第25章一元二次方程 分层练习-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层设计覆盖一元二次方程全考点，融合概念辨析、解法应用与实际建模，提炼换元法、分类讨论等核心方法，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|15题|定义辨析（1题）、因式分解/配方法/公式法解方程（2、5、15题）、根的判别式应用（3、7、8题）、根与系数关系（9、14题）、增长率/利润模型（6、11、17题）|从概念（定义）到性质（判别式、根与系数关系），再到解法（三种方法）及实际应用，形成完整逻辑链| |拔高训练|3题|换元法解方程（16题）、几何动态问题建模（18题）、二次三项式因式分解（20题）|通过跨情境综合题（几何、代数推理）深化知识迁移，发展推理能力与应用意识|

第25章一元二次方程分层练习 基础巩固 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 5．若关于的一元二次方程，配方后正确的结果是（    ） A． B． C． D． 6．随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．某市2022年数字阅读市场规模为万元，2024年数字阅读市场规模为万元．设年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断 8．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 9．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 10．方程有两个相等实数根，_________． 11．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的30万人增加到2025年的万人．则该市参加健身运动人数的年均增长率是________． 12．小明在与对话中输入如下的文字，当敲下回车键后，给出的这个数应该是______． 13．已知，满足，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 14．通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 15．解下列一元二次方程： (1) (2) 16．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 17．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． (1)若售价下降1元，每天能售出______箱饮料，若售价下降元（），每天能售出______箱饮料； (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ (3)能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 拔高训练 18．实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 19．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 20．我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B B A C A 1．A 【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，满足所有条件，故本选项符合题意； B选项方程含有分式，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意； C选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； D选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； 2．C 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴可得或， 解得． 【点睛】多个因式乘积为0，则至少一个因式为0． 3．D 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，对于一元二次方程，当时，方程无实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、方程中， ． 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、方程中， ． 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、方程中， ． 该方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、方程中， ． 该方程无实数根，符合题意． 4．B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 5．B 【分析】按照配方法步骤，将常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧整理为完全平方式，得到配方结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， ∴整理得 ． 6．A 【分析】根据增长率的计算规律，找到初始量，终止量和增长年数，列出方程即可判断正确选项． 【详解】解：∵2022年数字阅读市场规模为400万元， ∴经过1年增长后2023年的市场规模为万元， 经过2年增长后2024年的市场规模为万元， 又∵2024年数字阅读市场规模为576万元， ∴可得方程． 7．C 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的解的定义可得，利用根与系数的关系得到的值，并将原表达式变形后代入计算，即可求解． 【详解】因为是方程的根， 所以，即 ∴ 由根与系数的关系，， 所以原式， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，由方程有两个相等实数根，可知判别式等于零，据此建立关于k的方程并求解． 【详解】解：在方程 中，，，，判别式 ， 令，得，即， 解得， ∴或， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设年均增长率为x，根据“从2023年的30万人增加到2025年的万人”列方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 故答案为：． 12．4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个正数为x，由题意得，，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个正数为x， 由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴给出的这个数应该是4， 故答案为：4． 13．且 【分析】本题考查非负数的性质、一元二次方程的根的判别式的应用．关键是先利用非负数的性质求出、的值，再根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式，进而联立求解的取值范围． 【详解】：解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴关于的一元二次方程为， ∵该方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立与的关系，再代入代数式化简求值． 由方程和，设，则，令，代入得，与第一个方程同解，故和是方程的两个根，根据根与系数的关系，得和，即和．代入代数式，化简后利用计算． 【详解】解：和， 设，则． 令，代入得，与形式相同， 故和是方程的两个根． 根据根与系数的关系，得： 即： 代入代数式： 由，得， 代入分子：， ∴， 由，得 ，代入分子：， ∴． 15．(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法直接求解即可. （2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可. 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴，. （2）解： 或 ， 16．，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 17．(1)120，； (2)每箱应降价5元； (3)不能，理由如下： 假设能使每天销售该饮料获利达到1500元， 根据题意列方程得： 整理得 该一元二次方程的判别式， ∴该方程没有实数根，不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【分析】（1）根据题意，直接计算得到不同降价对应的销售量； （2）设每箱降价元，根据题意得出每箱利润为元，每天销售量为箱，列出方程求解即可； （3）同（2）方法一致，列出方程进行判断即可． 【详解】（1）解：已知原平均每天售出100箱，每降价1元多售出20箱， 降价1元时，销售量为(箱)， 降价元()时，多售出箱，销售量为箱； （2）设每箱降价元， 此时每箱利润为元，每天销售量为箱， 根据题意列方程得： 整理得 解得，， ∵要求扩大销售，增加利润， ∴降价越多销售量越大， ∴， 答：每箱应降价5元，可使每天销售该饮料获利1400元； （3）略 18．(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． （2）略 19．(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $