2.4 一元二次方程的应用 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，通过分类场景构建“问题情境—等量关系—方程模型”解题体系，强化数学建模与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |传播问题|2题|设每轮传染人数，列“1+x+x(1+x)=总人数”方程|从实际传播过程抽象数量关系，体现数学抽象能力| |增长率问题|3题|用“初始量(1±x)ⁿ=最终量”模型|通过成本、产量等实际变化，培养数据观念与推理意识| |图形问题|4题|根据几何图形面积、边长关系列方程|结合矩形、三角形等图形性质，发展几何直观与空间观念| |数字与营销问题|5题|设数位或降价金额，用“数量×单价=总利润”构建关系|从数字规律、经济活动中提取等量关系，提升模型意识|

2.4 一元二次方程的应用 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．每年的月日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生.假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（    ） A． B． C． D． 2．某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　） A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对 5．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 8．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 二、填空题 9．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 10．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x，已知这种药品原来每盒的价格是60元，则第一次降价后每盒的价格是________元，第二次降价后每盒的价格是________元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元，则可列出方程：________． 11．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是______． 12．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为________． 13．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．    三、解答题 14．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 15．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地的两侧分别搭建宽度为的临时舞台矩形和矩形（阴影部分）．若舞台中间矩形（空白部分）的面积为，求正方形绿地的边长． 16．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 17．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 18．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C A D D C 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人为等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意，得：， 解得：（舍去），， 故选：． 2．【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均下降率问题，从第一个月到第三个月经过两个月下降，成本按倍变化． 【详解】解：∵ 第一个月成本为450万元，第三个月成本为370万元，且平均每月下降率为x， ∴ 经过两个月下降，第三个月成本第一个月成本， 即． 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为，则十位数字为，则原来的两位数是，交换数字位置后得到的新的两位数是，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可． 【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，， 则原来的两位数为62或26， 故选：C 5．【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 6．【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 8．【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 10．【答案】 ； ； ． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程． 【详解】解：第一次降价后每盒价格为元， 则第二次降价后每盒价格为元， 即． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后商品的售价方程，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于48.6即可． 11．【答案】8 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 【详解】设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以， 解得，（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是有8人． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键． 12．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、三线合一、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据面积相等，得到正方形的边长为2，根据图形推出，，结合三线合一，得出，设，，利用三角形面积公式列方程，即可求解． 【详解】解：如图，标记各点， 面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， 正方形的面积为4， 正方形的边长为2， 由图形可知，，，， ，， 等腰三角形， ， 设，， ， ， 解得：或（舍）， ， 即该等腰三角形的底边长为． 13．【答案】30 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 14．【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 15．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的面积，解一元二次方程，掌握正方形的四边相等是解题的关键，设正方形的边长为，根据正方形的性质可知，再求出矩形的边长，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， 舞台中间矩形（空白部分）的面积为， ， 解得：（舍）， 正方形绿地的边长． 16．【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 17．【答案】(1)；； (2)或 (3) 解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【知识点】列代数式、配方法的应用、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）略 （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 18．【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $