5.2 二元一次方程组的解法（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础解法到综合应用再到中考衔接，构建“概念理解-运算强化-思维创新”的巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|代入/加减消元法、计算训练、含参问题、整体代入等|基础题型为主，含步骤辨析题（如解法错误判断），强化运算能力与推理意识| |B组能力进阶|综合解法应用、错中求解、同解方程|情境化问题设计，结合跨知识点综合题，培养模型意识与应用意识| |C组思维拔高|特殊解法（轮换对称）、整体思想拓展|创新题型（如构造新方程组），突出转化思想，发展创新意识与逻辑推理| |拓展链接中考|中考常见题型（含参、同解问题）|真题导向设计，衔接升学要求，提升应试能力与数据意识|

分层作业 5.2 二元一次方程组的解法 目 录 A组 巩固过关 题型01 代入消元法解方程组 题型02 加减消元法解方程组 题型03 解方程组计算训练 题型04 解方程组含参问题 题型05 方程组的特殊解法---整体代入 题型06 错中求解问题 题型07 同解方程问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 代入消元法解方程组题型01 一、单选题 1．由可以得到用表示的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用等式的基本性质，将单独放在等式一侧，整理即可得到用表示的结果． 【详解】解：∵ 原方程为， 移项得， 等式两边同时乘，得． 2．由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】消去方程组中的参数，即可得到与的关系式． 【详解】解：方程组， 将代入，得， 整理得． 3．下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【答案】D 【分析】观察方程组结构，寻找最简便的消元方式，优先利用已有整体形式代入简化计算． 【详解】解：， 方程②已经直接给出的表达式，两个方程都含， ∴直接将②整体代入①，即可消去未知数，无需额外变形得到分式形式，计算步骤最少，是最简单的解法． 二、填空题 4．已知方程，用含的代数式表示，则_________ 【答案】 【分析】利用等式的性质对方程进行变形，再用含的代数式表示即可求解． 【详解】解：， 移项得：． 5．若，，用含的式子表示的结果是__________． 【答案】 【分析】先根据，用含的式子表示出，再将代入，整理即可得到结果． 【详解】解：由，得， 将，代入， 得， 即用含的式子表示的结果是． 6．把方程变形，用含的式子表示，可得__________． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得． 7．用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________． 【答案】 【详解】解：把②代入①得， 去括号得． 8．以下是小亮解方程组的过程，其中开始出现错误的是第______步，错因是_________________． 【答案】 一 移项没有变号 【分析】根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：解方程的正确步骤为： ， 由①得：， 将③代入②得：， 解得： 代入③得：， ∴原方程组的解为． 三、解答题 9．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：， 解：，得．③…………第一步 ，得，……………………第二步 ．……………………………………第三步 把代入①，得，……第四步 ．……………………………………第五步 所以这个方程组的解为 ．…………第六步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_____________（填“加减”或“代入”）消元法； (2)年年同学解二元一次方程组的过程从第_____________步开始出现错误； (3)请用另一种消元法求解这个二元一次方程组． 【答案】(1)加减 (2)一 (3) 【详解】（1）加减消元法：将二元一次方程组中的方程通过相加或相减消去某一个未知数的方法； （2）解：第一步，时，等号右边5未乘3，应为15，错算为5； （3）解：由①，得．④         把④代入②，得． 解这个方程，得． 把代入④，得． 所以这个方程组的解为． 10．若关于x，y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_________； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将变形为，二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）根据题意，得关于x、y的二元一次方程是，代入，求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：该方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 把代入方程可得：． 解得：． 加减消元法解方程组题型02 一、单选题 1．已知，满足方程组，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所求代数式与方程组的结构，通过两式相减直接求出的值． 【详解】解： ∴，得． ∴ ． 2．已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【分析】观察方程组系数特点，将两方程相加后整体求解的值． 【详解】解： ，得． 两边同时除以5，得． 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个选项中的方法计算出来再判断即可． 【详解】解：选项：，得，不能消去未知数，消元错误； 选项：，得，不能消去未知数，消元错误； 选项：，得，消去未知数x，符合加减消元要求，消元正确； 选项：，得，不能消去未知数，消元错误． 4．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若消去未知数，则运算后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件． 【详解】解：，得： ， 整理得：， 消去了未知数， 的系数为， 即． 二、填空题 5．已知x，y满足方程组，则的值是_______． 【答案】 【分析】无需分别求解和，直接将两个方程作差即可得到的值． 【详解】解：记方程组， 用②减去①，得， ∴， ∴． 三、解答题 6．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得， 将代入②得， 解得， 将代入得， ∴方程组的解为． 7．解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用消元法消去一个未知数，先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数即可． （2）先将原方程组整理为标准二元一次方程组，再用消元法求解． 【详解】（1）解： 由②得 把③代入①，得 解得， 把代入③，得 因此原方程组的解为； （2）解：整理原方程组得 由得 把，得 解得， 把代入③，得 因此原方程组的解为． 8．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 由得， 解得， 将代入①得， ∴， ∴方程组的解为． 9．下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③  …………第一步 ，得  …………第二步 两边都除以，得  …………第三步 将代入①，得，解得  …………第四步 所以，原方程组的解为  …………第五步 (1)上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是____________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 (2)小明同学的解题过程从第_____步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解________________． 【答案】(1)B (2)三，. 【分析】（1）根据小明使用的方法进行判断即可； （2）第三步，计算出错，利用加减消元法进行计算即可. 【详解】（1）解：由题可知，小明使用的方法为加减消元法； （2）解：第三步，除以时，等式右边没有变号； ，得③ ，得，解得， 将代入①，得，解得； 所以，原方程组的解为. 解方程组计算训练题型03 一、解答题 1．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解为． （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 2．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可； 【详解】（1）解： ②①得，， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解： 方程组可化为， ①②得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 3．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 4．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①， 得， ∴方程组的解是； （2）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解是． 5．解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 6．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 把代入，可得：，解得：， 把代入，可得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 整理得， 整理得， 把，可得：，解得：， 把代入，可得：，解得：， ∴方程组的解为． 7．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 解方程组含参问题题型04 一、单选题 1．已知是方程组的解，则的值为（） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】将已知的方程组的解代入原方程组，得到关于和的二元一次方程组，利用加减消元法即可直接求出的值，不需要分别解出和的具体值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴把代入方程组，得 由，得 化简得． 2．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用表示出，再结合列方程求解． 【详解】解： 用得，整理得， ∵ ， ∴ ， 解得， 故选：． 二、填空题 3．已知关于x、y的方程组的解满足，______． 【答案】4 【分析】由得：，再由，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， ∴． 4．已知关于的二元一次方程组，则的值___ ． 【答案】 【分析】先将方程组中的两个方程相加，得，整理得即可得出答案． 【详解】解：， 由①②得， ∴，则． 5．已知方程组，则的值为_________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键在于运用整体思想简化运算，无需单独解出x、y的具体值．通过将方程组两式相加，直接凑出目标式的整体值，再代入即可求解． 【详解】解： 将，得 两边同时除以，得 ， ． 6．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 【答案】2024 【分析】本题考查二元一次方程组的整体思想． 通过将两个方程相加，得到与的关系式，进而求解的值． 【详解】解：， 得：， 即：， 两边同时除以6，得：， ， ， 解得：， 故答案为：2024． 三、解答题 7．已知关于，的方程组，且其解满足．在求的值时，有下面两种方案： 甲方案 按照传统思路，先对方程组进行求解，然后将含的解，代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 乙方案 通过观察方程组和最后一个关系式，可以利用整体法，将方程组的两个方程相加，再直接代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 请你任选一种方案，求出的值． 【答案】 【分析】甲方案先利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再代入即可得到的值；乙方案直接结合题目所给条件得出，求解即可得到的值． 【详解】解：利用甲方案： ， 得， 得，解得， 把代入得， ， ， 化简得， 移项得， 解得； 利用乙方案： ， 得， ， ， 移项得， 解得； 以上两种方案任选一种解答即可． 8．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 9．数学活动课上，小丽和小华、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 小丽：将①③联立可得一个新的不含m的二元一次方程组，先求然后再求m的值． 小华：我发现，直接可以更简便地求出m的值． 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小丽的方法，求x、y的值； (2)请按照小华的思路求出的值； (3)老师说小丽、小美的方法运用了转化的思想，小华的方法则体现了 思想．（填序号：①整体；②数形结合；③分类讨论） 【答案】(1) (2) (3)① 【详解】（1）解：由题意得： ，得， 把代入③，得， ； （2）解：， ，得， ， ， ； （3）解：小华的方法则体现了①整体思想． 10．已知方程组，其中．求的值． 【答案】 【分析】先将看做已知量求解，再将方程组的解代入计算即可． 【详解】解：解得：， ∴． 11．七年级教材下册40思考与交流中提出，根据方程组的特点选择适当的方法． 数学活动课上，乐学组、创新组在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 乐学组：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组， 创新组：直接可以更简便地求出的值． (1)请按照乐学组的方法，求出，的值； (2)请按照创新组的思路求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由①③联立得新的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）由得到，结合已知，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 得， 将代入③得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，即， ∵， ∴， 解得． 方程组的特殊解法--整体代入题型05 一、单选题 1．我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与看作整体，对应原方程组的未知数，利用已知解列方程组求解． 【详解】解：∵新方程组与原方程组结构相同， ∴ ， 解得． 二、填空题 2．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】观察两个方程组可得，满足，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴关于，的二元一次方程组的解满足， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解是． 3．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，这个题目的解应该是__________． 【答案】 【分析】利用换元法求二元一次方程组的解． 【详解】解：整理方程组， 可得：， 方程组的解是， ， 方程组的解为． 三、解答题 4．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 5．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解这个方程组，得________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解方程组：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解即可； （2）设，，原方程组可化为，解得，再求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． （2）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 6．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组． 观察发现： (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为______，解关于m，n的方程组，得所以，解方程组，得______． 探索猜想： (2)运用上述方法解方程组：； 拓展延伸： (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：原方程组可化为； 方程组，得； （2）解：设，． 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：方程组整理得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得． 错中求解问题题型06 一、填空题 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 【答案】1 【分析】将代入方程组得，将代入得，由①②③解得，代入所求式子即可得出结果． 【详解】解：∵甲同学正确地解出， ∴将代入方程组得， ∵乙同学因把c抄错了解得， ∴将代入得， 由①②③解得， ∴． 2．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了b，解得；乙因抄错了a，解得．则的值等于______． 【答案】 【分析】甲抄错，正确，因此甲的解满足原方程组第一个方程，可求出；乙抄错，正确，因此乙的解满足原方程组第二个方程，可求出，最后计算即可． 【详解】解：原方程组为， 甲抄错，正确，因此甲的解满足方程①， 将代入①，得，解得； 乙抄错，正确，因此乙的解满足方程②， 将代入②，得，解得； ∴． 二、解答题 3．小甲和小乙两人共同解方程组．小乙看错了方程①中的a，得到方程组的解是，小甲看错了方程②中的b，得到方程组的解是． (1)求a、b的值； (2)求此方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意代入列方程求解即可； （2）代入a、b的值再解方程组即可； 【详解】（1）解：据题意得，满足方程②，满足方程①， 分别代入得，，解得， ，解得． 综上，，． （2）解：方程组为， 得：，即， 将代入①得：， 则方程组的解为． 4．已知关于，的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为________． (2)若该方程组的解满足，求的值． (3)若小宇同学在解此方程组时，看错了的符号，从而得到解为，则正确的值为________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）取，求出对应的值即可； （2）求出方程组的解，代入即可得出结果； （3）根据题意，得到是方程的解，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 故方程的一组正整数解可以为（答案不唯一）； （2）解：由题意，方程组与方程组同解， 解，得， 把代入，得， 解得. （3）解：由题意，是方程的解 ∴， ∴. 同解方程问题题型07 一、单选题 1．关于，的方程组与有相同的解，则的值为（     ） A．-1 B．2 C．4 D．-12 【答案】C 【分析】本题考查同解方程组的性质与二元一次方程组的解法，两个方程组有相同的解，说明解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程求出参数，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴该解同时满足和 联立得 解得， 把代入， 得 解得 把，代入得： ． 二、填空题 2．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 【答案】3 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 三、解答题 3．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】熟练掌握二元一次方程组的解的概念，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）根据题意组成新的方程组，求解即可； （2）把（1）中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意联立得， 解得， 即两个方程组相同的解是； （2）把代入方程和中， 得， 解得， ∴． 4．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知的两个方程组的解相同得到关于、的方程组，求出、的值，再将、的值代入含、的两个方程中，得到关于、的二元一次方程组，进而求出、的值即可； （2）解方程组求出，的值，再将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同，， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， 由①得， 将代入②得， 解得， 将代入①，得， 解得, ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有，的方程组得， 得， 解得， 将代入③，得， 解得； （2）解：解方程组， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵关于，的方程组的解满足， ∴将，代入得， 解得． 一、单选题 1．小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 【答案】A 【分析】先利用方程组的解满足方程的性质，先求，再求即可． 【详解】解：把代入，得，解得，即； 把，代入，得． 2．由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】消去方程组中的参数，即可得到与的关系式． 【详解】解：方程组， 将代入，得， 整理得． 3．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 4．若关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用整体思想，将方程组两个方程相加得到的表达式，再根据与互为相反数得到，代入即可求出的值． 【详解】解： 得， 整理得， ，互为相反数， ， ， 解得． 二、填空题 5．已知x，y满足方程组，则的值是_______． 【答案】 【分析】无需分别求解和，直接将两个方程作差即可得到的值． 【详解】解：记方程组， 用②减去①，得， ∴， ∴． 6．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用换元法将待解方程组转化为与已知结构相同的方程组，结合已知解求解新方程组． 【详解】解：设，， 则方程组可化为， ∵已知方程组的解是， ∴代入换元关系式得， 解得． 7．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 【答案】 【分析】先求解关于，的二元一次方程组，得到用表示的和，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 两式相加得， 解得：， 将代入，得， 即方程组的解为，将其代入， 得，化简得， 解得：． 8．已知方程组的解x、y之和为2，则__． 【答案】 【分析】已知方程组的解满足，结合第一个方程可先求出和的值，再代入第二个方程计算求出． 【详解】解：由题意得：方程， 将代入方程得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 再把、代入方程得：， 解得：． 9．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 【答案】 【分析】根据已知定义得出方程，，整理后得出关于a、b的方程组求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 10．若，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质得到方程组，解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 11．若方程组的解也是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为______． 【答案】 【分析】先解方程组，可得，再进一步求解即可. 【详解】解： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：． 三、解答题 12．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组，可以写成矩阵的形式．例如：，可以写成矩阵的形式． (1)将，写成矩阵的形式：_________； (2)若矩阵所对应的方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)（或） (2)8 【分析】（1）将方程组化为的形式，根据题意写成矩阵的形式即可； （2）将矩阵转化为，根据方程组与方程同解，联立方程，求出x，y的值后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程组可化为，也可化为 写成矩阵的形式为或． （2）解：矩阵所对应的方程组为， 方程组的解满足， 联立方程得， 解得， 将代入，得， 解得． 13．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 得：， ∴． 14．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由； (2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【答案】(1)该方程组的解与具有“邻好关系”，理由如下： ， 由得， 将代入得， 解得， ∵， ∴该方程组的解与具有“邻好关系”； (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义判断即可得出结果； （2）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∵关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得． 15．阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 【答案】 【分析】根据题意，用整体代入法即可解答． 【详解】解：由①得， 所以， 将③代入②得， 解得； 把代入①，解得， 所以该方程组的解为． 16．定义：关于、的二元一次方程（其中、、互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． 根据上述定义，解答下列问题： (1)方程的“变更方程”为_______； (2)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (3)已知（2）中求出的解也是关于、的方程的一组解，求、的正整数值． 【答案】(1) (2) (3)、的正整数值为 【详解】（1）解：根据定义可知方程的“变更方程”为， （2）解：由题意知：方程的“变更方程”为， 联立， 解得． （3）解：将代入中，得， 整理得， 、均为正整数， 或， 互不相同， 、的正整数值为． 17．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ， 解得：， 同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 可得：， 解得：， ． 一、单选题 1．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元的思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，再利用已知方程组的解得到新的方程，即可求解. 【详解】解：首先整理待解方程组：，将方程组变形得：， ∵已知原方程组的解是 ∴可得，解第一个方程得，即，解第二个方程得， ∴待解方程组的解为，对应选项C． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得， 将代入方程左右两边， 左边，右边， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； 方程组得， 若，则，解得，故②正确； ∵，， ∴两方程相加得， ∴， ∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵， ∴x，y都为自然数的解有共5对， 故④正确． 故选：D 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键． 二、填空题 4．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 【答案】 【分析】首先根据甲、乙的解求出、的值，即可得到正确的方程组，解方程组求出方程组的正确解． 【详解】解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 原方程组为， 解方程组可得：． 5．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中且；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则________ 【答案】1 【分析】根据共轭二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：根据共轭二元一次方程的定义， 得， 解得， ． 6．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 【答案】 【分析】根据“2性质”方程的定义和方程解的定义，列出关于,的二元一次方程组，求解得到,后即可计算出，考查二元一次方程组的求解． 【详解】解：将原方程整理为符合“2性质”要求的形式，得 ， 该方程是具有“2性质”的方程，满足， 可得， 整理得， 是该方程的一个解，代入原方程得， ， 整理得， 由①得，代入②得， ， 展开计算得， 解得把代入，得 ， 因此． 三、解答题 7．已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用加减消元法解答即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值； 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 8．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么我们称这个方程组为“友好方程组”． (1)判断方程组是否为“友好方程组”，并说明理由． (2)若方程组是“友好方程组”，求的值． (3)若方程组的解是正整数，且是正整数，则这个方程组是否可以是“友好方程组”？如果可以，请求出的值及方程组的解；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) 该方程组是“友好方程组”，理由如下： 解方程组，得所以，符合定义， 所以该方程组是“友好方程组”． (2)或 (3)这个方程组可以是“友好方程组”，且，方程组的解是 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好方程组”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好方程组”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好方程组”的定义判断即可求解； 【详解】（1）解：略． （2）解：解方程组，得 由题意可知，， 即，解得或． （3）解：方程组两式相加可得． 若该方程组是“友好方程组”， 则，即或， 所以分以下两种情况讨论： ①当时，联立方程组解得将代入，得． 因为是正整数，所以不符合题意，舍去； ②当时，联立方程组解得 将代入，得． 综上所述，这个方程组可以是“友好方程组”，且，方程组的解是 【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，新定义，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组是解题的关键． 一、单选题 1．方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察方程组发现y的系数互为相反数，可采用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y即可． 【详解】解： ∵①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得 ∴原方程组的解为． 二、填空题 2．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____． 【答案】5 【分析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题； 【详解】∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解， ∴， 解得， ∴a+b=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解题意，用转化的思想解答是解题的关键． 3．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 三、解答题 4．生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 【答案】(1) 的值为，的值为 (2) 密文的明文为 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【详解】（1）解：由题意，将两组对应值代入， 得 解这个方程组，得； （2）由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． 5．解二元一次方程组、化简求值： (1)解二元一次方程组：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为, 值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加可求出，把代入第一个方程，可求出，从而可得方程组的解； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算括号内的，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算得最简结果，再代入的值进行计算即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为； （2）解： ； 当，时，原式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.2 二元一次方程组的解法 目 录 A组 巩固过关 题型01 代入消元法解方程组 题型02 加减消元法解方程组 题型03 解方程组计算训练 题型04 解方程组含参问题 题型05 方程组的特殊解法---整体代入 题型06 错中求解问题 题型07 同解方程问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 代入消元法解方程组题型01 一、单选题 1．由可以得到用表示的式子是（     ） A． B． C． D． 2．由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 3．下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 二、填空题 4．已知方程，用含的代数式表示，则_________ 5．若，，用含的式子表示的结果是__________． 6．把方程变形，用含的式子表示，可得__________． 7．用代入消元法解方程组，将②代入①，且去括号后，得___________． 8．以下是小亮解方程组的过程，其中开始出现错误的是第______步，错因是_________________． 三、解答题 9．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：， 解：，得．③…………第一步 ，得，……………………第二步 ．……………………………………第三步 把代入①，得，……第四步 ．……………………………………第五步 所以这个方程组的解为 ．…………第六步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_____________（填“加减”或“代入”）消元法； (2)年年同学解二元一次方程组的过程从第_____________步开始出现错误； (3)请用另一种消元法求解这个二元一次方程组． 10．若关于x，y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_________； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求k的值． 加减消元法解方程组题型02 一、单选题 1．已知，满足方程组，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（     ） A． B． C． D． 4．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知x，y满足方程组，则的值是_______． 三、解答题 6．解方程组： (1)； (2)． 7．解方程组： (1)； (2) 8．解下列方程组： (1)； (2)． 9．下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③  …………第一步 ，得  …………第二步 两边都除以，得  …………第三步 将代入①，得，解得  …………第四步 所以，原方程组的解为  …………第五步 (1)上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是____________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 (2)小明同学的解题过程从第_____步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解________________． 解方程组计算训练题型03 一、解答题 1．解方程组： (1) (2) 2．解二元一次方程组： (1)； (2)． 3．解下列方程组 (1) (2) 4．解下列方程组： (1)； (2)． 5．解下列方程组 (1)； (2)． 6．解方程组： (1)； (2)． 7．解方程组 (1) (2) 解方程组含参问题题型04 一、单选题 1．已知是方程组的解，则的值为（） A． B．1 C．2 D．3 2．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 3．已知关于x、y的方程组的解满足，______． 4．已知关于的二元一次方程组，则的值___ ． 5．已知方程组，则的值为_________． 6．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________ 三、解答题 7．已知关于，的方程组，且其解满足．在求的值时，有下面两种方案： 甲方案 按照传统思路，先对方程组进行求解，然后将含的解，代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 乙方案 通过观察方程组和最后一个关系式，可以利用整体法，将方程组的两个方程相加，再直接代入最后一个关系式中，构造关于的一元一次方程，最后进行求解． 请你任选一种方案，求出的值． 8．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 9．数学活动课上，小丽和小华、小美在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 小丽：将①③联立可得一个新的不含m的二元一次方程组，先求然后再求m的值． 小华：我发现，直接可以更简便地求出m的值． 小美：将①②③联立成一个三元一次方程组去求解． 请结合他们的对话，解答下列问题： (1)按照小丽的方法，求x、y的值； (2)请按照小华的思路求出的值； (3)老师说小丽、小美的方法运用了转化的思想，小华的方法则体现了 思想．（填序号：①整体；②数形结合；③分类讨论） 10．已知方程组，其中．求的值． 11．七年级教材下册40思考与交流中提出，根据方程组的特点选择适当的方法． 数学活动课上，乐学组、创新组在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于，的二元一次方程组的解满足③，求的值． 乐学组：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组， 创新组：直接可以更简便地求出的值． (1)请按照乐学组的方法，求出，的值； (2)请按照创新组的思路求的值． 方程组的特殊解法--整体代入题型05 一、单选题 1．我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，则它的解是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 3．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，这个题目的解应该是__________． 三、解答题 4．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 5．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解这个方程组，得________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解方程组：． 6．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组． 观察发现： (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为______，解关于m，n的方程组，得所以，解方程组，得______． 探索猜想： (2)运用上述方法解方程组：； 拓展延伸： (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是______． 错中求解问题题型06 一、填空题 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 2．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了b，解得；乙因抄错了a，解得．则的值等于______． 二、解答题 3．小甲和小乙两人共同解方程组．小乙看错了方程①中的a，得到方程组的解是，小甲看错了方程②中的b，得到方程组的解是． (1)求a、b的值； (2)求此方程组的正确解． 4．已知关于，的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为________． (2)若该方程组的解满足，求的值． (3)若小宇同学在解此方程组时，看错了的符号，从而得到解为，则正确的值为________． 同解方程问题题型07 一、单选题 1．关于，的方程组与有相同的解，则的值为（     ） A．-1 B．2 C．4 D．-12 二、填空题 2．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 三、解答题 3．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 4．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 一、单选题 1．小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 2．由方程组可得出关于与之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 3．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．若关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（     ） A．1 B．0 C． D． 二、填空题 5．已知x，y满足方程组，则的值是_______． 6．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 7．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 8．已知方程组的解x、y之和为2，则__． 9．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 10．若，则的值为__________． 11．若方程组的解也是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为______． 三、解答题 12．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组，可以写成矩阵的形式．例如：，可以写成矩阵的形式． (1)将，写成矩阵的形式：_________； (2)若矩阵所对应的方程组的解满足，求的值． 13．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 14．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由； (2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 15．阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 16．定义：关于、的二元一次方程（其中、、互不相同，且均不为）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”为． 根据上述定义，解答下列问题： (1)方程的“变更方程”为_______； (2)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (3)已知（2）中求出的解也是关于、的方程的一组解，求、的正整数值． 17．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 一、单选题 1．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 5．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中且；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．若关于、的方程组为共轭方程组，则________ 6．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 三、解答题 7．已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 8．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么我们称这个方程组为“友好方程组”． (1)判断方程组是否为“友好方程组”，并说明理由． (2)若方程组是“友好方程组”，求的值． (3)若方程组的解是正整数，且是正整数，则这个方程组是否可以是“友好方程组”？如果可以，请求出的值及方程组的解；如果不可以，请说明理由． 一、单选题 1．方程组的解为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____． 3．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 三、解答题 4．生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 (1)求a，b的值； (2)求密文的明文． 5．解二元一次方程组、化简求值： (1)解二元一次方程组：； (2)先化简，再求值：，其中，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $