27.2　反比例函数的图象和性质（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象和性质，通过回顾反比例函数概念、等价写法及待定系数法，衔接旧知过渡到图象与性质的探究，搭建知识支架。 以描点法作图为基础，引导学生从特殊（k=3,6）到一般归纳k＞0和k＜0时的图象特征与性质，结合信息技术辅助观察，培养几何直观与推理意识，典例强调“在每一个象限内”的易错点，助力学生发展数形结合思想，教师易操作且课堂效率高。

27.2　反比例函数的图象和性质（第1课时） 教学目标 　　1．回顾反比例函数概念，经历用描点法绘制反比例函数(k＞0)图象的过程，认识双曲线． 　　2．掌握描点法画反比例函数图象的步骤，归纳k＞0时反比例函数图象特征与基本性质． 　　3．初步借助图象理解函数变化规律，发展数形结合思想． 教学重点 　　用描点法画出反比例函数(k＞0)的图象、归纳k＞0时反比例函数的图象与性质． 教学难点 　　1．描点作图时体会图象无限靠近坐标轴但永不相交； 2．借助图象分析函数变化趋势，建立数形结合意识． 教学过程 知识回顾 【提问1】上一节课我们学习了反比例函数的概念，请同学们回忆，什么是反比例函数？ 学生预设回答： 一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数． 追问：反比例函数还有两种等价写法，谁能写出来？ 师生共同列出反比例函数的三种表示方式： 　　，，xy＝k．(k为常数，k≠0) 【提问2】解析式中自变量x、函数y、常数k有什么取值要求？ 学生预设：k≠0，同时x≠0，y≠0． 【提问3】如果已知一组x，y对应数值，如何求出反比例函数解析式？ 学生共同回顾：待定系数法四步骤——设、列、解、写． 【过渡提问】上节课我们学习了反比例函数的定义．结合之前学习函数的经验，接下来我们应当研究反比例函数的哪些内容？ 【学生预设】图象与性质． 【教师总结】本节课我们就一起探究反比例函数的图象和性质． 【设计意图】简单承接旧知，直接点明本节课课题． 新知探究 一、探究学习 【过渡】与研究一次函数、二次函数的图象和性质类似，在建立反比例函数的概念后，我们类比上述函数图象和性质的研究方法，研究反比例函数的图象和性质． 【思考】回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？ 【师生活动】学生独立思考，同桌相互交流． 提问：研究一次函数、二次函数时，我们遵循怎样的研究思路？ 预设学生回答：先画出函数图象，结合图象与解析式分析函数性质． 【教师小结】这种数形结合的研究方法同样适用于反比例函数． 追问：研究反比例函数(k≠0)，需要分类讨论吗？依据什么分类？ 预设学生回答：按照k＞0和k＜0两种情况讨论． 【过渡】下面我们先研究 k＞0时的情况，从具体的反比例函数开始探究． 【探究1】对于反比例函数与，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及y随x的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？ 【师生活动】学生独立思考，自主分析解析式；在草稿纸上尝试画出图象草图，同桌之间互相交流猜想． 备注：课堂教学中结合课件展示追加递进提问，引导学生自主辨析． 【教师追问】大家结合解析式分析，x可以取 0 吗？结合k＞0，x，y的符号存在什么特点？据此你预判图象会出现在哪些象限？ 【教师小结引导】同学们都根据解析式做出了自己的猜想，画出了示意图．我们的猜想是否准确，还需要精确画图进行验证． 【探究2】用描点法画出反比例函数与的图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同． 【提问】如何画函数的图象？ 预设学生回答：函数图象的画法——描点法． 【师生活动】学生回顾描点法画函数图象步骤，独立列表、描点、连线完成作图；教师巡查，捕捉典型作图错误进行后续展示纠错． 【答案】解：（1）列表．写出几组x与y的对应值（填空）： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 － －3 3 1 … … －1 － － －2 －3 －6 6 3 2 1 … （2）描点．以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． （3）连线．用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数与的图象（如图）． 强调：不能连接成线段、折线，两支曲线相互独立，永不与坐标轴相交． 【教师追问】列表取值时，能不能选取x＝0？只取正数部分的自变量可以吗？ 【学生预设】不能取x＝0；只取正数只能画出一侧图象，无法得到完整图形． 【教师总结】因为x≠0，所以反比例函数图象由两支曲线组成．大家最开始绘制示意图的时候，是否留意到这个要点？ 【设计意图】让学生动手作图验证猜想，巩固描点法；在实操中发现反比例函数图象特征，同时规避常见画图误区，持续落实数形结合思想． 　　【思考】观察反比例函数与的图象，回答下列问题： 　　（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？ （2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 利用信息技术工具，画反比例函数(k＞0)的k取不同值时的图象（如图），考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？ 　　【师生活动】学生独立观察图象，小组交流讨论两个问题；小组代表分享结论． 【教师引导】我们只研究了k＝3，k＝6两个特例，如果更换其他正数k，规律是否依旧成立？顺势引出信息技术探究． 【答案】（1）两个函数图象都位于第一、第三象限． （2）在每一个象限内，随着x的增大，y减小． 理由：由xy＝k(k＞0)可知，当k＞0，且x，y在同一象限（x，y同正或同负）时，x增大，y就会相应减小． 更换其他正数k继续探究，能得出同样的结论． 　　【新知】一般地，当k＞0时，对于反比例函数，结合函数图象与解析式，可以发现： 　　（1）函数图象的两支分别位于第一、第三象限； 　　（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小． 【设计意图】遵循由特殊到一般的探究思路，借助问题串引导学生观察图象，自主归纳出k＞0时反比例函数图象与性质，初步建立数形结合的研究方法． 【过渡】接下来，我们研究 k＜0 时反比例函数的图象和性质． 　　【探究】回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数(k＞0)的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？ 　　【师生活动】学生仿照k＞0的方式，选取k＝－2，－4，－6，列表、描点、画图；独立观察图象后小组交流，类比归纳k＜0时反比例函数特征． 待学生完成作图、小组交流后，课件展示对应的反比例函数图象，学生对照自查作图正误，共同观察图象特征，归纳函数性质． 　　【新知】一般地，当k＜0时，对于反比例函数，结合函数图象与解析式，可以发现： 　　（1）函数图象的两支分别位于第二、第四象限； 　　（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大． 【归纳】反比例函数的图象特征和性质如下： （1）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线． （2）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大． k的正负决定反比例函数图象的位置和函数的增减性． 教师小结：我们刚刚总结了反比例函数图象与核心性质．拓展了解，双曲线具有对称性，图象关于原点中心对称，直线y＝x，y＝－x是双曲线的两条对称轴． 温馨提示：此知识点仅作了解，本节课不设置对应习题，后续拓展练习再深入探究． 本节课核心易错点：描述增减性时，必须强调前提在每一个象限内，缺少该前提，结论不一定成立！ 二、典例精讲 　　【例1】反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为（　　）． 　　A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【师生活动】 提问：观察解析式，k取值是多少？能判断图象分布的象限吗？ 预设学生回答：k＝11＞0，双曲线两支在第一、第三象限． 追问：条件x1＞x2＞0说明两点在哪个象限？函数在此区间的增减规律是什么？ 学生思考、独立分析后作答． 【分析】因为11＞0，且x1＞x2＞0，所以A，B两点都在第一象限． 因为k＝11＞0，所以在每个象限内，y随x的增大而减小， 所以y1＜y2． 【答案】C 追问：如果条件改为x1＞0＞x2，还能得到同样结论吗？为什么？ 预设学生回答：不能．两点不在同一个象限，不能直接使用这条增减性质比较大小． 【设计意图】巩固反比例函数增减性质，强化易错前提在每一个象限内，区分同象限、跨象限两种不同情况，突破本节课难点． 【例2】如图所示的图象对应的函数解析式为（　　）． 　　A．y＝5x B．y＝2x＋3 C． D． 【师生活动】 提问：选项 A，B 是什么类型函数？图象是什么形状？ 预设学生回答：一次函数，图象是直线． 追问：题图是双曲线，属于反比例函数，先排除哪两个选项？ 预设学生回答：A，B． 提问：剩下两个反比例函数，双曲线分布在第一、三象限，说明k需要满足什么条件？ 预设学生回答：k＜0． 【分析】y＝5x，y＝2x＋3是一次函数，图象为直线，排除选项 A，B． 因为双曲线两支位于第一、第三象限，所以k＞0，所以选择． 　　【答案】C 追问：若反比例函数图象分布在第二、四象限，k的符号有什么要求？ 【设计意图】区分一次函数、反比例函数图象形态；巩固k的正负与双曲线所在象限的对应关系，呼应课堂描点画图探究活动． 【跟踪训练】已知反比例函数． （1）若图象分布在第一、三象限，求m的取值范围； （2）若图象分布在第二、四象限，求m的取值范围． 【师生活动】 提问：双曲线在第一、第三象限，对应k满足什么条件？ 预设学生回答：k＞0． 教师引导：本题中k＝m－3，列出不等式即可求解． 学生独立书写解题过程，教师巡视，挑选学生展示答案． 【答案】 （1）图象在第一、第三象限，则m－3＞0，解得m＞3； （2）图象在第二、第四象限，则m－3＜0，解得m＜3． 追问：能不能等于 3？m＝3时函数变成什么？ 预设：m＝3，k＝0，式子不再是反比例函数，因此不能取等号． 【设计意图】将图象位置特征转化为不等式运算，实现图形直观到代数推理的过渡；巩固k的符号与双曲线象限的对应关系，同时回顾反比例函数定义中k≠0这一要求． 课堂小结 板书设计 　　反比例函数的图象和性质 1．图象：双曲线 2．象限分布 k＞0：第一、第三象限 k＜0：第二、第四象限 3．增减性 k＞0，在每个象限内，y随x增大而减小 k＜0，在每个象限内，y随x增大而增大 4．对称性（了解） 课后任务 　　完成教材第72页习题27.2第1～3题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $