5.4.3 正切函数的图象与性质教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦正切函数的图象与性质，课堂导入用百岁山矿泉水瓶教具激趣，逆向设疑打破正余弦“图象→性质”常规顺序，采用“性质→图象→深化性质”思路，依托学生已有的正余弦研究基础构建类比迁移学习支架。 特色在于逆向探究与具象化结合，通过百岁山教具和几何画板动态演示落实直观想象素养，帮助理解渐近线和分段特征。小组探究辨析整体单调性误区强化逻辑推理，培养严谨思维。为教师提供突破难点策略，提升学生数学抽象与应用能力。

5.4.3 正切函数的图象与性质 教学设计 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 1、 基本教学信息 授课年级：高一 课时安排：1课时 教材分析：本节课是人教A版高中数学必修第一册三角函数章节的核心内容，是继正弦、余弦函数之后的又一基本三角函数。学生已掌握正、余弦函数的图象与性质研究方法，具备类比探究的基础。正切函数具有定义域不连续、图象分段、无整体单调性、存在渐近线等独特性质，是三角函数知识体系的补充与拓展，也是后续学习三角恒等变换、复合三角函数的重要基础，在整个三角函数模块中起到承上启下的关键作用。 学情分析：知识层面，学生掌握正切函数的定义、同角三角函数关系，熟练掌握正、余弦函数的图象与性质及研究思路；能力层面，具备初步的数形结合、类比推理能力，但对渐近线的几何意义、分段单调性、不连续函数的整体性质理解存在困难，易出现“书写整体单调区间”的典型误区；思维层面，习惯于具象图象推导性质，对“由性质推图象”的逆向研究思路较为陌生。 2、 教学目标 （1） 知识与技能 （1） 理解并掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等核心性质； （2） 理解渐近线的定义与几何意义，掌握正切函数图象的规范画法； （3） 能够熟练求解复合正切函数的定义域、周期与单调区间，规避常见解题误区。 （2） 过程与方法 （1） 通过类比正、余弦函数研究框架，体会类比迁移、逆向探究的研究方法，区分两类三角函数的研究逻辑差异； （2） 借助单位圆、百岁山矿泉水瓶教具，经历“性质推导—图象绘制—性质深化”的完整探究过程，强化数形结合、周期延拓、转化的数学思想； （3） 通过小组合作探究，自主突破重难点，提升逻辑推理与合作探究能力。 （3） 情感态度与价值观 （1） 感受三角函数图象的对称美、规律美，激发数学探究兴趣； （2） 培养严谨的数学思维，养成规范解题、精准辨析易错点的学习习惯； （3） 体会数学源于生活、具象化抽象知识的学科魅力。 3、 教学重难点 教学重点：正切函数的定义域、周期性、奇偶性、图象特征及分段单调区间。 教学难点：渐近线的几何意义理解、正切函数整体单调区间的误区辨析、规范绘制正切函数图象。 4、 数学思想与核心素养渗透 （1） 核心数学思想方法 1． 类比迁移思想：依托正、余弦函数“图象→性质”的研究框架，迁移三角函数通用研究思路，创新采用“性质→图象→再深化性质”的逆向研究逻辑，对比差异化研究过程。 2． 数形结合思想：融合解析式、单位圆几何图象、实体教具，实现代数性质与几何形态双向印证，化抽象为具象。 3． 转化与周期延拓思想：利用奇偶性、周期性，将局部区间的图象平移、延拓，得到完整的正切函数曲线。 4． 整体思想：运用整体换元法求解复合正切函数的定义域与单调区间，简化复杂问题。 （2） 数学核心素养 1． 直观想象：借助单位圆、百岁山教具，直观感知正切函数间断性、分段性、渐近线特征，建立三角函数图象直观模型。 2． 数学抽象：从正切函数解析式出发，抽象概括出定义域、周期、奇偶性等本质属性，总结通用性质规律。 3． 逻辑推理：严谨推导各项性质，辨析“整体单调”的认知误区，构建严密的三角函数性质推理体系。 4． 数学运算：规范求解复合正切函数的定义域、单调区间，提升三角运算的准确性与规范性。 5、 教学准备 多媒体课件、几何画板动态演示视频、百岁山矿泉水瓶（学生人手一个）、黑板板书模板、课堂练习单。 6、 教学过程 （1） 情境导入，逆向设疑（5分钟） 1． 旧知回顾：引导学生回顾正弦、余弦函数的研究流程，统一结论：先绘制函数图象，再依托图象分析定义域、周期、奇偶性、单调性等性质。 2． 教具激趣：展示百岁山矿泉水瓶，引导学生观察瓶身螺旋分段、不连续的纹路形态，告知学生该形态与正切函数图象高度契合，具象化抽象曲线。 3． 设疑破局：本节课打破固有研究顺序，采用解析式推导性质→依托性质画图象→结合图象深化性质的逆向思路，探究正切函数的独特规律，引出课题《正切函数的图象与性质》。 4． 定义回顾：由正切函数定义， 5． 根据分式有意义条件，引导学生自主推导定义域：。 （2） 新知探究一：性质先行，严谨推导（12分钟） 以学生自主推导、教师点拨总结的方式，突破基础性质，落实逻辑推理素养。 1． 周期性推导 根据诱导公式，结合周期函数定义，验证为函数周期，且无更小正周期，得出结论：正切函数最小正周期。 2． 奇偶性推导 定义域关于原点对称，且满足，严格证明正切函数为奇函数，图象关于原点中心对称。 教师点拨：定义域对称性是判断奇偶性的前提，培养学生严谨的推理习惯。 （3） 新知探究二：依性画图，具象突破（10分钟） 结合几何画板动态演示+实体教具，分步绘制图象，突破渐近线难点。 1． 画核心区间图象：借助单位圆，绘制范围内的正切函数图象，引导学生观察关键特征：当时，函数值趋向，图象无限趋近直线但永不相交，引出渐近线概念。 2． 补全局部图象：利用奇函数中心对称性，完善区间图象。 3． 延拓整体图象：依据周期性，将核心区间图象左右平移，得到完整正切曲线。 4． 教具印证：让学生观察百岁山瓶身分段、断开、无限延伸的纹路，对应正切函数图象不连续、分段递增、渐近分隔的核心特征，具象化解题难点。 0 - - IIIIIIIIIII 2 - -2 - （4） 新知探究三：以图释性，归纳总结（8分钟） 结合完整图象，师生共同归纳正切函数完整性质，梳理易错点： 1． 值域：； 2． 渐近线：； 3． 单调性：在每个独立区间上单调递增； 核心易错强调：禁止书写“正切函数在定义域上单调递增”，因定义域不连续、存在间断渐近线，无整体单调性，仅存在分段单调区间。 （5） 小组探究，深度破难（5分钟） 设置探究问题，小组合作讨论，全员参与、教具辅助： 1． 正切函数与正、余弦函数的研究顺序有何本质不同？ 2． 结合百岁山教具形态，分析正切函数为何无整体单调性？ 3． 渐近线对应教具的哪一部分，其几何意义是什么？ 教师总结升华：正、余弦函数：图象→性质；正切函数：性质→图象→深化性质；渐近线是函数定义域的间断边界，将定义域分割为无数个独立单调区间，导致函数仅能分段递增，彻底突破本节课难点。 （6） 典例精讲+巩固练习（7分钟） 1． 典型例题：求解复合函数的定义域、周期与单调递增区间，规范整体换元的解题步骤。 2． 当堂练习：设置基础辨析题、区间求解小题，针对性规避整体单调、定义域遗漏等易错点。 （7） 课堂小结+作业布置（3分钟） 课堂小结：对照人教A版教材内容框架，从三个维度梳理本节课核心知识点： 1. 核心性质梳理：掌握正切函数的四大基础性质——①定义域：；②值域：全体实数R；③周期性：最小正周期为π；④奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；⑤单调性：在每个开区间内单调递增。 2. 图象特征总结：正切函数图象是由被渐近线分隔的无数支曲线组成，整体呈现中心对称特征，对称中心为，无对称轴。 3. 易错点提示：严格遵循教材表述，正切函数没有整体单调性，禁止表述为“在定义域内单调递增”，仅存在分段单调区间；书写定义域、单调区间时注意k∈Z的规范标注。 作业布置（严格匹配人教A版教材要求）： 【基础达标（必做）】完成课本第230页习题5.4第6、7、8题，重点巩固正切函数定义域、单调区间求解，规范答题格式，严格按照教材步骤书写。 【能力提升（选做）】参照教材研究三角函数的通用方法，尝试绘制的简图，分析其周期、单调区间与对称中心，体会整体换元思想的应用。 【预习任务】阅读教材5.5节《三角恒等变换》开篇内容，回顾两角差的余弦公式推导思路，为下节课学习做准备。 — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $