湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期入学考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（，是虚数单位），若，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是“”的必要不充分条件 C. 对于命题p：，使得，则是：，均有 D. 命题“，”的否定形式是“，” 4. 已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1或4 B. 或8 C. 1 D. 5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C D. 7. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数： 977，864，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908. 由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.75 D. 0.8 8. 下列命题不正确的是（ ） A. 若非零向量，，满足，，则 B. 向量，共线充要条件是存在唯一一个实数，使得成立 C. 在中，，，，则该三角形不存在 D. 若，，为锐角，则实数m的取值范围是 二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列各式中值为1的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（ ） A. 2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少 B. 2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上 C. 2017年末我国农村贫困人口有3046万人 D. 2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平 12. 如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为1，则下列四个值中为定值的是（ ） A. 点P到平面QEF的距离 B. 二面角的大小 C. 直线PQ与平面PEF所成的角 D. 三棱锥的体积 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 事件A、B是相互独立事件，若，，，则实数n的值等于______． 14. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：，，，，，已知各组频数之比为，那么成绩的第70百分位数约为______秒． 15. 设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 16. 求“方程的解”有如下解题思路：构造函数，其表达式为，易知函数在上是严格减函数，且，故原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集为______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设的内角所对边的长分别是，且，，． （1）求a的值； （2）求的值． 18. 用斜二测画法画一个水平放管平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形ABCD的面积； （2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积． 19. 某学校高一年级在期末考试成绩中随机抽取100名学生的数学成绩、按成绩分组，得到的频率分布表如下所示． 组号 分组 频数 频率 第1组 5 005 第2组 35 0.35 第3组 ① 0.30 第4组 20 0.20 第5组 10 ② 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中①，②位置相应数据，并估计这次考试中所有同学的平均成绩； （2）为了解学生的学习状态，年