28.1（第1课时）旋转的概念与性质（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“概念识别-要素分析-性质应用-规律探究”为路径，分层设计覆盖旋转全知识点，基础题夯实概念理解，提升题培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|旋转概念、生活实例判断|结合钟表指针、风力发电机等生活情境，强化几何直观| |技能应用|旋转中心/角/对应点识别、性质辨析|通过网格图形、正方形旋转等情境，培养空间观念| |综合拓展|性质综合应用、动态规律探究|设计旋转与三角形、坐标系结合的综合题，发展推理能力与模型意识|

28.1（第1课时）旋转的概念与性质（解析版） 目 录 类型一、判断生活中的旋转现象 1 类型二、判断由一个图形旋转而成的图案 5 类型三、找旋转中心、旋转角、对应点 14 类型四、旋转的性质 32 类型五、利用旋转的性质求解 42 类型六、旋转中的规律问题 55 类型一、判断生活中的旋转现象 1．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 2．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 3．下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 【答案】A 【详解】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，符合题意； B．国旗上升的过程，属于平移，不符合题意； C．传输带运输的东西，属于平移，不符合题意； D．飞驰的火车沿轨道移动，属于平移，不符合题意． 4．如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 【答案】D 【分析】根据图形结合旋转的定义逐一分析各个浮标的旋转方向即可判断． 【详解】解：由图可知，按照路线向上延伸，从浮标1的右侧绕过， ∴绕行浮标1是按逆时针方向； ∵接着路线向下延伸，从浮标2的上方绕过， ∴绕行浮标2是按顺时针方向； ∵接着路线向右延伸，从浮标3的左侧绕过， ∴绕行浮标3是按顺时针方向； ∵接着路线向上延伸，从浮标4的下方绕过， ∴绕行浮标4是按逆时针方向； ∵最后路线向右延伸，从浮标5的上方绕过，并从下方离开， ∴绕行浮标5是按顺时针方向， 综上所述，绕行浮标2，3，5时是按顺时针方向． 5．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 6．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 7．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【分析】题目主要考查旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可． 【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动， A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转； 故选：D． 8．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 9．下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定． 根据旋转的定义，判断各选项的运动类型． 【详解】解：A． 踢毽子：毽子运动轨迹为抛物线，整体以平移为主，虽有翻转但非绕固定点旋转，不符合题意． B． 钟摆的摆动：钟摆绕悬挂点做圆弧运动，符合绕固定点的旋转定义，符合题意． C． 气球升空：气球垂直上升，属于平移运动，无旋转，不符合题意． D． 传送带上的物体：物体随传送带水平移动，各点运动方向、距离相同，属于平移，不符合题意． 综上，只有选项B是旋转． 故选：B． 10．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的意义及在实际当中的运用． 根据在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、风车的转动是旋转，故此选项不符合题意； B、国旗的升降是平移不是旋转，故此选项符合题意； C、钟表分针的运动是旋转，故此选项不符合题意； D、拧瓶盖是旋转，故此选项不符合题意； 故选：B． 11．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 12．图中，甲图怎样变成乙图：_____． 【答案】绕点A顺时针旋转 【分析】根据旋转的定义即可求解． 【详解】解：观察可知，甲图绕点A顺时针旋转即可变成乙图． 故答案为：绕点A顺时针旋转． 【点睛】此题主要考查旋转的判断，解题的关键是熟知旋转的特点及定义． 13．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 类型二、判断由一个图形旋转而成的图案 14．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 15．如图，是正方形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得正方形被两条对角线和两条中点连线分成了8个全等的小三角形，再结合旋转的性质即可得出结果． 【详解】解：∵是正方形的中心， ∴正方形被两条对角线和两条对边中点连线分成了8个全等的小三角形， ∴绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合，绕点逆时针旋转与重合，绕点顺时针旋转与重合； 如图，连接与交于点，绕点顺时针旋转与重合， 综上所述，共个． 16．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转． 【详解】 解：是通过轴对称得到的，不是通过旋转得到的． 故选：C． 17．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 18．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 19．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 20．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 21．将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 22．如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由平移的性质和旋转的性质可求解． 【详解】解：图形先向左平移5格，再绕点逆时针旋转可得图形， 故选：C． 23．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出，故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； 故选：B． 24．将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键． 【详解】 解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是， 故选：． 25．如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了寻转的性质，根据旋转下判断即可． 【详解】 根据题意，旋转变化后的图片应是， 故选：B． 26．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 27．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号） 【答案】（2），（3），（4） 【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的． 故(2)、(3)、(4)正确， 故答案为：(2)、(3)、(4) ． 【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的性质． 28．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【答案】 ①如图1，将阴影部分三角形沿着翻折，得到； ②如图2，将分别绕着的中点和的中点旋转，得到，； ③如图3，将四边形沿着翻折，即可得到四边形； ④将图3绕着点旋转，即可得到图4． 【分析】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：略． 29．分析下列图形的形成过程． 【答案】 仔细观察会发现这四个图形分别是由以下的基本图形构成的．第一个是由基本图形旋转十次后得到的，第二个是由基本图形平移两次后得到的，第三个是由基本图形旋转五次后得到的，第四个是可以由轴对称变换得到 【分析】本题考查了几何变换，分清图形变换的几个最基本概念是解题的关键．仔细观察图案，分析构成的基本图形，再分析图形变换的过程和方式．是通过平移、轴对称、旋转中的一种变换还是其中的几种变换的组合，另外要注意图形形成不是唯一的，即基本图形也不唯一，要全面思考，认真分析． 【详解】解：略． 30．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 【答案】 先把图案先向左平移得到，再利用轴对称变换得到，然后利用旋转变换得到 【分析】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 先把基本图形向左平移，再利用轴对称变换得到，然后把旋转即可得到题中图形． 【详解】解：略． 类型三、找旋转中心、旋转角、对应点 31．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 32．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形， ，，为旋转角，不是旋转角． 33．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． 34．如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴旋转角等于． 35．如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，三角形内角和，求得的度数即可； 【详解】解：，， ， 根据旋转的性质，得，，， ， 设， ， ，，且， ， ， ， ， 解得， 故； 36．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 37．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵可看成是由旋转得到的， ∴旋转角是和， ∵， ∴旋转角的度数是． 38．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据旋转中心的定义和性质，利用格点构造对应点连线的垂直平分线，即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 分别作，的垂直平分线，交点为点，即点是旋转中心． 39．如图，木棒与分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点G旋转到与木棒平行的位置（规定顺时针旋转为正方向，记“+”），则旋转的角度应是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”，确定旋转后的度数，结合旋转方向的规定得出结果； 【详解】解：当时，， ，， 角度需减小， 观察图形可知，减小需将木棒绕点逆时针旋转， 规定顺时针旋转为正方向，记“”，则逆时针为负， 旋转的角度应是． 40．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出与的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 ． 【详解】解：连接，， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， 分别作出与的垂直平分线，与的垂直平分线的交点为B， 故旋转中心是点B． 41．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接、，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点B． 42．如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据邻补角定义可以求出，根据旋转的性质可知旋转角是． 【详解】解：在中，，， ， ， 旋转角是． 43．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误； 与，与是对应线段，则，，故B选项错误； 与是旋转角，，则，即，故C选项正确； 无法判断，的位置关系，故D选项错误． 44．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 45．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 46．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质． 由旋转得，故，可得，从而知旋转角为． 【详解】解：由旋转的性质得：， ． ． ∴旋转角为． 故选：B． 47．如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 48．如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的旋转变换．利用网格特点，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为．    故选：A． 49．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 故选：． 50．如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，连接，线段的中垂线的交点即为旋转中心，进行判断即可． 【详解】解：如图， 旋转中心的位置可以为点； 故选：B． 51．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 【答案】/度 【详解】解：由图可知，是对应边，是旋转角， 所以，旋转角． 52．如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为_______________． 【答案】/50度 【分析】先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角，，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴ ∵在平面内绕点旋转到的位置， 为旋转角，， ∴， ， 旋转角为． 53．如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 【答案】P 【分析】图形的旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点． 【详解】解：如图，连接，，分别作和的垂直平分线，交点在P点处，故其旋转中心是P点． 54．如图，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点P，．研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的，则这个旋转中心是图中的点_______________，旋转角可以用含的代数式表示为_______________． 【答案】 P 【分析】根据轴对称的性质，连续两次轴对称变换，若对称轴相交，则等效于绕交点旋转，旋转角等于两对称轴夹角的2倍． 据此进行解答即可． 【详解】解：由题意，点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，根据轴对称的性质得到，，， ∴， ∴点绕点旋转得到点，即旋转中心是图中的点； 由图可知：， ∴旋转角. ∵旋转角记为， ∴． 55．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，将三角尺绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_______°时，边恰好与边平行． 【答案】或 【分析】分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当在上方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时边旋转了，即边旋转了； 当在下方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴此时边旋转了，即边旋转了； 综上，当边旋转或时，边恰好与边平行． 56．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 【答案】(1)正方形是旋转对称图形； 如图，点即为正方形的旋转中心； 旋转角的度数可以是或或（答案不唯一）； (2)， (3) （答案不唯一） 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义及所给例子判断，求解即可； （2）连接，，，证明，得，根据图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，得其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为，可求得，进而根据三角形内角和定理及四边形内角和可求得； （3）根据旋转对称图形的定义将所给菱形绕点按顺时针或逆时针每次旋转，旋转5次，可得一个旋转对称图形（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形绕它的中心旋转或或能与自身重合，它是旋转对称图形， 作图略， 旋转角的度数略； （2）解：连接，，， ，，， ， ， 图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， 其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为， ； ， 由全等可得， ， 同理：， 点，，，在同一直线上， ， ； （3）略 57．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转得到，旋转中心是图中的______点（填M或N）． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)N 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为． 【详解】（1）略 （2）如图所示， 根据图象可知，是绕旋转中心点N逆时针旋转得到． 58．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 【答案】(1)B； (2) (3)3 【分析】（1）根据旋转的定义和正方形进行求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，进行求解即可； （3）根据解析（2）得出，，，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴旋转中心是点B，旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴， 即旋转角的度数是； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：根据解析（2）可得：，，，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 的长为3． 类型四、旋转的性质 59．经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是（     ） A．形状不变，大小改变 B．大小不变，形状改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都改变 【答案】C 【分析】本题考查对称、平移、旋转变换的基本性质，这三种变换都属于全等变换，仅改变图形的位置，不改变图形的形状和大小． 【详解】解：∵对称、平移、旋转变换都属于全等变换，变换前后的图形全等， ∴ 变换后图形的形状和大小都不会发生改变． 60．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 【详解】解：A、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； B、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； C、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； D、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：B． 61．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 62．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 63．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转性质得到，再进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴． 64．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 65．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的旋转性质可得，,，因为等边对等角，所以；又因为的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，所以即可求解． 【详解】解：在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．如图，在中，．将绕点逆时针旋转（）得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质知，， ， ， ∴， ， 由外角定义得． 67．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，判断A、B、C选项的结论．因为已知，旋转角为，所以可得到的大小．在中，已知、的长度和为直角，使用勾股定理计算的长度，判断D选项的结论． 【详解】解：A、由旋转，得，∴A正确； B、由旋转，得，∴B正确； C、由旋转，得，∴C正确； D、∵， ， ． ∴D错误． 68．如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：旋转角为， ， ， 故选：B． 69．如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ，， ． 故选：A． 70．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 连接，在中，根据勾股定理可得，由旋转的性质可得，，，进而可得，由邻补角互补可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出B、D两点间的距离． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由旋转的性质可得： ，，， ， ， 在中，，， 根据勾股定理可得： ， 故选：． 71．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 72．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】由旋转的性质可知，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 73．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 【答案】14 【详解】解：由旋转可知，又， ． 74．如图，将绕点顺时针旋转，得到，使得点恰好落在上．若，则_______． 【答案】/72度 【分析】根据旋转性质可知，，利用角度的和差可得，再由三角形内角和定理和对顶角相等可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵将绕点顺时针旋转，得到，使得点恰好落在上， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 75．如图，将绕点A顺时针旋转后得到，点B与点D是对应点，如果，那么________ ． 【答案】/40度 【分析】根据旋转的性质得出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， 又， ∴． 76．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 77．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 【详解】略 类型五、利用旋转的性质求解 78．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到， ， ， 是的外角， ， ． 79．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接，延长交于点M，延长交于点M，证明垂直平分得．由勾股定理得，再求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接，延长交于点M， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上． 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 80．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 81．如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据旋转得为旋转角，为对应边，为对应角，由E、B、C三点共线，知点A、E、B、C在上，从而可得，即可得． 【详解】解：由旋转得，，， E、B、C三点共线， 在中，， ． 82．如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绕点A逆时针旋转得，知，，故，根据三角形内角和定理可说明． 【详解】解：如图，设与交于点， 由旋转可知，，， ， 在中，， 在中，， ， ． 83．如图，有两个边长为的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，下列结论正确的个数为（     ）    ①        ②四边形的面积不变，始终为 ③    ④四边形的周长不变，始终为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】连接，，利用正方形性质证明，进而判断各结论即可． 【详解】解：连接，，   四边形是正方形，为中心， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，，，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 由图可得，四边形的周长， 的长度随旋转角度变化而变化， 周长不是定值，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共个． 84．如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，且于点D，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质及互余关系求角度即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ， ， ． . 85．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 86．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据旋转的性质得到，从而判定为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理求出顶角的度数即为旋转角. 【详解】解：，， ， 绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上， ，， 为等腰三角形， ， . 87．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】/94度 【分析】根据旋转的性质得出，可求出，进而得出，然后利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 88．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 【答案】 /40度 【分析】根据旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质求出和的度数，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵点D在边上 ， ∴， ∴． 89．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 【答案】 【分析】根据三角形的旋转性质得到为等边三角形，再根据手拉手模型证得，最后根据勾股定理逆定理解得是直角三角形，从而得出答案；再多次利用旋转的性质求出的面积，进而求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴是直角三角形，， ∴． （2）如图所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ， 由（1）知， ∴； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得， ∴， 则． 90．如图，如果将矩形绕点B按顺时针方向旋转到矩形的位置，那么是什么三角形？请证明你的猜想． 【答案】解：是等腰直角三角形，证明如下： ∵矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形， ∴点B是旋转中心，点D与点是对应点， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】根据旋转的性质得到，，即可解答． 【详解】略 91．如图，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想这是为什么，并说明理由． 【答案】如图所示，当正方形旋转到与相交于点时，所形成的与全等，所以，而的面积等于正方形面积的，所以两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的．同理可得：当正方形旋转到与（）相交于点时，两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的．所以无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 理由如下： 当正方形旋转到与相交于点时， 正方形和正方形都是正方形， 、， ， ， 在和中： （）． ， ， ． 即两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的． 同理可得：当正方形旋转到与（）相交于点时， 两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的． 所以无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 【分析】正方形绕点O转动，与相邻的对角线形成的对应三角形全等，进而得到：无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 【详解】略 92．与是有公共顶点的两个等边三角形，将绕点顺时针旋转至以下各位置： (1)如图1，当在下方时，说明． (2)如图2，当在边上时；如图3，当在内时；如图4，当在边上时；如图5，当时，还成立吗？请一一说明理由． 【答案】(1)证明：与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． (2)证明：仍然成立，以下分情况证明： ①当在边上时（图2）： 与是等边三角形， ，，， 在边上， 在边上． ， ． ②当在内时（图3） 与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． ③当在边上时（图4）： 与是等边三角形， ，，，即． 在和中： ， ． ④当时（图5） 与是等边三角形， ，，， 则，即． 在和中： ， ． 【分析】（１）因为与都是等边三角形，进而利用等边三角形的性质推导出，并证明，随后得到． （２）方法同（１），先证明，随后得到． 【详解】（1）略． （2）略． 类型六、旋转中的规律问题 93．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2028次旋转结束时，点C的坐标为． 94．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，点，是等腰直角三角形且，求出点的坐标为，利用旋转求出的坐标规律，再计算的坐标即可． 【详解】解：∵点，点，是等腰直角三角形且， ∴点的坐标为，根据题意旋转可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 以此类推，点的横坐标为，当为奇数时，点的纵坐标为，当为偶数时，点的纵坐标为2， ∴点的横坐标为， ∵是偶数， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 95．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，每旋转一次后等腰直角三角形的直角边长度就会扩大两倍，据此可确定点的横、纵坐标的绝对值，而点所在的象限是每旋转4次循环一周的，据此确定点所在象限，最终确定的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ， 又∵在第一象限， ∴， 由题意可得：，，，……， ∴得到等腰直角三角形时，， ∵在第四象限，在第三象限，在第二象限，在第一象限，……， ∴每顺时针旋转4次循环一周， ， ∴点在第一象限内， 点． 96．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，则点的横坐标是（     ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【答案】D 【分析】先求出，，，，各点的坐标，再根据规律解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中， ， 由旋转得，，， ∴，， ∴，，，， ∴点的横坐标是． 97．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 98．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，每次变换后线段的长度变为原来的2倍，方向顺时针旋转，由此可得，且每旋转6次回到初始方向所在的直线上，通过计算的余数确定点所在的象限及具体位置，最后利用含30度角的直角三角形的性质求出坐标即可. 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵每一次将三角形绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍， ∴，，，…，， ∴， ∵， ∴每旋转6次，点的对应点回到轴负半轴方向， ∵， ∴点的位置与点的方向相同， ∵点在轴负半轴，顺时针旋转， ∴点在轴正半轴，点在第四象限，且与轴正半轴夹角为， ∴点在第四象限，且， 过点作轴的垂线，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为. 99．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知与重合，与重合，过点作轴，根据勾股定理求得三角形的直角边，确定点的坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，……如此循环下去，在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限，依此类推， ∵，与第2次旋转得到的相同， ∴与重合，与重合， 如图所示， 过点作轴， 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴的坐标为， ∴的坐标为． 100．如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，…，依此类推，则旋转2026次后得到的等边三角形的顶点的坐标为______． 【答案】 【分析】找到旋转后点的坐标变化规律，进行解答即可． 【详解】解：在等边中，，， ∴， 过点作轴，则 ∴， ∴ 根据旋转的性质可以得出点的横坐标，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， ……， 综上可知，点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，即为． 1．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接，延长交于点M，延长交于点M，证明垂直平分得．由勾股定理得，再求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接，延长交于点M， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上． 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 2．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 3．