1）根据正六边形的内角和求正六边形每个内角的大小即可，再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角，得到正六边形能铺满地面． （2）根据平移与旋转的特征判断即可； （3）先画和为公共边的四边形，再画最后一个四边形即可． 【详解】（1）解：正六边形的内角和，则正六边形每个内角的大小， ∵，即三个正六边形内角恰好组成一个周角， ∴正六边形能铺满地面． （2）解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到； ③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到； （3）略 57．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 58．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $