陕西省西安市锦程初级中学2026-2027学年人教版九年级上学期数学《一元二次方程》月考综合卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心内容，通过10道选择、6道填空、8道解答题（含病毒传播、利润计算等实际问题），全面考查定义、解法及应用，注重运算能力与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义（第1题）、根的概念（第3题）、根的判别式（第6题）|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|6/18|直接开平方法（第12题）、连续奇数问题（第14题）|简洁考查运算与建模| |解答题|8/72|多种解法（第17题）、病毒传播模型（第19题）、利润问题（第22题）、代数证明（第24题）|综合应用与推理，体现数学思维与表达|

陕西省西安市实验中学 2026-2027学年九年级上学期数学《一元二次方程》月考综合卷（人教版） （教师版·含参考答案与解析） （满分120分，考试时间120分钟） 班级： 姓名： 座号： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　） A．x²＋2y－1＝0　　B．x²＋1/x＝2　　C．x²－3x＋1＝0　　D．ax²＋bx＋c＝0 2．将方程 x(x－2)＝3(x＋1) 化成一元二次方程的一般形式后，它的一次项系数是（　） A．－3　　B．－5　　C．5　　D．3 3．已知 x＝2 是方程 x²＋kx－6＝0 的一个根，则 k 的值为（　） A．1　　B．2　　C．3　　D．－1 4．用配方法解方程 x²－4x－1＝0 时，配方后所得的方程是（　） A．(x－2)²＝3　　B．(x＋2)²＝5　　C．(x－2)²＝5　　D．(x－2)²＝1 5．方程 x(x－2)＝2－x 的根是（　） A．x₁＝2，x₂＝1　　B．x₁＝2，x₂＝－1　　C．x₁＝－2，x₂＝1　　D．x₁＝－2，x₂＝－1 6．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　） A．x²－2x＋2＝0　　B．x²－2x＋1＝0　　C．x²－3x＋1＝0　　D．x²＋1＝0 7．若 x₁，x₂ 是方程 x²－3x－2＝0 的两个实数根，则 1/x₁＋1/x₂ 的值为（　） A．3/2　　B．－3/2　　C．2/3　　D．－2/3 8．已知 x²＋y²－4x＋2y＋5＝0，则 x＋y 的值为（　） A．－1　　B．3　　C．－3　　D．1 9．某区要举办一次校园足球联赛，每两支参赛球队之间都要比赛两场（主客场双循环赛制），一共要比赛30场。设参赛球队有 x 支，则 x 的值为（　） A．6　　B．5　　C．7　　D．8 10．关于 x 的一元二次方程 x²－2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　） A．m＞1　　B．m＜－1　　C．m＜1　　D．m＞－1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将方程 2x²－x＝3 化成一元二次方程的一般形式后，它的常数项是______。 12．方程 (x－1)²＝4 的解是______。 13．方程 x²－2x－1＝0 的两个根是______。 14．两个连续正奇数的积是143，则这两个奇数分别是______。 15．在一次聚会上，每两人都握一次手，所有人共握手66次，则参加聚会的人数是______人。 16．若 a 是方程 x²－x－1＝0 的一个根，则 a²－a＋2026 的值为______。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）请在各题下方的留白处作答。 17．（本小题满分12分，每小题3分）用适当的方法解下列方程： （1）(2x－1)²＝25； （2）x²＋6x－1＝0； （3）2x²－7x＋3＝0； （4）x(x－4)＝2x－8。 18．（本小题满分8分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－2x＋m－1＝0。 （1）求当方程有两个相等的实数根时 m 的值，并求此时方程的根； （2）若方程的一个根为 3，求 m 的值及方程的另一个根。 19．（本小题满分8分）一种电脑病毒通过网络快速传播，一台电脑感染该病毒后，经过两轮感染，共有144台电脑被感染（假设每轮感染中平均一台电脑感染 x 台电脑）。 （1）求 x 的值； （2）照这样的传播速度，经过三轮感染后共有多少台电脑被感染？ 20．（本小题满分8分）某村2023年的人均收入为9000元，2025年的人均收入为10890元。设这两年人均收入的年平均增长率为 x。 （1）求 x 的值； （2）按此增长率，预计该村2026年的人均收入为多少元？ 21．（本小题满分8分）用总长为40 m的篱笆，借助一面足够长的墙围成一个矩形菜园（墙作为菜园的一边），要使菜园的面积是150 m²，求菜园的长和宽。 22．（本小题满分8分）某商店将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可售出100件。经市场调查发现：若每件涨价1元，则每天少卖出10件。要使该商品每天获利320元，售价应定为每件多少元？ 23．（本小题满分8分）是否存在一个直角三角形，使它的三条边是三个连续偶数？如果存在，求出这三条边的长；如果不存在，请说明理由。 24．（本小题满分12分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－2mx＋m²－1＝0。 （1）求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为 x₁，x₂，且 x₁²＋x₂²＝4，求 m 的值； （3）不解方程，求 |x₁－x₂| 的值。 参考答案与解析 一、选择题 1．C　解析：A中含有两个未知数，不是一元二次方程；B中 1/x 不是整式，方程不是整式方程；D未指明 a≠0，不一定是一元二次方程；C满足定义。 2．B　解析：x(x－2)＝3(x＋1) 整理得 x²－5x－3＝0，一次项系数为－5。 3．A　解析：将 x＝2 代入，得 4＋2k－6＝0，解得 k＝1。 4．C　解析：x²－4x－1＝0 移项得 x²－4x＝1，配方得 (x－2)²＝5。 5．B　解析：x(x－2)＝2－x，移项得 x²－x－2＝0，因式分解得 (x－2)(x＋1)＝0，所以 x₁＝2，x₂＝－1。 6．C　解析：C中 Δ＝(－3)²－4×1×1＝5＞0，有两个不相等的实数根；A中Δ＜0无实根；B中Δ＝0有相等实根；D中无实根。 7．B　解析：由根与系数的关系，得 x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝－2。所以 1/x₁＋1/x₂＝(x₁＋x₂)/(x₁x₂)＝3/(－2)＝－3/2。 8．D　解析：x²＋y²－4x＋2y＋5＝0，配方得 (x－2)²＋(y＋1)²＝0。因为 (x－2)²≥0，(y＋1)²≥0，所以 x－2＝0，y＋1＝0，解得 x＝2，y＝－1。所以 x＋y＝1。 9．A　解析：双循环赛制下每两队之间比赛两场，共比赛 x(x－1) 场。由题意 x(x－1)＝30，解得 x₁＝6，x₂＝－5（不符合题意，舍去）。所以参赛球队为6支。 10．D　解析：Δ＝(－2)²－4×1×(－m)＝4＋4m＞0，解得 m＞－1。 二、填空题 11．－3　解析：2x²－x＝3 化为 2x²－x－3＝0，常数项为－3。 12．x₁＝3，x₂＝－1　解析：由 x－1＝±2 得 x＝3 或 x＝－1。 13．x₁＝1＋√2，x₂＝1－√2　解析：用公式法，a＝1，b＝－2，c＝－1，Δ＝8，x＝(2±2√2)/2＝1±√2。 14．11和13　解析：设较小的正奇数为 x，则 x(x＋2)＝143，即 x²＋2x－143＝0，解得 x＝11（x＝－13舍去），所以两个奇数为11和13。 15．12　解析：n(n－1)/2＝66，即 n²－n－132＝0，解得 n＝12（n＝－11不合题意，舍去）。 16．2027　解析：a²－a－1＝0，则 a²－a＝1，a²－a＋2026＝2027。 三、解答题 17．解：（1）由 (2x－1)²＝25，得 2x－1＝±5，所以 x₁＝3，x₂＝－2。 （2）x²＋6x－1＝0 移项得 x²＋6x＝1，配方得 (x＋3)²＝10，所以 x₁＝－3＋√10，x₂＝－3－√10。 （3）2x²－7x＋3＝0，Δ＝(－7)²－4×2×3＝25，x＝(7±5)/(2×2)，所以 x₁＝3，x₂＝1/2。 （4）x(x－4)＝2x－8 整理得 x²－6x＋8＝0，即 (x－2)(x－4)＝0，所以 x₁＝2，x₂＝4。 18．解：（1）Δ＝(－2)²－4(m－1)＝8－4m。当 Δ＝0 时，8－4m＝0，解得 m＝2。此时方程为 x²－2x＋1＝0，解得 x₁＝x₂＝1。 （2）将 x＝3 代入方程，得 9－6＋m－1＝0，解得 m＝－2。设方程的另一个根为 t，由根与系数的关系，得两根之积 3t＝m－1＝－3，解得 t＝－1。此时 Δ＝8－4m＝16＞0，方程确有两个不相等的实数根，符合题意。所以 m＝－2，方程的另一个根为 －1。 19．解：（1）依题意得 1＋x＋x(1＋x)＝144，即 (1＋x)²＝144，解得 x₁＝11，x₂＝－13（不符合题意，舍去）。所以每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑。 （2）三轮感染后共有 144×(1＋11)＝1728（台）。 20．解：（1）依题意得 9000(1＋x)²＝10890，即 (1＋x)²＝1.21，解得 x₁＝0.1＝10%，x₂＝－2.1（不符合题意，舍去）。所以年平均增长率为10%。 （2）预计2026年人均收入为 10890×(1＋10%)＝11979（元）。 21．解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (40－2x) m。由题意得 x(40－2x)＝150，整理得 x²－20x＋75＝0，解得 x₁＝5，x₂＝15。当 x＝5 时，40－2x＝30；当 x＝15 时，40－2x＝10。答：菜园的长为30 m、宽为5 m，或长为15 m、宽为10 m。 22．解：设每件涨价 x 元，则售价为 (10＋x) 元，每天售出 (100－10x) 件。由题意得 (10＋x－8)(100－10x)＝320，整理得 x²－8x＋12＝0，解得 x₁＝2，x₂＝6。所以售价为 10＋2＝12（元）或 10＋6＝16（元）。答：售价应定为每件12元或16元。 23．解：存在。设三条边分别为 x－2，x，x＋2（x＞2）。由勾股定理得 (x－2)²＋x²＝(x＋2)²，整理得 x²－8x＝0，解得 x₁＝0，x₂＝8。x＝0不符合题意，舍去。所以 x＝8，三条边长分别为6、8、10。答：存在且唯一，三边长分别为6、8、10。 24．解：（1）Δ＝(－2m)²－4(m²－1)＝4m²－4m²＋4＝4＞0，所以无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）由根与系数的关系，x₁＋x₂＝2m，x₁x₂＝m²－1。x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝4m²－2(m²－1)＝2m²＋2＝4，解得 m²＝1，所以 m＝±1。 （3）|x₁－x₂|²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4m²－4(m²－1)＝4，所以 |x₁－x₂|＝2。 命题说明 本卷依据2026版人教版《数学 九年级 上册》第二十五章《一元二次方程》编写，覆盖一元二次方程的概念、解法（直接开平方、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系以及实际应用等知识。满分120分，考试时间120分钟。难度结构（按分值计）：基础题约33%，中档题约51%，较难题约17%。基础题侧重概念理解与基本解法，中档题侧重方法运用与变形，较难题侧重综合应用。 知识点分布表 题号 题型 考查知识点 对应教材 难度 分值 1 选择题 一元二次方程的概念 25.1 易 3 2 选择题 一般形式及各项系数 25.1 易 3 3 选择题 方程的根的概念 25.1 易 3 4 选择题 配方法 25.2.1 易 3 5 选择题 因式分解法 25.2.3 易 3 6 选择题 根的判别式 25.2.2 易 3 7 选择题 根与系数的关系（分式型求值） 25.2.4 中 3 8 选择题 配方法的应用（配方与非负性） 25.2.1 中 3 9 选择题 双循环赛制问题 25.3 中 3 10 选择题 判别式确定参数范围 25.2.2 中 3 11 填空题 一般形式及常数项 25.1 易 3 12 填空题 直接开平方解方程 25.2.1 易 3 13 填空题 公式法解方程 25.2.2 易 3 14 填空题 数字问题（连续奇数） 25.3 中 3 15 填空题 握手问题 25.3 中 3 16 填空题 方程的根整体代入 25.1 中 3 17 解答题 用适当方法解方程 25.2 易 12 18 解答题 判别式、根的意义与求另一根（含根与系数的关系） 25.2.2/25.2.4 中 8 19 解答题 传播问题 25.3 中 8 20 解答题 增长率问题 25.3 中 8 21 解答题 面积问题（篱笆围墙） 25.3 中 8 22 解答题 销售利润问题 25.3 中 8 23 解答题 勾股定理与连续偶数 25.3 较难 8 24 解答题 判别式证明与根与系数的关系综合 25.2.2/25.2.4 较难 12 合计 120 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市实验中学 2026-2027学年九年级上学期数学《一元二次方程》月考综合卷（人教版） （学生版） （满分120分，考试时间120分钟） 班级： 姓名： 座号： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　） A．x²＋2y－1＝0　　B．x²＋1/x＝2　　C．x²－3x＋1＝0　　D．ax²＋bx＋c＝0 2．将方程 x(x－2)＝3(x＋1) 化成一元二次方程的一般形式后，它的一次项系数是（　） A．－3　　B．－5　　C．5　　D．3 3．已知 x＝2 是方程 x²＋kx－6＝0 的一个根，则 k 的值为（　） A．1　　B．2　　C．3　　D．－1 4．用配方法解方程 x²－4x－1＝0 时，配方后所得的方程是（　） A．(x－2)²＝3　　B．(x＋2)²＝5　　C．(x－2)²＝5　　D．(x－2)²＝1 5．方程 x(x－2)＝2－x 的根是（　） A．x₁＝2，x₂＝1　　B．x₁＝2，x₂＝－1　　C．x₁＝－2，x₂＝1　　D．x₁＝－2，x₂＝－1 6．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　） A．x²－2x＋2＝0　　B．x²－2x＋1＝0　　C．x²－3x＋1＝0　　D．x²＋1＝0 7．若 x₁，x₂ 是方程 x²－3x－2＝0 的两个实数根，则 1/x₁＋1/x₂ 的值为（　） A．3/2　　B．－3/2　　C．2/3　　D．－2/3 8．已知 x²＋y²－4x＋2y＋5＝0，则 x＋y 的值为（　） A．－1　　B．3　　C．－3　　D．1 9．某区要举办一次校园足球联赛，每两支参赛球队之间都要比赛两场（主客场双循环赛制），一共要比赛30场。设参赛球队有 x 支，则 x 的值为（　） A．6　　B．5　　C．7　　D．8 10．关于 x 的一元二次方程 x²－2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　） A．m＞1　　B．m＜－1　　C．m＜1　　D．m＞－1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将方程 2x²－x＝3 化成一元二次方程的一般形式后，它的常数项是______。 12．方程 (x－1)²＝4 的解是______。 13．方程 x²－2x－1＝0 的两个根是______。 14．两个连续正奇数的积是143，则这两个奇数分别是______。 15．在一次聚会上，每两人都握一次手，所有人共握手66次，则参加聚会的人数是______人。 16．若 a 是方程 x²－x－1＝0 的一个根，则 a²－a＋2026 的值为______。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）请在各题下方的留白处作答。 17．（本小题满分12分，每小题3分）用适当的方法解下列方程： （1）(2x－1)²＝25； （2）x²＋6x－1＝0； （3）2x²－7x＋3＝0； （4）x(x－4)＝2x－8。 18．（本小题满分8分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－2x＋m－1＝0。 （1）求当方程有两个相等的实数根时 m 的值，并求此时方程的根； （2）若方程的一个根为 3，求 m 的值及方程的另一个根。 19．（本小题满分8分）一种电脑病毒通过网络快速传播，一台电脑感染该病毒后，经过两轮感染，共有144台电脑被感染（假设每轮感染中平均一台电脑感染 x 台电脑）。 （1）求 x 的值； （2）照这样的传播速度，经过三轮感染后共有多少台电脑被感染？ 20．（本小题满分8分）某村2023年的人均收入为9000元，2025年的人均收入为10890元。设这两年人均收入的年平均增长率为 x。 （1）求 x 的值； （2）按此增长率，预计该村2026年的人均收入为多少元？ 21．（本小题满分8分）用总长为40 m的篱笆，借助一面足够长的墙围成一个矩形菜园（墙作为菜园的一边），要使菜园的面积是150 m²，求菜园的长和宽。 22．（本小题满分8分）某商店将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可售出100件。经市场调查发现：若每件涨价1元，则每天少卖出10件。要使该商品每天获利320元，售价应定为每件多少元？ 23．（本小题满分8分）是否存在一个直角三角形，使它的三条边是三个连续偶数？如果存在，求出这三条边的长；如果不存在，请说明理由。 24．（本小题满分12分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－2mx＋m²－1＝0。 （1）求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为 x₁，x₂，且 x₁²＋x₂²＝4，求 m 的值； （3）不解方程，求 |x₁－x₂| 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $