7.1为什么要证明 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕“为什么要证明”展开，核心介绍证明的意义及检验数学结论的常用方法，通过视觉错觉、直觉猜想等案例（如图1线段长度比较、地球赤道铁丝间隙问题）引发认知冲突，连接学生此前观察归纳的学习经验，搭建“观察-猜想-验证-证明”的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合几何直观（图形观察辨析）、推理能力（对称数代数推理）和数学语言（符号运算、表格呈现），融入几何画板动态验证。采用“实验-反例-推理”三级验证方法，培养学生理性思维与探究意识，教师可直接使用丰富案例与练习题提升教学效率。

7.1 为什么要证明 1.了解证明的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行有理有据的证明． 2. 会用实验验证、举出反例、推理证明等方法简单地验证一个数学结论是否正确． 图是动态的还是静态的？ 这两个柱子一样长吗？ 上下两个“LoVe” 哪个颜色更亮？ 以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论. 观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?我们再感受几个！ 探 究 (1)图1中两条线段a，b的长度相等吗? a b 图1 是相等的！ 探 究 (2)图2中的四边形是正方形吗? 视觉上四条边是弯的. 探究方法：观察 验证方法：实验验证 观察得出的结论 不一定正确 图2 探 究 (3)如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致. 铁丝 赤道 铁丝半径 赤道半径 铁丝与赤道之间间隙 分析： 图3 图3 解：设赤道的周长为C，则铁丝与地球赤道的间隙为 所以这样的间隙可以放进一个拳头. 探 究 (3)如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致. 探究方法：感觉 验证方法：推理验证 直觉得出的结论 不一定正确 尝试·思考 (1)对于自然数n，代数式n²－n+11的值是质数吗? 取 n = 0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n，n²－n+11的值都是质数”? n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ··· n2－n+11 ··· 是否为质数 ··· 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 否 121=11×11 =1×121 对于所有自然数n，n²－n+11的值不一定都是质数. 探究方法：归纳 验证方法：举反例 归纳得出的结论 不一定正确 尝试·思考 (2)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE . DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜，再设法检验你的猜想. 你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗? 猜想： 位置关系→DE∥BC ； 数量关系→DE = BC ； 验证： 通过改变几何画板中三角形的形状发现，无论三角形形状如何改变，猜想的位置关系和数量关系始终成立. 点击见源文件 尝试·思考 (3)一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：101﹣(1+0+1)＝99＝9×11；232﹣(2+3+2)＝225＝9×25； 555﹣(5+5+5)＝540＝9×60... 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_______整除． 9 验证：①若这个“对称数”是979，请通过计算验证上面的猜想； 解：979﹣(9+7+9)＝954＝9×106， 故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除. ②设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你通过推理说明猜想是正确的． 解：(100a+10b+a)﹣(a+b+a)＝99a+9b＝9(11a+b)， 因为a，b为整数， 所以9(11a+b)能被9整除， 所以“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 检验数学结论具体经历的过程是：观察→猜想归纳→结论→推理→正确结论． 思考·交流 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段.通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗?在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的? 归纳总结 观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确. 因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明. 检验数学结论是否正确的常用方法： 1. 实验验证：实验验证是最基本的方法，是直接反映由具体到抽象，由特殊到一般的逻辑思维方法. 2. 举出反例：举出反例常用于说明要检验的结论不一定成立. 3. 推理论证：推理论证是最可靠、最科学的方法.任何推理都包含前提和 结论两部分，前提是推理的依据，可以是一个，也可以是几个，结论是根 据前提所做出的判断.在前提的基础上，严格推理论证“结论”的正确与否. 归纳总结 1.下列问题用到推理的是( ) A. 根据x＝1，y＝1，得x＝y B．观察得到的四边形有四个内角 C．老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 D．由公理知道过两点有且只有一条直线 A 2.最近网上一个烧脑问题的关注度很高(如图所示)，通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水( ) A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 分析：1号杯左侧出口比右侧低； 3号杯左侧封闭； 3号杯右侧流入5号杯的出口端封闭. A 3.由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形，以下去掉了3根的方法正确的是( ) A．DE，GH，MI B．GF，EF，MF C．GD，EI，MH D．AG，AD，GD 分析：根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可. C 剩下6个 剩下4个 剩下7个 剩下9个 4.在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由． 解：不正确． 解法一：(利用反例证明)例如：当n＝7时，n2－6n＝7＞0； 解法二：n2－6n＝n(n－6)，当n≥6时，n2－6n≥0． 1.实验验证；2.举出反例；3.推理论证. 观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明. 为什么要 证明 检验数学结论是否 正确的常用方法 推理证明的必要性 $