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，顶点在第一象限，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，反比例函数过、两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作轴于点Q，连接，首先求出，证明是等边三角形，得到，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，连接 ∵矩形的顶点、分别在轴、轴上，， ∴轴，即点B的纵坐标为， ∵反比例函数过、两点， 将代入得，， 解得， ∴， 由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P在反比例函数上， ∴， 解得． 4．如图，将绕正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的顶点A顺时针旋转得，连接交于点H；则下列结论：①；②；③点A在线段的中垂线上；④与的周长和面积分别相等；其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】依托旋转全等得到对应角相等，拼接角证明垂直关系，由对应边相等判定点在中垂线上，利用全等三角形固有性质判定周长、面积相等． 【详解】解：根据旋转的性质可以得到：，故②错误， ∴与的周长和面积分别相等，故④正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴点A在线段的中垂线上，故③正确． ∴正确的选项有3个． 5．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的旋转性质可得，,，因为等边对等角，所以；又因为的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，所以即可求解． 【详解】解：在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据旋转得为旋转角，为对应边，为对应角，由E、B、C三点共线，知点A、E、B、C在上，从而可得，即可得． 【详解】解：由旋转得，，， E、B、C三点共线， 在中，， ． 7．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，，，，由勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】由旋转可得，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 8．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用在直角三角形中所对的边为斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，直角三角形两锐角互余以及等角对等边求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 由旋转得，，，， ， ， ， ． 11．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 【答案】或 【分析】连接，首先根据等边三角形的性质得到，，，利用勾股定理求出，然后根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点D为边中点，， ∴，，， ∴， ∵为直角三角形， ∴当点P在线段上时，如图， ∴， ∴； 当点P在延长线上时，如图， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 12．如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 【答案】 【分析】首先求出抛物线与轴的交点的坐标，设点，然后由旋转的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到直线， 设抛物线与轴的交点为， 时，， ， 设点，由题意得，， ， （负值舍去）， ∴点的坐标为． 13．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【分析】由旋转的性质证明，确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，利用含角的直角三角形性质算出最小值． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 14．如图，直角三角形的斜边在y轴的正半轴上，点A与原点重合，点B的坐标是，且，若将绕着点O旋转后，点B和点C分别落在点E和点F处，那么直线的解析式是______． 【答案】或 【分析】根据点的坐标以及勾股定理求出相关线段的长度，分逆时针和顺时针两种情况进行讨论，利用线段的长度求出相关点的坐标，最后利用待定系数法求解． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴由勾股定理得． ①如图所示，将绕着点O逆时针旋转时， 根据旋转得， ∴点， ∴直线的解析式是； ②如图所示，将绕着点O顺时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点， 根据旋转得，， ∵轴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得， ∴点， 设直线的解析式是， ∴， 解得， ∴直线的解析式是； 综上，直线的解析式是或． 15．如图1，已知直角三角形中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为，如图2，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，则m的值为__________． 【答案】/ 【分析】由旋转的性质可得，，则，进而得出，，则，因为为定值，则的系数为0，即可求出m的值． 【详解】解：三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为， ，， ， ，， ， 在旋转过程中，与始终满足为定值， ， 解得：． 16．如图，平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，若点恰好落在边上，则_____度． 【答案】 【分析】设，根据平行四边形的性质和旋转的性质及等边对等角，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意得，，， ∴， ∴即 解得 17．如图，将绕点A逆时针旋转得到．连结和．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【详解】解：逐一分析四个结论： ①由旋转可知，，①正确； ②由旋转角等于可知，②正确； ③根据题意只可得到，无法得到，③错误； ④如图，记与的交点为，与的交点为， ， ， ， ， ， ，④正确， 故正确结论的序号有①②④． 18．在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点F作，交延长线于点G，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点G，使，连接FG，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）由（2）知当时，，过点N作于点N，且使，连接PM，构造出，得出，，再得出，取中点H，连接，，得出，，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作，交延长线于点G， 在菱形中，， 四边形是正方形，， ，， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， ， 又， ； （2）解：如图，延长到点G，使，连接， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 即， ， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点N作于点N，且使，连接PM， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 取中点H，连接，， ，， ， ， 由两点之间线段最短得，且当N、H、F共线时， 取得最大值为． 19．如图1，中，，点在上，且满足，点在射线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． (1)请直接写出与的数量关系； (2)求证：点是的中点； (3)如图2，取的中点，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 延长至，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是的中点. (3)解：，理由如下： 如图，连接， ∵是的中点，的中点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可； （2）如图，延长至，使，连接，证明，，可得，进一步可得，证明，延长至，使，再结合平行四边形的性质可得结论. （3）如图，连接，证明，，再证明，进一步可得结论. 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴. （2）略 （3）略 20．如图，在平面直角坐标系中．点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线与轴交于点，点是抛物线上任意一点，其横坐标为，当点不在轴上时，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． (1)点、坐标分别为 ； ． (2)当轴时，求的值． (3)当点在轴上方时，点到轴的距离是点到轴距离一半时，求的值． (4)以、为邻边构造正方形，当点在轴上方时，正方形的面积被轴分成时，直接写出此时的值． 【答案】(1)   (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）抛物线和轴交点的纵坐标为，令，解一元二次方程可以得到两个解，因为在的左侧，数值更大的解即对应点的横坐标，抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式，算出对应的值，即可得到点坐标； （2）因为线段绕原点顺时针旋转得到，利用坐标旋转的性质，由抛物线上点的坐标推导出点的坐标，由平行于轴的直线上所有点的纵坐标相同建立方程，整理得到一元二次方程并求解，再结合题干要求点不在轴上检验所得解，得到的取值； （3）由点位于轴上方，说明点的纵坐标大于，可以先确定的取值范围．由平面中点到轴的距离是该点横坐标的绝对值，分别写出两点到轴的距离，根据题目所给倍数关系列出含有绝对值的等式，分情况讨论解得符合取值范围条件的； （4）由旋转可知与垂直且长度相等，由此写出正方形全部顶点的坐标，正方形面积被轴分成，说明两部分面积占正方形总面积的和，从而推导出轴必然经过正方形某边的中点，分情况讨论写出对应边中点的横坐标，根据轴上的点横坐标为建立方程，解得符合点在轴上方条件的． 【详解】（1）解：令，即， ， 解得，， 点在点左侧， ，． 当时，， （2）解：如图所示，当点为抛物线上不在轴上的任意一点时， 过点作轴，过点作轴， ，， ， 同理，， 在和中， ， ， ， 点的横坐标与点的纵坐标互为相反数，点的纵坐标与点的横坐标相等， 设点坐标为，则点坐标为， 轴，绕点顺时针旋转得到线段， 如图所示，有点在轴上方或下方两种情况． 点的纵坐标相等， ， 解得或． （3）解：点在轴上方， ， 或． 点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， 根据题意得，， 即，分两种情况讨论， 当两边同号时，， ， 解得或（舍去），情形如图所示， 当两边异号时，， ， 解得（舍去）或，情形如图所示， 综上，或． （4）解：正方形的面积被轴分成，即轴把正方形切成两部分，较小部分占总面积的，较大部分占总面积的， 可以推出轴过正方形一条边的中点，这条边可能是或． 设点坐标为，则可推出点坐标为，点坐标为． 情形一：中点在轴上 ，， 中点横坐标为，， ， ， 解得或， 当时，，点在轴下方，舍去； 当时，，点在轴上方，符合． 情形二：中点在轴上 ，， 中点横坐标为，， ， ， ， 解得或， 当时，，点在轴下方，舍去； 当时，，点在轴上方，符合． 综上，或． 1．在中，，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转，得线段． (1)如图1，若，连接，求证：； (2)如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：将绕点B逆时针旋转得线段． ，， 又， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ． (2) ，理由如下： 如图，延长使． 是的中线， ， 是的中位线， ， 将绕点B逆时针旋转得线段． ，， ，即， 又， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ； (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而可得，，可得，则，进而可得； （2）延长使，易得是的中位线，则，再证，则可得，进而可得 ； （3）分两种情况，情况一：设与的交点为G，过B点作于H点．由等腰三角形的性质可得，，进而可得，由可得．由（2）得，，进而可得，由，，可得．由可得，进而可得，，，进而可得，则可得，；情况二：在右侧，如图，此时，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：情况一：设与的交点为G，过B点作于H点． ，， ， 又，， ，． 设，则，则，解得， ， ， ， 若， ，由（2）知， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， 由（2）知． 情况二：当在右侧时，如图，过点E作交的延长线于T， 则， ， 是中点， 是的中位线， ， 综上，或． 2．按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 【答案】(1)150 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，证明四点共线，得，由勾股定理得，故可得结论； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，，即可得到，从而得到为等边三角形，，，根据两点之间线段最短得到，即可得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：把绕顶点旋转到处，连接，此时， ∴，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，； 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴四点共线， ∴， 在中，， ∴； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 3．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【答案】(1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ② (2)正方形； 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【详解】（1）①略；②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 4．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，可得 ，推出，三边之间的数量关系是 ，即可求得 ； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由； (3)如图③，在中，，点为内一点，连接，且，求的值． 【答案】(1) (2)解：理由如下：如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， 则，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即； (3) 【分析】（1）由旋转的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理即可完成； （2）由旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理即可完成说理； （3）分别将绕点A逆时针旋转，得到，利用等边三角形的判定与性质、含30度角直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴； （2）解：略； （3）解：∵， ∴， 由勾股定理得， 分别将绕点A逆时针旋转，得到，如图， 则，，， ∴均是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 5．【教材呈现】下面是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容． 例2：如图1，已知菱形的边长为，，对角线与相交于点．试求出这个菱形的两条对角线与的长．（结果保留根号） (1)结合图1，写出求解过程． 【应用】 (2)如图2，过图1中的点分别作，，连接和，则四边形的面积为________； (3)如图3，在菱形中，，对角线与相交于点．将其绕着点顺时针旋转得到菱形．若，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为________． 【答案】(1)解：四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形，是直角三角形， ， ， 在中，， ， 这个菱形的两条对角线与的长分别为和； (2) (3) 【分析】（1）由菱形的性质可证是等边三角形及是直角三角形，可得、的长度； （2）由（1）知是等边三角形，，可得，由勾股定理可得方程，得，再证明为等边三角形，得到，即可求得四边形的面积； （3）由菱形的性质及旋转的性质证明旋转前后两个菱形重叠部分图形是每条边都相等的八边形．根据勾股定理求得，即可求得重叠部分图形的周长． 【详解】（1）解：略； （2）解：由（1）知，是等边三角形，， ， ， ， 在中，，即， ， 同理可得， 为等边三角形， ， ； （3）解：设菱形与菱形各边交于点，如图， 由旋转得，，， 四边形与四边形是菱形， ，， 点共线， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 同理， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，即：， 解得（负值舍去）， ， 菱形与菱形的重叠部分的周长为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1（第1课时）旋转的概念与性质（原卷版） 目 录 类型一、判断生活中的旋转现象 1 类型二、判断由一个图形旋转而成的图案 2 类型三、找旋转中心、旋转角、对应点 6 类型四、旋转的性质 14 类型五、利用旋转的性质求解 18 类型六、旋转中的规律问题 22 类型一、判断生活中的旋转现象 1．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 3．下列运动属于旋转的有（   ） A．钟表上的时针运动 B．国旗上升的过程 C．传输带运输的东西 D．飞驰的火车 4．如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 5．数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 6．小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 7．数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 8．下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 9．下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 10．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 11．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 12．图中，甲图怎样变成乙图：_____． 13．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 类型二、判断由一个图形旋转而成的图案 14．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 15．如图，是正方形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（     ） A． B． C． D． 16．下列图形中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 17．北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 18．下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 19．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 21．将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   22．如图，图形F（     ）得到图形 A．先绕点O顺时针旋转，再向左平移5格 B．先绕点O逆时针旋转，再向右平移5格 C．先向左平移5格，再绕点O逆时针旋转 D．先向左平移5格，再绕点O顺时针旋转 23．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 24．将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 25．如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 26．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 27．关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号） 28．如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 29．分析下列图形的形成过程． 30．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程． 类型三、找旋转中心、旋转角、对应点 31．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 32．如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 33．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 34．如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 35．如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 36．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 37．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 38．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 39．如图，木棒与分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒绕点G旋转到与木棒平行的位置（规定顺时针旋转为正方向，记“+”），则旋转的角度应是（     ） A． B． C． D． 40．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 41．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 42．如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（     ） A． B． C． D． 43．如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（     ） A．与是对应点 B． C． D． 44．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 45．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 46．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 47．如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 48．如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 49．如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 50．如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 51．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 52．如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为_______________． 53．如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 54．如图，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点P，．研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次得到的，则这个旋转中心是图中的点_______________，旋转角可以用含的代数式表示为_______________． 55．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，，将三角尺绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_______°时，边恰好与边平行． 56．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 57．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转得到，旋转中心是图中的______点（填M或N）． 58．如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 类型四、旋转的性质 59．经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是（     ） A．形状不变，大小改变 B．大小不变，形状改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都改变 60．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 61．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 62．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 63．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 64．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 65．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 66．如图，在中，．将绕点逆时针旋转（）得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 67．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 68．如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 69．如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 70．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 71．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 72．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 73．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 74．如图，将绕点顺时针旋转，得到，使得点恰好落在上．若，则_______． 75．如图，将绕点A顺时针旋转后得到，点B与点D是对应点，如果，那么________ ． 76．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 77．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 类型五、利用旋转的性质求解 78．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 79．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 80．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 81．如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 82．如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（     ） A． B． C． D． 83．如图，有两个边长为的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，下列结论正确的个数为（     ）    ①        ②四边形的面积不变，始终为 ③    ④四边形的周长不变，始终为 A．个 B．个 C．个 D．个 84．如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，且于点D，则的度数为（     ） A． B． C． D． 85．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 86．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A． B． C． D． 87．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 88．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 89．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 90．如图，如果将矩形绕点B按顺时针方向旋转到矩形的位置，那么是什么三角形？请证明你的猜想． 91．如图，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想这是为什么，并说明理由． 92．与是有公共顶点的两个等边三角形，将绕点顺时针旋转至以下各位置： (1)如图1，当在下方时，说明． (2)如图2，当在边上时；如图3，当在内时；如图4，当在边上时；如图5，当时，还成立吗？请一一说明理由． 类型六、旋转中的规律问题 93．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 94．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 95．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 96．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，则点的横坐标是（     ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 97．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 98．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 99．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 100．如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，…，依此类推，则旋转2026次后得到的等边三角形的顶点的坐标为______． 1．如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 2．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，顶点在第一象限，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，反比例函数过、两点，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的顶点A顺时针旋转得，连接交于点H；则下列结论：①；②；③点A在线段的中垂线上；④与的周长和面积分别相等；其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点A顺时针旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点A、D、E），若E、B、C三点共线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 10．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 11．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 12．如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 13．如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 14．如图，直角三角形的斜边在y轴的正半轴上，点A与原点重合，点B的坐标是，且，若将绕着点O旋转后，点B和点C分别落在点E和点F处，那么直线的解析式是______． 15．如图1，已知直角三角形中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为，如图2，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，则m的值为__________． 16．如图，平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，若点恰好落在边上，则_____度． 17．如图，将绕点A逆时针旋转得到．连结和．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 18．在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 19．如图1，中，，点在上，且满足，点在射线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． (1)请直接写出与的数量关系； (2)求证：点是的中点； (3)如图2，取的中点，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 20．如图，在平面直角坐标系中．点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线与轴交于点，点是抛物线上任意一点，其横坐标为，当点不在轴上时，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． (1)点、坐标分别为 ； ． (2)当轴时，求的值． (3)当点在轴上方时，点到轴的距离是点到轴距离一半时，求的值． (4)以、为邻边构造正方形，当点在轴上方时，正方形的面积被轴分成时，直接写出此时的值． 1．在中，，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转，得线段． (1)如图1，若，连接，求证：； (2)如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 2．按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 3．综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 4．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，可得 ，推出，三边之间的数量关系是 ，即可求得 ； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由； (3)如图③，在中，，点为内一点，连接，且，求的值． 5．【教材呈现】下面是华师版八年级下册数学教材第112页的部分内容． 例2：如图1，已知菱形的边长为，，对角线与相交于点．试求出这个菱形的两条对角线与的长．（结果保留根号） (1)结合图1，写出求解过程． 【应用】 (2)如图2，过图1中的点分别作，，连接和，则四边形的面积为________； (3)如图3，在菱形中，，对角线与相交于点．将其绕着点顺时针旋转得到菱形．若，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $