2.4 一元二次方程的应用 新课预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，分层设计从基础建模到综合应用，强化数学建模与问题解决能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|传播、增长率等单一应用问题|以单选（如传染问题）、填空（如降价问题）为主，培养数学眼光下的问题抽象能力| |中档|古算题、图形面积等复杂情境应用|结合《四元玉鉴》古算题、长方形桌布问题，发展数学思维的逻辑推理能力| |提升|动态几何、规律探索等综合应用|通过动点面积、三角点阵规律题，强化数学语言表达与模型应用意识|

2.4 一元二次方程的应用 新课预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．每年的月日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（    ） A． B． C． D． 2．某新能源公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到，则x的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．淇淇同学在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则正数的值是（    ） A． B． C．或 D．或 4．某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售.经市场调查发现，每件恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价元，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 5．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 7．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 8．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 9．一种电脑病毒在局域网中的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程______． 10．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x，已知这种药品原来每盒的价格是60元，则第一次降价后每盒的价格是________元，第二次降价后每盒的价格是________元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元，则可列出方程：________． 11．小雅家有一张如图所示的长方形桌子，桌面长，宽．有一块长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设垂下的长度为，根据题意，可列方程：______． 12．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 13．古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点，著名的“断臂维纳斯”便是如此．如图，若，则的长为______．    三、解答题 14．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 15．在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)、出发时，的面积是多少？ (2)、出发几秒时，的面积是？ 16．如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)直接写出A点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t，求当t为何值时，是直角三角形？ 17．阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． (1)若三角数是55，则______； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； (3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 18．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A A D B B B 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人为等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：， 解得：（舍去），， 故选：． 2．【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列方程求解，解题思路是先依次推出两次升级后的能量密度，列出方程后求解正的x值即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为， 第二次升级后的能量密度为， ∵最终能量密度达到， ∴可列方程为， ∵，两边同除以得， 又∵为倍数，， ∴． 3．【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、公式法解一元二次方程、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，无理数的大小判断，熟练掌握解一元二次方程的求根公式是解题关键． 根据题意，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，即， 解得：， 或， ， ， ∵a为正数， ． 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意，每件利润为售价减进价，降价x元后每件利润为元；销售量因降价增加，为件，总利润为每件利润乘以销售量，据此列方程． 【详解】解：∵降价后每件利润为元，每周销售量为件， ∴由总利润3600元得方程：， 故选：A． 5．【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过计算花园总面积与种植花草面积的差值来确定小道所占面积 ，进而通过设置未知数，并根据图形分析建立方程求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意得，， 即， 解得：或（舍） ∴小道进出口的宽度为． 7．【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 根据每轮感染中平均一台电脑感染的电脑台数，结合经过两轮感染后被感染的电脑总数，来建立方程。关键在于理解每轮感染后被感染电脑数量的计算方式，即第一轮感染后被感染的电脑数量加上第二轮感染后被感染的电． 【详解】解：第1轮​​：这1台感染x台，新增x台，总被感染数． 第2轮​​：现有的台被感染的电脑，每台感染x台，新增台，总被感染数为． 两轮后的总数是． 题目说两轮后是121台，因此． 故答案为：． 10．【答案】 ； ； ． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程． 【详解】解：第一次降价后每盒价格为元， 则第二次降价后每盒价格为元， 即． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后商品的售价方程，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于48.6即可． 11．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据各边之间的关系，可得出台布的长为，宽为，利用台布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵垂下的长度为， ∴台布的长为，宽为， 又∵台布的面积是桌面面积的2倍， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 13．【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据已知线段的比例关系与已知条件，将代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】∵，， ∴ 即 解关于为未知数的一元二次方程得， 舍去负值，得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键是将待求的线段转化为求解一元二次方程的问题． 14．【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）点从点开始移动，速度是，点从点开始移动，速度是，时可求出，的长度，且，由此即可求解； （2）根据题意求出点、移动的时间范围，设、出发几秒时，且，由此求出用字母表示的，的长度，即，，根据三角形的面积列出关于的一元二次方程，解方程并判断的取值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，，， ∴，且， ∴在中，， ∴、出发时，的面积是． （2）解：∵，，点从点开始移动，速度是，点从点开始移动，速度是，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止移动， ∴点从点开始移动，移动的时间为；点从点开始移动，移动的时间是， ∴设、出发几秒时，且，的面积是， ∴，， ∴，整理得，，解方程得，，（舍去）， ∴、出发几秒时，的面积是． 【点睛】本题主要考查动点在三角形中运动的规律问题，掌握动点运动的规律与三角形边长的关系列方程是解题的关键． 16．【答案】(1)， (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由得，则，把代入即可得． （2）先用含有t的代数式表示出、、的长，然后根据勾股定理列方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：由， 得， ∴， 把代入， 得， 解得． （2）解：由题意得直线的表达式为，直线的表达式为，， ∵轴， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴t为时，是直角三角形． 17．【答案】(1)10 (2) (3) 不能，理由如下： 假设能为120，则，即 解得：， ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可； （2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案； （3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：10； （2）解：由题意得：前n行所有点数的和为 ； （3）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 18．【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $