27.1　反比例函数的概念教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数概念这一核心知识点，通过回顾一次函数、二次函数的定义及研究思路，梳理函数学习的通用方法，类比引出反比例函数，搭建新旧知识联系的学习支架。 此资料亮点在于从高铁速度、矩形草坪面积等实际情境抽象变量关系，发展数学建模与抽象能力（数学眼光），通过问题串辨析x≠0、k≠0等限制条件，培养推理意识（数学思维），典例与变式强化待定系数法，规范解题表达（数学语言）。助力学生深化概念理解，为教师提供分层递进的教学活动设计。

27.1　反比例函数的概念 教学目标 　　1．了解反比例函数概念，能识别反比例函数． 　　2．能从实际情境中抽象变量关系，列出反比例函数解析式，体会函数建模思想． 3．理解反比例函数自变量取值范围x≠0，熟练运用待定系数法求反比例函数的解析式． 4．初步辨析反比例关系与反比例函数，感知二者的区别和联系． 教学重点 　　理解反比例函数的概念，会用待定系数法确定反比例函数的解析式． 教学难点 　　1．从实际问题中抽象得到反比例函数模型． 　　2．准确理解反比例函数自变量取值范围x≠0． 教学过程 知识回顾 我们已经学习过的函数有哪些？ 　　（1）一次函数： 　　一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．当b＝0时，y＝kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数． 　　（2）二次函数： 　　一般地，形如y＝ax²＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 【过渡】我们研究一次函数、二次函数，都是从实际问题入手，抽象出函数定义，再研究图象与性质．今天我们用同样的思路，学习一类新的函数——反比例函数． 【设计意图】回顾已学函数模型，梳理研究函数的通用学习思路，类比引出新知，为学习反比例函数做好方法铺垫． 新知探究 一、探究学习 【过渡】与研究一次函数、二次函数类似，我们仍然从现实世界中具有某种变化规律的具体实例出发，用函数的眼光分析问题中变量之间的对应关系，抽象出它们的共同特征，获得反比例函数的概念． 【思考】在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ （1）京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化； （3）李明计划在一段时间内用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q（单位：GB）随使用总时间t（单位：天）的变化而变化． 　　【师生活动】教师分层递进设问，组织学生小组合作探究： 设问1：每组问题中存在几个变量？当一个变量取确定值时，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应？ 学生预设：每个问题都有两个变量；一个变量确定，另一个变量随之唯一确定，满足函数定义，存在函数关系． 设问2：根据题目等量关系，尝试写出变量之间的解析式． 学生预设：依据路程、面积、总流量不变的等量关系，依次列出，，； 少数学生容易混淆自变量、因变量，教师巡视及时纠正． 设问3：观察得到的三个解析式，它们具有怎样共同的结构特征？ 学生预设： 预设 1（浅层）：都是分式形式； 预设 2（接近结论）：等号右边分子是常数，分母含有自变量． 教师引导提炼：统一可以写成（k 为不等于 0 的常数）的形式． 学生小组交流讨论，依次展示探究成果；教师巡视参与小组讨论，适时点拨．全班交流完成后，完整出示参考答案． 　　【答案】（1）变量间具有函数关系．根据“路程＝速度×时间”，得． 　　（2）变量间具有函数关系．根据“矩形面积＝长×宽”，得． 　　（3）变量间具有函数关系．根据“每日流量×总天数＝总流量”，得． 共同特点：三个解析式都具备的形式，其中k是非零常数． 【设计意图】引导学生对问题开展探究讨论，引导学生从现实情境中寻找变量关系，独立写出函数解析式，观察式子共同特征，经历抽象得到反比例函数概念的过程，发展数学建模核心素养． 【新知】一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数．其中x是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数． 【举例】例如，在上面问题（1）中，当路程一定时，，我们就说，速度v是时间t的反比例函数．大家注意表述顺序，分清自变量与函数． 提问：对于，该如何规范表述？ 预设学生回答：y是x的反比例函数． 【问题】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出系数k的值． ，，，xy＝5． 【师生活动】学生独立思考后举手作答，教师组织其他学生互评、纠正补充． 【答案】是反比例函数，可变形为，其中系数k＝3； 不是反比例函数，是一次函数； 是反比例函数，可变形为，其中系数k＝； xy＝5是反比例函数，可变形为，其中系数k＝5． 【新知】反比例函数解析式的三种表达形式：，，xy＝k．(k为常数，k≠0) 【提示】课堂重点掌握标准形式；另外两种表达形式初步认知，不进行大量强化训练，契合新教材梯度安排． 【问题】在反比例函数解析式中，自变量x的取值范围是x≠0，为什么？ 【师生活动】学生独立思考回答． 教师补充：在反比例函数解析式中，自变量x是分式的分母，当x＝0时，分式无意义，所以自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 【问题】在反比例函数解析式中，系数k≠0，为什么？ 【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流讨论，推选代表发言，教师补充总结． 【答案】由变形可得xy＝k，解析式中自变量满足x≠0．若k＝0，结合x≠0，可以推出y＝0．此时无论x取任何不为 0 的值，y恒等于 0，y不会随x的改变而变化，属于常数函数，不再具备一个变量随另一个变量变化的特征，失去反比例函数的研究意义，因此规定系数k≠0． 　　【设计意图】通过递进式问题串，引导学生辨析解析式形式，厘清定义中的两个核心限制条件x≠0，k≠0，深化对反比例函数概念的理解，夯实概念基础． 二、典例精讲 　　【例1】已知反比例函数，求(m－2)2 026的值． 【师生活动】学生独立完成，教师指名板书；教师重点巡查，重点关注学生是否遗漏条件 m＋1≠0． 【答案】解：因为是反比例函数， 　　所以m2－2＝－1，且m＋1≠0，解得m＝1． 当m＝1时，(m－2)2 026＝(1－2)2 026＝(－1)2 026＝1． 追问：求出m＝1之后，如果直接只看次数m2－2＝－1，会算出m=±1，为什么要舍去m＝－1？ 作用：再次强化系数k≠0这个易错限制条件． 【注意】利用反比例函数的概念求字母的值时，既要考虑自变量的次数，又要注意比例系数．本题易忽略m＋1≠0这一隐含条件． 【设计意图】巩固反比例函数定义，强化定义中两条核心限制条件：次数、系数k≠0． 【例2】已知y是x的反比例函数，且当x＝2时，y＝6． 　　（1）写出y关于x的函数解析式； 　　（2）当x＝4时，求y的值． 【师生活动】学生先独立尝试解题，小组交流方法；教师规范板书解题格式，提炼通用步骤． 【分析】因为y是x的反比例函数，所以设．把x＝2，y＝6代入上式，就可求出常数k的值． 【答案】解：（1）设．因为当x＝2时，y＝6，所以． 解得k＝12，因此． 　　（2）把x＝4代入，得． 提问：求反比例函数解析式，至少需要知道几组x，y对应值？为什么？ 作用：让学生理解解析式只有一个待定参数k． 【归纳】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 　　（1）设：设反比例函数的解析式为(k≠0)． 　　（2）列：把一组x与y的对应值代入(k≠0)中，得到关于k的方程． 　　（3）解：解方程，求出k的值． 　　（4）写：将求出的k的值代回所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式． 【变式练习】已知 y 是 x 的反比例函数，当x＝－3时，y＝4，求y关于x的函数解析式． 【师生活动】学生独立快速完成，随机抽查学生口头汇报结果，教师简要点评． 【答案】解：设．因为当x＝－3时，y＝4，所以． 解得k＝－12，因此函数解析式为． 【设计意图】通过例2与变式练习讲解训练，让学生掌握用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤，规范解题书写格式． 课堂小结 板书设计 　　一、反比例函数 1．定义：(k为常数，k≠0)}\) 2．自变量取值范围：x≠0 3．三种表达形式 二、待定系数法求解析式 步骤：设→列→解→写 课后任务 　　完成教材第65页练习第1～2题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $