5.3 实际问题与一元一次方程 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元一次方程”，涵盖配套、工程、销售盈亏、球赛积分、方案选择等问题类型。通过车间生产螺栓螺母、整理图书等实例导入，引导学生从具体情境中抽象等量关系，搭建从实际问题到数学建模的学习支架，衔接一元一次方程解法，为复杂问题解决奠定基础。 资料特色在于情境贴近生活，如春节春联制作、书店购书方案等，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过问题探究引导分析等量关系，强化数学思维中的推理与运算能力，变式训练和达标检测分层设计，助力学生建立模型意识，提升用数学语言表达和解决实际问题的应用能力。

姓名: 学科: 日期: 5.3实际问题与一元一次方程 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：4课时 日期：2026年9月3日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历实例引入（配套问题、工程问题），理解与掌握用一元一次方程解决实际问题的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题（数学建模、数学运算▪重点） 2.经历问题探究（销售盈亏问题、球赛积分问题、方案选择问题），牢固建立起用方程思想解决实际问题的思维模式.（数学建模、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 利用一元一次方程解决实际问题 （一）实例引入 例1 （配套问题） 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 分析：1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，则 据比例的基本性质：两个比例内向的乘积等于两个比例外项的乘积，可知 它们刚好配套. 探究： 设应安排名工人生产螺栓，名工人生产螺母. ∵1个螺栓需要配2个螺母，且每天生产的螺栓和螺母刚好配套，则 即相等关系为 ∴可列方程为 解方程，得 于是 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. 【规律小结】配套问题中的基本关系为 若个和个配成一套，则 据比例基本性质可得相等关系： 例2 （工程问题） 整理一批图书，由1人整理需要完成.现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为 ， 据“工作量=人均效率×工作时间×人数”可得 人先整理完成的工作量为 增加2人后再整理8h完成的工作量为 这两个工作量之和应等于总工作量“1”. 解：设先安排人整理，再安排 人整理完成工作，工作总量设为“ ” ∵人整理的工作量 + 人整理的工作量 = 总工作量， ∴可列方程为 解方程，得 答：应先安排 人进行整理. 【规律小结】工程问题的相等关系为 （1）工作量=工作 ×工作 ； （2）合作效率=各部分的工作效率之和； （3）总工作量=各部分的工作量之和； （4）工作量=人均 × × . 且当问题中工作总量没有具体表明时，常将工作总量看作数字“ ”. （2） 利用一元一次方程解决实际问题 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 这一过程一般包括 、 、 、 、 等步骤，即 、 、 、 所得结果、确定答案，正确分析问题中的 是列方程的基础. （3） 变式训练 【变式1】春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，副春联和个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸张，一张红纸能制作幅春联或制作个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配张红纸制作春联，则依题意可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【变式4】智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【变式5】2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 2、 销售中的盈亏问题 （1） 问题探究1 日常生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品销售信息，你知道它们的意思吗？ 探究： 1.销售问题中的相关概念： （1）成本：一般指 ，商品进货时的价格；（2）标价：商品出售时所 价格；（3）售价:商品在出售时的 价格；（4）利润:售价 成本价的价格；（5）利润率:商品的利润与成本价的 ；（6）打折:打几折后的价格就是标价乘 . 2.销售问题中的相关公式 （1）. （2）. 【注】实际生活中，利润分两种情况—— 与 ，且用正数表示 ，负数表示 . （3）. 【注】实际生活中，利润率分两种情况—— 与 ，且用正数表示 ，负数表示 . （4）. （二）问题探究 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 探究： 由题意可知：总售价大于总进价就 ,总售价小于总进价就 ,总售价等于总进价就 . （1）设盈利25%的衣服的进价是元,它的商品利润是 元. ∵进价+利润=售价, ∴可列方程为 解得 （2）设亏损的衣服的进价为元,它的商品利润是 元, ∵进价+利润=售价, ∴可列方程为 解得 综上， ∵两件衣服的总进价是 (元),两件衣服的总售价是 (元), 即 , ∴卖这两件衣服共 元. （三）实例运用 例3．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 例4.材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） （4） 变式训练 【变式1】某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 3、 球赛积分表问题 （1） 问题探究 某次篮球联赛积分表如下所示， (1)胜一场和负一场各积多少分? (2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗? 探究： （1）观察表“钢铁”队的数据可以看出，负一场积 分. 设胜一场积分，由“前进”队数据可列方程为 解得 答：胜一场积 分，负一场积 分. （2）若一支球队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ,则总积分为 即 （3） 设一支球队胜了场，则负了 场. 若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则可列方程为 解得 又∵胜场数为 （即 ）， ∴ 实际 故可以判定 哪支球队的胜场总积分等于负场总积分. 【温馨提示】 上面的问题说明,用方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否 ,还要检验方程的解是否符合问题的 . （2） 实例运用 例5.某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 例6．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ （3） 变式训练 【变式1】2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 4、 方案选择问题 （一）问题探究：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表5.3-2是这两款空调的部分基本信息.如果电价是，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 探究： 在这个问题中, 设空调的使用年数是, 则1级能效空调的综合费用(单位:元)是 即 3级能效空调的综合费用(单位:元)是 即 （1）当两款空调的综合费用相等时，则有 解得 （2）为了比较两款空调的综合费用,我们把表示3级能效空调的综合费用的式子变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和,即 也就是 由上式可知 当 时, 是负数,这表明3级能效空调的综合费用 ; 当 时, 是正数,这表明1级能效空调的综合费用 . 综上所述， ∵根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起), ∴购买、使用 能效空调更划算. （2） 实例运用 例7 ．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 例8．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． （3） 变式训练 【变式1】某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 5、 达标检测 1．（配套问题）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（工程问题）一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 3．（销售盈亏）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 4．（方案选择）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 5．（数字问题）已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（数字问题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 7．（几何问题）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（动点问题）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 9．（动点问题）如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 10．（和差倍分问题）学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（比赛积分）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 12．（配套问题）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 13．（工程问题）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 14．（销售盈亏问题）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 15．（比赛积分）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 16．（数字问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 17．（动点问题）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 18．（动点问题）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 19．（动点问题）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 5.3实际问题与一元一次方程 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：4课时 日期：2026年9月3日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历实例引入（配套问题、工程问题），理解与掌握用一元一次方程解决实际问题的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题（数学建模、数学运算▪重点） 2.经历问题探究（销售盈亏问题、球赛积分问题、方案选择问题），牢固建立起用方程思想解决实际问题的思维模式.（数学建模、数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 利用一元一次方程解决实际问题 （一）实例引入 例1 （配套问题） 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 分析：1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，则 据比例的基本性质：两个比例内向的乘积等于两个比例外项的乘积，可知 它们刚好配套. 探究： 设应安排名工人生产螺栓，名工人生产螺母. ∵1个螺栓需要配2个螺母，且每天生产的螺栓和螺母刚好配套，则 即相等关系为 ∴可列方程为 解方程，得 于是 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母. 【规律小结】配套问题中的基本关系为 若个和个配成一套，则 据比例基本性质可得相等关系： 例2 （工程问题） 整理一批图书，由1人整理需要完成.现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人完成的工作量）为， 据“工作量=人均效率×工作时间×人数”可得 人先整理完成的工作量为 增加2人后再整理8h完成的工作量为 这两个工作量之和应等于总工作量“1”. 解：设先安排人整理，再安排人整理完成工作，工作总量设为“1” ∵人整理的工作量 +人整理的工作量 = 总工作量， ∴可列方程为 解方程，得 答：应先安排2人进行整理. 【规律小结】工程问题的相等关系为 （1）工作量=工作效率×工作时间； （2）合作效率=各部分的工作效率之和； （3）总工作量=各部分的工作量之和； （4）工作量=人均效率×人数×时间. 且当问题中工作总量没有具体表明时，常将工作总量看作数字“1”. （2） 利用一元一次方程解决实际问题 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案，正确分析问题中的相等关系是列方程的基础. （3） 变式训练 【变式1】春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，副春联和个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸张，一张红纸能制作幅春联或制作个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配张红纸制作春联，则依题意可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】分配张红纸制作春联，则剩下张红纸用于制作福字，一共能制作幅春联，个福字，根据题意可得，化简得到所求方程． 【详解】解：根据题意，可列方程． 【变式2】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．工作效率 = 总工作量÷单独完成时间，因此把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程并解答． 【详解】 解：设乙单独完成剩下的任务还需要小时，由题意得 ， 故选：D ． 【变式3】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】25人生产大齿轮，60人生产小齿轮 【难度】0.65 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“ 2 个大齿轮和 3 个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可． 【详解】解：设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮． 根据题意，得， 解得：， ， 答：安排 25 名工人加工大齿轮，则安排 60 名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 【变式4】智能机器人分拣货物，每分钟可分拣件货物，机器人先单独工作一段时间，之后人工辅助分拣货物，每分钟共分拣件．若总共用时50分钟，一共分拣件货物，求机器人单独工作的时长． 【答案】机器人单独工作的时长为分钟 【难度】0.85 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设机器人单独工作的时长为分钟，则人工辅助分拣货物的时长为分钟， 由题意得：， 解得， 答：机器人单独工作的时长为分钟． 【变式5】2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要𝑥天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 2、 销售中的盈亏问题 （1） 问题探究1 日常生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品销售信息，你知道它们的意思吗？ 探究： 1.销售问题中的相关概念： （1）成本：一般指进价，商品进货时的价格；（2）标价：商品出售时所标明的价格；（3）售价:商品在出售时的实际价格；（4）利润:售价高出成本价的价格；（5）利润率:商品的利润与成本价的比值；（6）打折:打几折后的价格就是标价乘十分之几. 2.销售问题中的相关公式 （1）. （2） . 【注】实际生活中，利润分两种情况——盈利额与亏损额，且用正数表示盈利额，负数表示亏损额. （3）. 【注】实际生活中，利润率分两种情况——盈利率与亏损率，且用正数表示盈利率，负数表示亏损率. （4）. （二）问题探究 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 探究： 由题意可知：总售价大于总进价就盈利,总售价小于总进价就亏损,总售价等于总进价就不盈不亏. （1）设盈利25%的衣服的进价是元,它的商品利润是元. ∵进价+利润=售价, ∴可列方程为 解得 （2）设亏损的衣服的进价为元,它的商品利润是元, ∵进价+利润=售价, ∴可列方程为 解得 综上， ∵两件衣服的总进价是(元),两件衣服的总售价是(元), 即 , ∴卖这两件衣服共亏损元. （三）实例运用 例3．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设该商品的标价为元，利用售价与标价、进价、利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 例4.材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 【分析】（1）先计算佣金低于5元，按5元计算，再用总收入减去每次交易的印花税，过户费，佣金即可求解； （2）设卖出的价格为每股元，根据不亏不盈时卖出，列方程解答，再求增长率即可； （3）设卖出的价格每股是元，根据盈利1000元时卖出，列方程解答． 【详解】（1）解：，, 佣金都按5元计算， （元） 即小王盈利元； （2）解：， ， 可以直接用公式计算佣金． 设卖出的价格为每股元， 由题意得： 即他卖出的价格为每股元， 增长的百分率为 ； （3）解：， 可以直接用公式计算佣金， 设卖出的价格每股是元， 依题意得： 答：卖出的价格是每股元． （4） 变式训练 【变式1】某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】解题关键是理清进价、标价、售价之间的关系，理解打折的含义，根据题意逐步表示出售价即可列出方程． 【详解】解：∵设这件商品的进价为元，商品按进价提高后标价， ∴标价为元， ∵再打八折销售，售价为元， ∴打八折后的售价为， 因此可列方程为． 【变式2】一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 【答案】(1)买元的书办卡和不办卡费用相同 (2)她需要付元 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设买元的书办卡和不办卡的费用相同，根据题意列方程求解即可； （2）假设小颖没有办卡，她需要付元，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设买元的书办卡和不办卡的费用相同， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 答：买元的书办卡和不办卡费用相同； （2）解：假设小颖没有办卡，她需要付元， 根据题意可得：， 解得：， 答：如果小颖没有办卡，她需要付元． 3、 球赛积分表问题 （1） 问题探究 某次篮球联赛积分表如下所示， (1)胜一场和负一场各积多少分? (2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系. (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗? 探究： （1）观察表“钢铁”队的数据可以看出，负一场积1分. 设胜一场积分，由“前进”队数据可列方程为 解得 答：胜一场积2分，负一场积1分. （2）若一支球队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为,则总积分为 即 （3） 设一支球队胜了场，则负了场. 若这支球队的胜场总积分等于负场总积分，则可列方程为 解得 又∵胜场数为非负整数（即自然数）， ∴不符合实际 故可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分. 【温馨提示】 上面的问题说明,用方程解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义. （2） 实例运用 例5.某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分，若小华同学最终成绩88分，小华答对（     ）题． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】根据“最终成绩答对的题得的分答错的题扣的分”列式求解． 【详解】解：设小华答对道题，则不答或答错道题， 由题意列式为： ， ， ， ， ； ∴小华答对道题． 例6．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1) 胜一场积分，负一场积分 (2) 这支球队胜了场 【难度】0.76 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】（）因为两队比赛场数相同，胜场数和负场数、积分都有差异，所以可设胜一场积分，负一场积分，根据两队的胜场、负场和积分情况列二元一次方程组求解； （）因为已知胜场和负场的积分，且胜场总积分与负场总积分相等，比赛总场数为场，所以这支球队胜了场，则负了场，根据胜场积分等于负场积分列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 根据表格积分信息列二元一次方程组：， 两式相加化简得，即， 代入第一个方程：， 解得， ∴， ∴胜一场积分，负一场积分； （2）解：设这支球队胜了场，总场数为场，则负了场， 根据胜场总积分等于负场总积分列方程：， 整理得， 解得． （3） 变式训练 【变式1】2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 【变式2】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】 他答对了19道题 【难度】0.65 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． 4、 方案选择问题 （一）问题探究：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表5.3-2是这两款空调的部分基本信息.如果电价是，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 探究： 在这个问题中, 设空调的使用年数是, 则1级能效空调的综合费用(单位:元)是 即 3级能效空调的综合费用(单位:元)是 即 （1）当两款空调的综合费用相等时，则有 解得 （2）为了比较两款空调的综合费用,我们把表示3级能效空调的综合费用的式子变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和,即 也就是 由上式可知 当 时,是负数,这表明3级能效空调的综合费用较低; 当 时,是正数,这表明1级能效空调的综合费用较低. 综上所述， ∵根据相关行业标准,空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起), ∴购买、使用1级能效空调更划算. （2） 实例运用 例7 ．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 例8．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【难度】0.62 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）先判断打印张数是否超过对应方案的免费额度，因为方案一免费500张、方案二免费750张，800张均超过两者免费额度，所以分别按照“办卡费+超出部分×对应单价”的规则，列代数式计算两个方案的费用； （2）先判断支付费用对应的打印张数是否超过方案一免费额度，因为30元对应500张，66元大于30元，所以先计算超出免费额度的费用，再除以超出部分单价得到超出张数，最后加免费额度的张数得到总张数； （3）分区间讨论的取值：如果，比较两个方案的固定费用；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解，最后检验解是否符合即可． 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． （3） 变式训练 【变式1】某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 【变式2】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【难度】0.62 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 5、 达标检测 1．（配套问题）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.64 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设有x立方米木材制作桌面，则有立方米木材制作桌腿， ∴制作的桌面有个，制作的桌腿有个， 根据一张桌子要用1个桌面和4条桌腿可得桌腿数量是桌面数量的4倍， ∴可列方程为． 2．（工程问题）一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 3．（销售盈亏）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设出原售价，利用成本不变找到等量关系，列方程求解后即可得到成本． 【详解】解：设该服装的原售价为元， 根据题意得， 解得， 则该服装的成本为（元）． 4．（方案选择）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，正确计算出降价最多的方案是解题的关键． 根据题意分别表示出降价后的售价，再用原售价-降价后的售价，再比较大小即可得到降价最多的方案，再根据降价最多的方案降了37元，列出方程求解即可． 【详解】解：方案一：， 方案二：， 方案三：， ∵， ∴， ∴方案一降价最多． 由题意得：， 解得：． 故选：A． 5．（数字问题）已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用 【分析】三个连续自然数的和等于中间自然数的3倍，因此这个三位数是3的倍数，根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此判断即可． 【详解】设□里的数字为，该三位数各位数字之和为，需要是3的倍数， ∵ 当时，，8不是3的倍数，A不符合； 当时，，9是3的倍数，B符合； 当时，，不是3的倍数，C不符合； 当时，，不是3的倍数，D不符合． 6．（数字问题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 7．（几何问题）如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设正方形的边长为，根据图形构造方程即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， 则第一个长条的长为，第二个长条的长为， 根据题意得：， 解得， ∴长条的面积为：． 8．（动点问题）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】先由题意得出，，点表示的数为，设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，此时点表示的数为，点表示的数为，根据题意得出，分情况求解即可． 【详解】解：点表示的数为，， ，，点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 此时点表示的数为，点表示的数为， 则有， ①， ， ； ②， ， ， 综上，经过秒或秒，点、点分别到原点的距离相等， 选项符合题意． 9．（动点问题）如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查一次方程的应用，甲的速度为每秒1个单位长度，则乙的速度为每秒4个单位长度，正方形的边长为12，第一次需要t秒相遇，根据题意列方程得出t的值即可． 【详解】解：设第一次需要t秒相遇， 根据题意得， 解得， ∴它们第1次相遇的时间为秒， 故选：C． 10．（和差倍分问题）学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】列方程、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：设买来科技书本，则文艺书有本， ∵ 两种书共1200本， ∴ ． 11．（比赛积分）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 【答案】6 【难度】0.4 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为，利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出，即可知道第一名的分数. 【详解】解：四支球队进行单循环比赛， 总比赛场为（场）． 一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；比分是，则胜队得2分，负队得1分, 每场比赛无论比分如何总得分均为3分， 所有比赛总得分为18分. 比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为，，， ， ， 第一名得分是. 12．（配套问题）某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【难度】0.65 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. 13．（工程问题）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 14．（销售盈亏问题）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【难度】0.59 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 15．（比赛积分）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【难度】0.72 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 16．（数字问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若将十位数字与个位数字交换位置，所得新数比原数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为：20、31、42、53、64、75、86、97 【难度】0.56 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】先设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为，再根据题意列出方程，最后结合数位特征，进行解答即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 化简得，，等式恒成立， 结合数位特征：个位数字x的取值范围是， 原来的两位数为∶ 20、31、42、53、64、75、86、97． 17．（动点问题）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【答案】(1) (2)①或②或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式，代入两点对应的数，求出绝对值即可得到两点之间的距离； （2）①先利用数轴上两点距离公式得出，列出绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号求解即可；②由距离比列出含绝对值的比例等式，利用比例的基本性质化简，分两种情况去掉绝对值解方程得到结果； （3）设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度，则点P、点Q对应的数分别为、；根据题意列出绝对值方程，解出，再回代即可求出点P表示的数． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：①由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； （3）解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 18．（动点问题）如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3)、、 【难度】0.55 【知识点】列代数式、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题为数轴动点综合题，需要按照动点Q的运动状态划分三个时间段：Q未出发，Q向右运动未到达点C，Q到达C后折返向左．利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值列方程求解，求解后必须检验是否在对应取值范围． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，； （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足， ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、． 19．（动点问题）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1)，；， (2) (3)t的值为8或 (4)t的值为或 【难度】0.45 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）分点P在上和上两种情况讨论即可； （2）根据题意，得，，则有，然后问题可求解； （3）根据题意得，则可分当时，点在线段上，此时，当时，点在线段上，此时； （4）根据题意得的周长为，则可分当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动的总时间为18秒， ∴当时，点P在上，时，点P在上， ∴当时，； 当时，； （2）解：根据题意，点P在线段上，，点Q在边上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：根据题意得：， ∵的面积等于面积的， ∴， 由题意可分：当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 综上，t的值为8或； （4）解：根据题意得的周长为， 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上，当线段将的周长分成两部分的比为时，t的值为或． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $