第12讲 反比例函数中k的几何意义 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数中k的几何意义这一核心知识点，系统梳理从基本三角形、矩形面积计算，到复杂等腰三角形、平行四边形及阴影部分面积求解的脉络，搭建由基础到综合的学习支架。 资料以题型分类为特色，例题与变式层层递进，通过不同图形面积计算培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），引导用数学语言表达k与面积的关系。课中助力教师系统教学，课后练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第12讲 反比例函数中k的几何意义 题型 反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 反比例函数中求三角形的面积 1 例 如图，点是双曲线的图象上一点，轴于点，则的面积为 ． 1-1 变式变式 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 1-2 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为 ． 1-3 变式变式 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则 （填“>，＜，或=”）． 题型 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 2 反比例函数中求等腰三角形的面积 2 例 如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    2-1 变式变式 如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2-2 变式变式 如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 2-3 变式变式 如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 题型 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 3 反比例函数中求平行四边形的面积 3 例 题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 3-1 变式变式 如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    3-2 变式变式 如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    3-3 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    题型 反比例函数中利用k值求矩形的面积 4 反比例函数中求矩形的面积 4 例 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 4-1 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 4-2 变式变式 如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 4-3 变式变式 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 题型 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 5 反比例函数中求阴影部分的面积 5 例 如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 5-1 变式变式 如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为 ． 5-2 变式变式 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 5-3 变式变式 如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 课 后 练 习 1 练 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 2 练 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3 练 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4 练 如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 5 练 如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 6 练 如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 7 练 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 8 练 如图，点O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，则的面积是 ． 9 练 如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为． （1）若点是的中点，则 ； （2）若，则的面积为 ． 10 练 如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 11 练 如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 12 练 如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 13 练 如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 14 练 小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 15 练 【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 第12讲 反比例函数中k的几何意义 题型 反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 反比例函数中求三角形的面积 1 例 如图，点是双曲线的图象上一点，轴于点，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点， ∴，故答案为：4． 1-1 变式变式 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【详解】解：如图所示，连接，∵轴，∴轴，∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴，∴，∴，故答案为：． 1-2 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为 ． 【答案】8 【详解】解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上，∴，∴， ∵轴，∴，∴．故答案为：8 1-3 变式变式 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则 （填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 题型 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 2 反比例函数中求等腰三角形的面积 2 例 如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【详解】解：过点作，如下图： 设，则，，∵为正三角形，， ∴，．故答案为：． 2-1 变式变式 如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【详解】解：如图，过A作于H， ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵，∴的面积为． 故答案为：4． 2-2 变式变式 如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，，． 故答案为：3． 2-3 变式变式 如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 【答案】 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ，，，，…，依次类推， ，∴．故答案为：． 题型 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 3 反比例函数中求平行四边形的面积 3 例 题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】2 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴；∵四边形是平行四边形，∴，故答案为：2． 3-1 变式变式 如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    【答案】36 【详解】解：延长交y轴于E，作轴于F，如图， 四边形为平行四边形，，，，， 轴，，点D是边的中点，点D到x轴的距离为2， 点的纵坐标为4，，∵，，， ，，∴，即，， ∵反比例函数的图象边的中点D，，，， 四边形的面积． 故答案为：36．    3-2 变式变式 如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【详解】 解：作轴，轴，则， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴ 故答案为：． 3-3 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接， ∴，∠BED=∠CFD，，∵D是边的中点，即，∴， ∴，∵点B在反比例函数的图象， ∴，同理， ∴， ∴的面积为，故答案为：． 题型 反比例函数中利用k值求矩形的面积 4 反比例函数中求矩形的面积 4 例 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上， 轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：，故答案为：8． 4-1 变式变式 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积，故答案为：． 4-2 变式变式 如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，，∴，故答案为：． 4-3 变式变式 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【详解】解：设，在中，令得， 令得，，，∵矩形，∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 题型 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 5 反比例函数中求阴影部分的面积 5 例 如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵，∴，∴．故答案为：4． 5-1 变式变式 如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，，∵，∴，故答案为：4． 5-2 变式变式 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为，故答案为：． 5-3 变式变式 如图，在反比例函数的图象上有，，，……，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，……，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，……，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵的横坐标依次为， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点轴于点轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方， 则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即， 故答案为：． 课 后 练 习 1 练 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，若的面积等于，则的值为（ ） A．5 B．10 C．25 D． 【答案】B 【详解】解：的面积等于5，， ，，；又反比例函数的图象的一支位于第一象限， ．．故选：B． 2 练 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴，故选：． 3 练 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：平行四边形的对角线交于点，， ∵双曲线经过点，∴设的坐标是，则C的纵坐标是， 作，，，， ， 的坐标是，∵双曲线经过点， 代入得：， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得：， 得：，即的横坐标是， ，平行四边形的面积点的纵坐标，故选：B． 4 练 如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴，∴为的中点，即，∴， 又∵、、点都在反比例函数上，∴， ∴则，故选： C． 5 练 如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为，... 当时，的纵坐标，∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为，∴．故选：D． 6 练 如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限，∴，故答案为：． 7 练 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 【答案】/ 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为，．故答案为：． 8 练 如图，点O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，则的面积是 ． 【答案】4 【详解】解：如图所示，延长交y轴于点M，过点B作轴于点N， 在平行四边形中，， ， ， ，，， ，∴四边形是矩形， ，的面积． 故答案为：4． 9 练 如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为． （1）若点是的中点，则 ； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 4 【详解】（1）解：在矩形中，，． 点是的中点，，点坐标为， 反比例函数的图象经过点，，即，故答案为：4； （2）解：根据反比例函数中的几何意义知， ，，，，， ，，， ，， ．故答案为：． 10 练 如图，在反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为，…，分别以…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在与上（1，2，3，…，为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，…，记，，，…，则 ； ． 【答案】 2 【详解】解：∵反比例函数的图象上有点，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…， ∴，，，，， ∴，，，，， ∴，，， 故答案为：，． 11 练 如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1(2)菱形的面积为 【详解】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上，因为轴于点C，的面积为2， 所以，又，所以，则反比例函数解析式为，将点代入得， 解得，所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4，所以菱形的面积为． 12 练 如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2，把代入， 可得 ，解得 ，∴，∴点的横坐标为3， 把代入得，，∴，∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上， 点在反比例函数的图像上， ∴，，∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 13 练 如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则，由题意，，∵， ∴，∴，∴， ∵当且仅当时等号成立，∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则，由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长；当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长；当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 14 练 小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形，，， ，， 点的坐标是，将代入到中， 得：，解得：； （2）解：，半径为；，，， 由菱形的性质可知，，，的长； （3）解：如下图所示，，， ，在菱形中， ，， ，． 15 练 【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】；【拓展】． 【详解】解：【感知】如图，延长，交延长线于， ∵轴，轴，∴， ∵，，∴，， ∴，， 和都是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴与的位置关系为：平行．故答案为：16，16，平行 【探究】①如图，连接、， ∵轴，轴， ∴，， ∴． ②过点作于，过点作于， 则，∵， ∴边上的高相等，即， ∴四边形是矩形，∴． 【运用】如图，连接，设， ∵，， ∴，∵点，在反比例函数的图像上，且，∴， 解得：，∴，，∴， 解得：，∴，∴． 【拓展】如图，作交于， ∵，，∴， ∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图像上， ∴，∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $