第二十五章 一元二次方程 单元卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合实际情境与数学思想，适配初中数学单元复习，有效检测学生运算能力、模型意识及创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的意义、判别式等|第8题流感传染问题体现模型意识，第10题新定义运算考查创新思维| |填空题|6/18|根与系数关系、实际列方程等|第15题结合俗语情境渗透文化传承，第16题动点问题培养空间观念| |解答题|8/72|解方程、韦达定理、综合应用等|23题动点相似问题发展推理能力，24题韦达定理探究体现转化思想，21题利润问题强化应用意识|

第二十五章 一元二次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，不是一元二次方程，不符合题意； 2、若一元二次方程有一根为，则代数式的值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：将代入得， ， ． 3、根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的范围为， 4、已知方程的一个根是，且，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：已知方程的一个根是，且， ∴， 两边同时除以得，， ∴， 5、将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 6、关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 7、已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 【答案】B 【详解】解：， ， 令， ， 解得：或， ， （舍去）， 的值是3， 8、有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 则第三轮传染后有（人）； 9、如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 【答案】A 【详解】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴金色纸边的宽为1分米； 10、定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】B 【详解】解：当即时， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 当即时， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，的值是或， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12、方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：，， 故答案为：，． 13、若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 14、关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：． 15、俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，依据题意列方程是 ． 【答案】 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 故答案为：． 16、如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【答案】10 【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： (1)（公式法）； (2)（方法不限）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18、已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)且 (2)10 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 19、下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)二，过程见详解 【详解】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 20、【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 21、某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得504元的利润，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每件售价应定为元 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：每次下降的百分率为； （2）设每件售价应定为元，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每件售价应定为元． 22、如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． (1)设花圃的一边为，则的长可用含x的代数式表示为_________m； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ (3)围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米 (3)不能，理由见详解 【详解】（1）解：的长可用含x的代数式表示为， 故答案为：； （2）解：依题意有， 解得； 当时，符合题意； 当时，不符合题意，舍去， 故当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米． （3）解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不能围成的花圃． 23、如图，在△ABC中，∠B=90°，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与△ABC相似？ 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3)或 【详解】（1）解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． （2）解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． （3） 解：当时， 即，解得 当时， ， 即， 解得， 或． 24、根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】问题1：，．问题2：．问题3： 【详解】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2、若一元二次方程有一根为，则代数式的值为（　　） A． B． C． D．0 3、根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法判定 4、已知方程的一个根是，且，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 5、将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6、关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 7、已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 8、有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 9、如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 10、定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 12、方程的解为 ． 13、若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 14、关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 15、俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，依据题意列方程是 ． 16、如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程： (1)（公式法）； (2)（方法不限）． 18、已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 19、下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 20、【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 21、某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得504元的利润，每件售价应定为多少元？ 22、如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． (1)设花圃的一边为，则的长可用含x的代数式表示为_________m； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ (3)围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 23、如图，在△ABC中，∠B=90°，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与△ABC相似？ 24、根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $