专题02 复数及其应用（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整理了“复数及其应用”专题，涵盖复数分类、相等、四则运算、周期性、几何意义、模长、方程根、共轭复数、模长最值及综合应用十大核心题型，构建完整知识框架与考法体系。 清单通过题型脑图呈现核心考法，考法深研结合例题解析，如复数几何意义转化为复平面点与向量对应关系，模长最值问题依托圆的几何性质分析，培养学生数学思维与数学眼光。设解题技能通关模块，标注纯虚数充要条件、i的周期性等重难点，辅助学生自主高效复习，为教师提供精准教学支持。

专题02 复数及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 复数的分类及应用 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 1．（26-27高三上·云南·开学考试）已知复数．若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（    ） A．2 B．0 C．-2 D． 3．（2026·河南·三模）已知，（为虚数单位，），且，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 4．（2026·辽宁大连·三模）设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 复数相等及应用 针对含参复数方程、复数等式求参、复数比较类题型，核心解题依据为复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当实部与实部相等、虚部与虚部相等． 解题步骤：先将等式两边复数统一化为代数形式，再分离实部与虚部，分别列实数方程，联立求解参数． 5．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知i是虚数单位，若实数，满足，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知，，（为虚数单位），则（    ） A． B． C．1 D．3 7．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知a，b都是实数，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2026·山西晋中·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型03 复数四则运算与化简求值 复数四则运算问题的解题策略 （1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）计算． （2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并． （3）除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化． 9．（26-27高三上·山东济宁·开学考试）（    ） A．1 B． C． D． 10．（2026·山东威海·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）（多选）若复数，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河北沧州·一模）已知复数，若复数满足，则______. 题型04 复数周期性与高次幂化简 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西·三模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·新疆·二模）（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 16．计算下列各式． (1)；(2)． 题型05 复数的几何意义及应用 1、复数的几何意义：复数复平面内的点平面向量． 2、由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 17．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·福建·二模）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型06 复数的模长及简单应用 （1）求复数的模时，可直接根据复数的模的公式和性质，进行计算． （2）已知复数的模求解相关量时，一般先根据复数的运算法则把复数化为代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决． 21．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 22．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）若，则（    ） A． B． C．10 D． 23．（26-27高三上·河南·开学考试）已知复数与满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 24．（2025高三上·湖南衡阳·专题练习）已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型07 复数范围内方程的根 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）复数相等：设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． （3）配方法：利用． 25．（2026·四川绵阳·模拟预测）方程的一个复数根是（    ） A． B． C． D． 26．（2026·四川宜宾·模拟预测）在复数范围内，方程的两个根为和，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026·福建福州·模拟预测）已知，若复数是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·重庆北碚·模拟预测）复数是关于x的方程的根，则（    ） A． B．0 C． D．2 题型08 共轭复数的性质 复数四则运算后的共轭等于共轭后的四则运算，即和、差、积、商的共轭满足线性对应规律；重点区分易错性质：只有实数的共轭等于自身，纯虚数的共轭等于自身相反数． 解题优先活用核心恒等式，将复数乘积、平方结构直接转化为实数，规避繁琐展开；针对复数方程、参数求解题型，可利用共轭性质构造等式、配对消参，快速求解未知复数与参数，是复数化简、求值、解方程的高阶提速技法． 29．（2026·四川巴中·模拟预测）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若复数，满足，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 31．（2026·北京大兴·三模）已知i是虚数单位，，已知是复数的共轭复数，则下列结论错误的是（    ） A． B．1为纯虚数 C． D． 32．（25-26高一下·江苏南通·期中）（多选）已知是复数，则（    ） A． B． C． D． 题型09 复数模长的最值与范围 1、复数板块中档拔高难点，常作为选填区分度题型考查．核心难点是无法灵活运用模长运算性质整体代换，习惯展开实部虚部硬算，运算繁琐易错；且不能精准将复数模长等式、不等式转化为复平面几何轨迹，不会结合圆的几何性质求解最值与范围，代数转化几何的思维薄弱，导致动态复数问题无从下手． 2、代数结构几何化+几何性质代数化： 将复数对应复平面内的点与向量，模长转化为距离，模长等式转化为圆的轨迹方程，模长不等式转化为圆形区域；依托圆的几何性质求解距离最值、取值范围，结合向量加减几何意义分析动点位置关系． 33．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 34．（2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________． 题型10 复数与其他知识综合应用 适配新高考复数交叉创新题型，核心解题思维为以复数运算为载体，实现多知识点融合转化．常见综合考法：复数与函数结合，利用复数模长、表达式结构构造二次函数、三角函数求解最值与范围；复数与不等式结合，依托模长不等式、几何距离关系求解取值约束；复数与平面几何结合，通过复平面向量、轨迹模型求解图形位置、距离、面积问题；复数与方程结合，利用复数相等、共轭性质求解实数、复数参数与方程根问题．解题通用流程：先化简复数表达式，剥离代数结构，再对接对应板块知识点，将复数问题转化为熟悉的函数、几何、不等式问题求解，规避单一解题思维局限，破解创新综合题型． 37．（2026·河南信阳·二模）已知，其中i为虚数单位，从组合数中取出一个数记作，从展开式中项的系数中取出一个数记作，若，则的概率为______________. 38．（25-26高三上·山东·开学考试）通常地，复数z可以被表示为的形式．这称为复数的三角形式． (1)证明： (2)设，求方程 的所有根，并用w表示． 39．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知复数，，其中为虚数单位，. (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 40．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知定义在复数集C上的函数，，其中，i为虚数单位，记 的模为． (1)求 的实部的最大值： (2)①证明：，都有； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 复数的分类及应用 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 1．（26-27高三上·云南·开学考试）已知复数．若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为为纯虚数， 所以，解得. 2．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为（    ） A．2 B．0 C．-2 D． 【答案】C 【解析】因为， 所以若为实数，则，所以. 3．（2026·河南·三模）已知，（为虚数单位，），且，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】. ，，. 4．（2026·辽宁大连·三模）设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】已知，可得或， 当且时，此时复数为，不是纯虚数. 当且时，此时复数为，是实数，不是纯虚数. 当且时，此时复数为，是纯虚数. 所以“”不能推出“复数为纯虚数”，充分性不成立. ， 因为复数为纯虚数，所以，，即，， 此时一定有，所以必要性成立. 综上，“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 题型02 复数相等及应用 针对含参复数方程、复数等式求参、复数比较类题型，核心解题依据为复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当实部与实部相等、虚部与虚部相等． 解题步骤：先将等式两边复数统一化为代数形式，再分离实部与虚部，分别列实数方程，联立求解参数． 5．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知i是虚数单位，若实数，满足，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由，得，所以，. 6．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知，，（为虚数单位），则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】. 7．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知a，b都是实数，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，则． 8．（2026·山西晋中·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， 由， 可得，解得，所以. 题型03 复数四则运算与化简求值 复数四则运算问题的解题策略 （1）复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则（实部与实部相加减，虚部与虚部相加减）计算． （2）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并． （3）除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化． 9．（26-27高三上·山东济宁·开学考试）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 10．（2026·山东威海·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知复数满足，等式两边同时乘以，得， 移项得，即，故D正确. 11．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）（多选）若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，所以，可得， 可得，得到 . 12．（2026·河北沧州·一模）已知复数，若复数满足，则______. 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以. 题型04 复数周期性与高次幂化简 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以. 14．（2026·陕西·三模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，，； 则． 15．（2026·新疆·二模）（多选）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确； 对于C，由，得，因此，C错误； 对于D，由，得，因此， 则，D正确. 16．计算下列各式． (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)1 【解析】（1）原式． （2）由， ． 原式． 题型05 复数的几何意义及应用 1、复数的几何意义：复数复平面内的点平面向量． 2、由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 17．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为， 所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限． 18．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由，得， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 19．（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 20．（2026·福建·二模）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以复数在复平面内对应的点为， 因为该点在第二象限，所以，，则， 所以，即，所以. 题型06 复数的模长及简单应用 （1）求复数的模时，可直接根据复数的模的公式和性质，进行计算． （2）已知复数的模求解相关量时，一般先根据复数的运算法则把复数化为代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决． 21．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】对化简得， 故. 22．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【解析】. 23．（26-27高三上·河南·开学考试）已知复数与满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由①，，得，也即②， ①②联立，得，， 所以，则. 24．（2025高三上·湖南衡阳·专题练习）已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 又因为，所以， 所以，即， 所以，所以.故选：D. 题型07 复数范围内方程的根 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）复数相等：设方程的根为，将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． （3）配方法：利用． 25．（2026·四川绵阳·模拟预测）方程的一个复数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程可化为所以， 因此为方程的一个复数根. 26．（2026·四川宜宾·模拟预测）在复数范围内，方程的两个根为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，，解得， 所以两根为，化简为，所以，解得. 27．（2026·福建福州·模拟预测）已知，若复数是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知是方程的根，将代入方程： ，， 即，解得. 28．（2026·重庆北碚·模拟预测）复数是关于x的方程的根，则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【解析】因为复数是关于x的方程的根， 所以，所以，即， 所以，所以，所以. 题型08 共轭复数的性质 复数四则运算后的共轭等于共轭后的四则运算，即和、差、积、商的共轭满足线性对应规律；重点区分易错性质：只有实数的共轭等于自身，纯虚数的共轭等于自身相反数． 解题优先活用核心恒等式，将复数乘积、平方结构直接转化为实数，规避繁琐展开；针对复数方程、参数求解题型，可利用共轭性质构造等式、配对消参，快速求解未知复数与参数，是复数化简、求值、解方程的高阶提速技法． 29．（2026·四川巴中·模拟预测）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，因此的共轭复数为. 30．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若复数，满足，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由和，得是方程的两个根，解得， 它们互为共轭复数，设， 所以. 31．（2026·北京大兴·三模）已知i是虚数单位，，已知是复数的共轭复数，则下列结论错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】B 【解析】， 对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，所以，D正确. 32．（25-26高一下·江苏南通·期中）（多选）已知是复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设，， 对于A，，所以； 而.所以A正确. 对于B，； .所以B错误. 对于C， ； 而.所以C正确. 对于D，因，则； .所以D正确. 题型09 复数模长的最值与范围 1、复数板块中档拔高难点，常作为选填区分度题型考查．核心难点是无法灵活运用模长运算性质整体代换，习惯展开实部虚部硬算，运算繁琐易错；且不能精准将复数模长等式、不等式转化为复平面几何轨迹，不会结合圆的几何性质求解最值与范围，代数转化几何的思维薄弱，导致动态复数问题无从下手． 2、代数结构几何化+几何性质代数化： 将复数对应复平面内的点与向量，模长转化为距离，模长等式转化为圆的轨迹方程，模长不等式转化为圆形区域；依托圆的几何性质求解距离最值、取值范围，结合向量加减几何意义分析动点位置关系． 33．（2026·浙江金华·三模）设复数，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 34．（2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. 35．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设，则， 则， 则复数在复平面内的点的轨迹为圆， 其中圆心为，半径为， 则圆上的点到的距离的最小值为， 故的最小值为.故选：A 36．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 题型10 复数与其他知识综合应用 适配新高考复数交叉创新题型，核心解题思维为以复数运算为载体，实现多知识点融合转化．常见综合考法：复数与函数结合，利用复数模长、表达式结构构造二次函数、三角函数求解最值与范围；复数与不等式结合，依托模长不等式、几何距离关系求解取值约束；复数与平面几何结合，通过复平面向量、轨迹模型求解图形位置、距离、面积问题；复数与方程结合，利用复数相等、共轭性质求解实数、复数参数与方程根问题．解题通用流程：先化简复数表达式，剥离代数结构，再对接对应板块知识点，将复数问题转化为熟悉的函数、几何、不等式问题求解，规避单一解题思维局限，破解创新综合题型． 37．（2026·河南信阳·二模）已知，其中i为虚数单位，从组合数中取出一个数记作，从展开式中项的系数中取出一个数记作，若，则的概率为______________. 【答案】 【解析】依题设，数都各有41种取法，因此有序数对的取法种数为， 由，得，， 由，得，则，， 当且仅当为奇数时，， 则，即或，显然均为奇数， 当时，共有20个对应的有序数对，当时，共有20个对应的有序数对， 因此使成立的有序数对共有40个， 所以的概率. 38．（25-26高三上·山东·开学考试）通常地，复数z可以被表示为的形式．这称为复数的三角形式． (1)证明： (2)设，求方程 的所有根，并用w表示． 【答案】(1)证明见解析；(2)，，， 【解析】（1）用数学归纳法证明：当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则当时， ， 即当时，结论也成立， 综合上述可知 （2）由可知，则可得， 设，则，而， 故， 由，则，， 由，可得， 当时，，此时无意义； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 故方程 的所有根为：，，，. 39．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知复数，，其中为虚数单位，. (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因是实数， 则，即，又，，则，即， 此时； （2）由题意可知， 则，， 因为， 所以 ， 即， 又因为，所以，故则， 所以 40．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知定义在复数集C上的函数，，其中，i为虚数单位，记 的模为． (1)求 的实部的最大值： (2)①证明：，都有； ②证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由函数， 代入，可得， 可得， 由 的实部为，可得， 由函数在上为单调递增函数， 当时，取得最大值， 所以 的实部最大值； （2）①证明：因为, 所以， 因此，即证； ②证明：由，可得， 因此， 取，可得，因为，此时满足， 即． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $