专题01 一元函数的导数及其应用（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦一元函数的导数及其应用专题，涵盖导数定义、公式运算、几何意义、单调性、极值、最值、不等式及零点综合应用等14类核心题型，通过题型脑图构建与考法深研系统整合知识体系。 清单以题型分类为框架，每类题型配套解题技能要点与典型例题，如导数几何意义题型明确切线问题三关系，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设“考法深研·解题技能通关”模块，标注重难点与解题步骤，助力学生自主高效复习，为教师提供精准备考指导工具。

专题01 一元函数的导数及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 导数定义中的极限运算 瞬时变化率的变形形式 ． 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】， . 2．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故， 所以， 可得，解得.故选：A. 3．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 而，则，即.故选：B 4．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，则________． 【答案】 【解析】因为，所以，， 所以. 题型02 导数公式及四则运算应用 （1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导； （2）抽象函数求导，恰当赋值时关键，然后活用方程思想求解； （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 5．（25-26高三上·新疆伊犁·阶段检测）（多选）下列计算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 6．（24-25高三上·贵州·阶段检测）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，故.故选：B. 7．（2026·河北·模拟预测）已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】求导得： 令，得：，解得：， 因此， 令，得：，故 选：A 8．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【解析】令，则， 所以，所以.故选：D. 题型03 导数的几何意义及其应用 （1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切线处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． （2）注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 9．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，所以， 则曲线在点处的切线的斜率为. 10．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得.故选：A. 11．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【解析】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称， 所以它的另一条切线方程为. 故答案为：（或）. 12．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）直线是曲线的一条切线，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由，得，其斜率为. 由，得. 设切点坐标为， 则，得，. 所以切点为. 代入，得，. 题型04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，. 由题意知，即，解得. 所以. 14．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 15．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】 【解析】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 16．（2026·浙江·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】由题意可得：， 当时，， 所以曲线在点处的切线为： ，即， 设切线与曲线的切点为， 对求导可得：， 又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数， 所以，即， 又因为在切线上， 所以， 所以在曲线上， 即，求解可得：. 题型05 过定点的多切线问题 过曲线上一点的多切线问题的核心是“以切点为变量，通过切线过已知点建立方程，转化为方程解的个数问题”．解题时需严格遵循“设切点→写方程→化简→分析解的个数”的步骤，结合函数单调性、极值与定义域综合判断，同时规避混淆概念、计算错误等易错点，即可高效求解． 17．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【解析】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 18．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 19．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）（多选）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得， 即，解得.故选：BC 20．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）（多选）过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，设切点为， 则切线方程为：， 因为切线经过点，将点代入得， 化简得， 故方程有一个根． 令，，转化为直线与曲线只有一个交点， ， 当时，；当时，． 故在和上单调递增，在上单调递减，，． 根据直线与只有一个交点，则有或． 故选：AD． 题型06 不含参函数的单调性问题 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 21．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 22．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【解析】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 23．（25-26高三下·辽宁·开学考试）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 24．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 【答案】 【解析】根据题意可知，则可得， 令，即，解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 题型07 含参函数的单调性问题 （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． （2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 25．已知函数．若，试讨论函数的单调性． 【答案】当时，函数在上单调递增； 当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为． 【分析】根据导数与单调性的关系，结合的范围分类讨论即可. 【解析】，且. 当时，，则在上单调递增． 当时，令，即，解得或，且. 当时，，单调递增； 当时，， 单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数单调递增区间为，；单调递减区间为． 26．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 27．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减． 【解析】（1）由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即． （2）当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当时，对，有，故在上递增； 当时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 28．（2026·河北·二模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)当时，在上单调递增．当时，在上单调递增，在上单调递减．当时，在上单调递增，在上单调递减． 【解析】（1），则． 因为，所以，得． 又， 所以的方程为，即． （2）． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 题型08 根据函数的单调性求参数 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集． 29．（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为.故选：C． 30．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 31．（2026·云南玉溪·模拟预测）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间，所以. 32．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得．故选：B 题型09 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9） 构造（注意的符号） （10） 构造 33．（2026·云南·模拟预测）定义域为R的函数，满足，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】令，求导得， 又，所以，所以在R上单调递增. 由，得， 所以，解得， 所以的解集为. 34．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得.故选：C 35．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 36．