2.2 一元二次方程的解法 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，通过基础巩固、方法辨析、综合应用三阶分层设计，实现从概念理解到运算能力再到模型应用的递进，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接开平方法、配方法、因式分解法|单选题1-3直接考查解法步骤，填空题11-13强化配方变形，夯实运算能力| |中档|根的判别式、方法辨析|单选题7结合接力游戏辨析配方法错误，解答题17论证根的存在性，发展推理意识| |提升|参数问题、实际应用|单选题9综合分式方程正数解与判别式，解答题20以文创购物为情境建立模型，体现应用意识|

2.2 一元二次方程的解法 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 5．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 9．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B．0 C．3 D． 10．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．把方程化成的形式，则m的值是________． 12．若关于x的方程的两根满足（a，m，b均为常数，），则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是 _________ ，_________． 13．对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 14．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为______ 15．我们规定：对于任意实数有，其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如：．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 三、解答题 16．解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 17．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 18．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分（如图）． (1)当时，求手掌遮住的部分的值； (2)若手掌遮住的部分为，求x的值． 19．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 20．山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A A C B B D C 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的情况判断，利用一元二次方程根的判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 4．【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 5．【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接根据十字相乘法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 8．【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 9．【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的解 【分析】本题考查的是分式方程的解及解法，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程或不等式解题是关键，根据根的判别式可得．且，再根据分式方程的正数解可得，且，再进一步可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴．且． 解得．且． 解关于x的方程， 去分母，得， 解得． ∵关于x的方程有正数解， ∴且． 解得，且， ∴a的取值范围为．且．， ∴符合条件的整数a的值是，， 即符合条件的所有整数a的和为． 故选D 10．【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 11．【答案】3 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 12．【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】根据换元法解答即可． 【详解】解∶∵关于x的方程的两根满足， ∴则关于x的方程的两根满足的取值范围分别是， 所以， 故答案为． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 13．【答案】 大 4 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 14．【答案】或 【知识点】新定义下的实数运算、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了实数的新定义运算，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据新定义，转化为一元二次方程，先化为一般形式，再利用公式法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，，， ， ， 即，， 故答案为：或． 15．【答案】且． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识，根据新规定的运算获得关于x的方程，然后根据一元二次方程的定义及一元二次方程的根的判别式列出不等式组，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴且． 故答案为：且． 16．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 17．【答案】(1)证明：， ， ， ， 方程总有两个实数根； (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）先求出判别式的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 方程有一根为正数， ， ． 18．【答案】(1)； (2)，． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）根据题意得到，进行计算解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：当时，手掌遮住的部分的值为 ． （2）解：根据题意，得， 整理，得，解得，． 19．【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、解一元二次方程——配方法、配方法的应用 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 20．【答案】(1)每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 (2)购进鸮卣毛毡背包至少个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意； ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元； （2）解：设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个， 由题意可得：， 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少个． 学科网（北京）股份有限公司 $