（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 题型10 与极值有关的函数图象问题 解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链． 极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（）、右侧下降（）→极大值点；左侧下降、右侧上升→极小值点． 注意：图象连续但“尖点”处（如的）导数不存在，但仍是极值点；光滑处导数为0且趋势转折才是极值点． 37．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．是函数的一个零点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递减 【答案】A 【解析】当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 根据极小值点的定义，是函数的极小值点，A选项正确； 导函数图像无法提供原函数的零点信息，B错误； 当时，，函数单调递增，所以不是极大值点，C选项错误； 当时，导函数，函数在区间上单调递增，不是单调递减，D选项错误. 故选：A. 38．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 【答案】C 【解析】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，当时，； 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以C正确. 对于D中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于0，所以D不正确；故选：C. 39．（25-26高三上·江西·阶段检测）（多选）已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在和上单调递增，在上单调递减 【答案】BC 【解析】由图可知，当时，，当时，， 所以是的极小值点，无极大值点，在上单调递减，在上单调递增． 故答案为：BC. 40．（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（    ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【解析】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 题型11 利用导数求函数的极值 根据函数的极值（点）求参数的两个要领： （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性． 41．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 【答案】A 【解析】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1．故选：A． 42．（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个.故选：A. 43．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【解析】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 44．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数有两个极值点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 依题意得有两个左右异号的实根， 即有两个左右异号的实根， 所以和在上有两个交点， ，， 记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点.故选：A. 题型12 利用导数求函数的最值 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 45．（2026·海南三亚·一模）若函数的减区间为，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】因为，， 由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，由. 此时，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意. 此时， 所以函数的值域为. 46．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）当时，函数取得最大值，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由，可得， 因为当时，函数取得最大值， 故，解得，所以，经验证在时取得最大值， 所以. 47．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】当时，函数取得最小值1， 则，，，， 所以，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在时取到最小值，符合题意， 则，，所以.故选：D. 48．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，.故选：D. 题型13 导数与不等式综合应用 导数与不等式综合解答题解题时，优先确定函数定义域，以构造辅助函数为核心，将不等式问题转化为函数单调性、极值与最值问题；不含参不等式通过移项构造新函数，一阶导无法判号则借助二阶导分析走势，利用最值完成证明；含参恒成立、存在性问题优先参变分离，转化为函数最值边界求参数范围，无法分离参数则分层分类讨论；针对指对混合结构可同构简化，零点难解时采用隐零点整体代换，复杂证明适度运用切线放缩，双变量问题统一为单变量求解，全程规范区分恒成立与存在性逻辑，严谨取舍端点等号，规避忽略定义域、求导出错、分类不全等高频失分点． 49．（2026·江西·二模）若函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 两边同乘，得 令，，求导得，所以在单调递增， 又因为，且，所以； 所以， ，即， 令 求导得 当，，单调递减， 当，，单调递增 又，且 所以，. 50．（25-26高三下·安徽黄山·阶段检测）已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则， ∴在上单调递增，∴， ∴，， ∴， 又在上恒成立， ∴需要在上为增函数， 即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得或．故选：D. 51．（2026·山东·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若恰有两个不同的极值点，证明:. 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；(2)证明见解析 【解析】（1）， 求导可得， 分类讨论： 当时，则有两个正根，， 故在和上单调递增， 在上单调递减； 当时，，故在上单调递增. 综上所述，当时，在和上单调递增， 在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2）由 (1) 可知 ， 因为 是的极值点，故， 即是方程的两个不同的实数根， 由韦达定理可得，则， ， 则原不等式等价于， 求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递减，即单调递减， 所以，故在上单调递减， 因此，即. 52．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)若对于任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若函数有两个零点，，且，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题，因为，所以， 令，则，当时解得， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在取得最小值，则. （2）由题，，令，则，即在单调递减，在单调递增， 由有两个零点得，设， 则有, 当时，，单调递减，则， 即， 因为，所以， 因为，所以，即都在的单增区间， 所以. 题型14 导数与函数零点综合应用 导数与函数零点综合解答题解题时，优先确定函数定义域，以数形结合为核心，将零点问题等价转化为函数图象交点问题；先利用导数分析函数单调性、极值与最值，精准刻画函数整体走势，结合区间端点符号与极值正负判定零点个数；含参零点问题优先参变分离转化为直线与曲线交点问题，无法分离参数则依据参数范围分类讨论，分析极值临界条件锁定参数区间；零点难解时采用隐零点设而不求、整体代换简化运算，分段函数零点严格分段讨论，全程验证端点取值与等号条件，规避忽略定义域、单调性判断失误、临界取舍不当等高频失分点． 53．（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（    ） A．e B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 54．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. 55．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）函数的定义域是， 因为切线 ，斜率 ，所以，得， 所以， 切点 在切线 上，所以，得. （2）令，，得，所以 设，则 令 ， 在 单调递减， ， 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减， 所以 在 处取得最大值， ，， 数形结合可得，函数与的图像有两个不同的交点，， 所以方程 有两个不同正根 所以恰有两个零点，实数 的取值范围是. 56．（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是，无增区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是．(2)有2个零点． 【解析】（1），令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元函数的导数及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 导数定义中的极限运算 瞬时变化率的变形形式 ． 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，则________． 题型02 导数公式及四则运算应用 （1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导； （2）抽象函数求导，恰当赋值时关键，然后活用方程思想求解； （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 5．（25-26高三上·新疆伊犁·阶段检测）（多选）下列计算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高三上·贵州·阶段检测）若函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·模拟预测）已知函数 则（    ） A．0 B．1 C． D． 8．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．6 C．12 D．24 题型03 导数的几何意义及其应用 （1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切线处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． （2）注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 9．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 11．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 12．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）直线是曲线的一条切线，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 题型04 两曲线的公切线问题 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·广西崇左·一模）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．3 C． D．4 15．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 16．（2026·浙江·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 题型05 过定点的多切线问题 过曲线上一点的多切线问题的核心是“以切点为变量，通过切线过已知点建立方程，转化为方程解的个数问题”．解题时需严格遵循“设切点→写方程→化简→分析解的个数”的步骤，结合函数单调性、极值与定义域综合判断，同时规避混淆概念、计算错误等易错点，即可高效求解． 17．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 18．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 19．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）（多选）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）（多选）过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ） A． B． C． D． 题型06 不含参函数的单调性问题 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 21．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 22．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 23．（25-26高三下·辽宁·开学考试）函数的单调递减区间为__________. 24．（2026·湖北孝感·一模）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 题型07 含参函数的单调性问题 （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． （2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 25．已知函数．若，试讨论函数的单调性． 26．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 27．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 28．（2026·河北·二模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 题型08 根据函数的单调性求参数 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集． 29．（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（2026·云南玉溪·模拟预测）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9） 构造（注意的符号） （10） 构造 33．（2026·云南·模拟预测）定义域为R的函数，满足，则关于x的不等式的解集为______． 34．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 36．（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型10 与极值有关的函数图象问题 解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链． 极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（）、右侧下降（）→极大值点；左侧下降、右侧上升→极小值点． 注意：图象连续但“尖点”处（如的）导数不存在，但仍是极值点；光滑处导数为0且趋势转折才是极值点． 37．（25-26高三上·广东清远·阶段检测）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．是函数的一个零点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递减 38．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 39．（25-26高三上·江西·阶段检测）（多选）已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（    ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在和上单调递增，在上单调递减 40．（24-25高三下·重庆·开学考试）（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（    ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 题型11 利用导数求函数的极值 根据函数的极值（点）求参数的两个要领： （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性． 41．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 42．（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 43．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D． 44．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数有两个极值点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型12 利用导数求函数的最值 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 45．（2026·海南三亚·一模）若函数的减区间为，则函数的值域为____． 46．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）当时，函数取得最大值，则（    ） A．0 B． C． D．1 47．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 48．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型13 导数与不等式综合应用 导数与不等式综合解答题解题时，优先确定函数定义域，以构造辅助函数为核心，将不等式问题转化为函数单调性、极值与最值问题；不含参不等式通过移项构造新函数，一阶导无法判号则借助二阶导分析走势，利用最值完成证明；含参恒成立、存在性问题优先参变分离，转化为函数最值边界求参数范围，无法分离参数则分层分类讨论；针对指对混合结构可同构简化，零点难解时采用隐零点整体代换，复杂证明适度运用切线放缩，双变量问题统一为单变量求解，全程规范区分恒成立与存在性逻辑，严谨取舍端点等号，规避忽略定义域、求导出错、分类不全等高频失分点． 49．（2026·江西·二模）若函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高三下·安徽黄山·阶段检测）已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（2026·山东·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若恰有两个不同的极值点，证明:. 52．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)若对于任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若函数有两个零点，，且，证明：． 题型14 导数与函数零点综合应用 导数与函数零点综合解答题解题时，优先确定函数定义域，以数形结合为核心，将零点问题等价转化为函数图象交点问题；先利用导数分析函数单调性、极值与最值，精准刻画函数整体走势，结合区间端点符号与极值正负判定零点个数；含参零点问题优先参变分离转化为直线与曲线交点问题，无法分离参数则依据参数范围分类讨论，分析极值临界条件锁定参数区间；零点难解时采用隐零点设而不求、整体代换简化运算，分段函数零点严格分段讨论，全程验证端点取值与等号条件，规避忽略定义域、单调性判断失误、临界取舍不当等高频失分点． 53．（2026·安徽安庆·一模）已知，若函数恰有1个零点，则（    ） A．e B． C．1 D．3 54．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求，； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围. 56．（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $