《第一章 有理数》 单元试卷 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 人教版七年级上册有理数单元培优卷，以《九章算术》文化素材及水位、商品质量等生活情境为载体，通过数轴折叠、绝对值几何意义等问题设计，覆盖负数、数轴、绝对值核心知识点，适配单元复习，培养抽象能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|负数概念、数轴表示、相反数|第1题引用《九章算术》体现文化传承| |填空题|6/18|新运算、绝对值最值、数轴距离|第16题结合绝对值几何意义培养模型意识| |解答题|9/72|数集分类、符号化简、数轴综合应用|第25题“阅读探索”题发展推理意识与数学表达|

2026-2027学年人教版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 有理数（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（       ） A.5 B. C.0 D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：， 不是负数. ，∴不是负数. 既不是正数也不是负数，∴不符合要求. ， 是负数，D符合要求。 故选D．  2.刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义即可得到答案． 【解答】 解：“水位下降18cm”应表示为 ， 故选B．  3.某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可. 【解答】 解： 最接近标准质量的是选项C. 故选C． 4.下列说法正确的是（        ） A.正数和负数统称为有理数 B.整数分为正整数和负整数 C.0是整数也是有理数 D.小数都是分数 【答案】 C 【解析】 明确有理数定义、整数分类及小数与分数的关系，逐一判断选项． 【解答】 解：选项A，整数和分数统称为有理数，0是有理数但既不是正数也不是负数，且正数、负数中包含无理数，故A错误； 选项B，整数分为正整数、0和负整数，故B错误； 选项C，0是整数也是有理数，故C正确； 选项D，有限小数和无限循环小数是分数，无限不循环小数不是分数，故D错误． 故选C．  5.如图，数轴上点表示的数为，经过点折叠这条数轴，使数轴在点两侧的部分完全重合，若点右侧的点与数轴上表示的点重合，则点所表示的数为（   ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用表示 的点和点 到点 的距离相等即可求解. 【解答】 解： ， . 所表示的数为1. 故选：C.  6.如图，数轴上有、、、四个点，其中表示互为相反数的点是（        ） A.点与点 B.点与点 C.点与点 D.点与点 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由数轴可知：点B与点D表示的数分别为 ，所以它们是互为相反数. 故选D．  7.如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（       ） ___ A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 C 【解析】 根据题意数轴上的点A、B所表示数的绝对值相等可找到数轴的原点，从而解得OC的长度即可判断点C表示的数. 【解答】 解： 数轴上点A，B所表示的数的绝对值相等， 可以确定原点O的位置，如图， 点表示的数是5， 故选：C. 8.如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键。根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定 在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大判断即可. 【解答】 解： 互为相反数的两个数到原点的距离相等， 可以确定- y,0,-x在数轴上的位置如图， 根据在数轴上越往右的数越大， 只有A选项正确. 故选：A.  9.数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（        ） A. B.   C.  D. 【答案】 A 【解析】 利用数轴和绝对值相关性质求解。 【解答】 A：表示数a的点到原点距离大于表示数b的点到原点是距离，故A符合题意； B：-b表示b的相反数，但表示数b的点到原点是距离近，所以a＜-b，故B不符合题意； C：表示数a的点在-3与-2之间，所以a＜-2，故C不符合题意； D：a＜0，b＞0，故D不符合题意。 故选：A.  10.下列说法：①若，则；②若、互为倒数，则；③若，则；④若，则、互为相反数．其中正确的个数有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 A 【解析】 分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘除法的运算法则，绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】 解：①若，则或，故①不符合题意； ②若、互为倒数，则，故②不符合题意； ③若，则一定为正数或，故③不符合题意； ④若，则、互为相反数，故④符合题意． 故选：． 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.在“生活中的数学”知识竞赛中，如将加20分记为+20分，则扣10分记为__-10______分. 【答案】 -10 【解析】 “加分”和“扣分”是两个具有相反意义的量，如果把加分记作“正”，扣分就记作“负”. 【解答】 加20分记为+20分，则扣10分记为-10分. 故答案为-10. 考点：具有相反意义的量. 12.在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____1___． 【答案】 1 【解析】 本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数个数，从而确定a、b的值，再代入求值即可． 【解答】 解：（分数）、-8（负整数）、2025（非负整数）、0（非负整数）、-（非负整数）、+13（非负整数）、（分数）、-6.9（分数）、（无理数，不是分数，也不是整数）， 综上，非负整数有2025,0,-( -|-2| ), +13，共4个， 分数有，共3个， 即a=4,b=3， 则a-b=4-3=1. 故答案为：1. 13.用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则___2025_____． 【答案】 2025 【解析】 本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得 ， ，进而即可求解，理解新定义是解题的关键. 【解答】 解：由题意得， ， ， ，故答案为：2025.  14.如果x为有理数，式子存在最大值是___2026_____，此时___3_____． 【答案】 2026,3 【解析】 可根据绝对值的非负性来确定式子2026-|x-3|的最大值．因为绝对值一定是非负的，即|x-3|≥0，要使2026-|x-3|最大，则需|x-3|最小，而绝对值的最小值为0，由此可先求出式子的最大值，再求出此时x的值．本题主要考查了绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性，即绝对值一定是大于或等于0的，以及能根据这一性质求解式子的最值是解题的关键． 【解答】 解：因为|x-3|≥0， 所以-|x-3|≤0. 所以2026-|x-3|≤2026-0=2026. 当|x-3|=0，即x-3=0，x=3时，2026-|x-3|能取得最大值2026. 故答案为：2026；3.  15.如图，有一根小棍（在的左边）在数轴上移动，数轴上、两点之间的距离，当移动到与，其中一个端点重合时，点所对应的数为，当移动到线段的中点时，点所对应的数为____或________． 【答案】 或 【解析】 本题考查了数轴上点表示的数，有理数的加法运算，理解，的移动方向和距离相同是解题的关键．根据题意，由，的移动方向和距离相同即可得出所对应法数． 【解答】 解：设的长度为， 如图所示，当点与点重合时， 此时点对应的数是，则点对应的数为， 当点到的中点时，点此时对应的数为：， 则点对应的数为：； 如图所示，当点与点重合时， 同理可得，点对应的数为． 故答案为：或．   16.同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理，可以表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，则的最小值为  5    ． 【答案】 【解析】 根据两点之间线段最短，所以当数轴上表示的点位于和之间的时候，到的点的距离与到的点的距离之和就是表示的点与表示的点之间的距离. 【解答】 解：由题意可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，两点之间线段最短 数轴上表示的点位于和之间的时候，到的点的距离与到的点的距离之和就是表示的点与表示的点之间的距离， 的最小值为 故答案为 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）  17.（6分）把下列各数序号填入相应括号内： ①3，②0.25，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨； 负分数集合：{________④⑨_________……} 整数集合：{_______①③⑤⑥⑦__________……} 非负数集合：{________①②③⑤⑧_________……} 【答案】 【解析】 先将各数化简，再根据负分数、整数、非负数的定义进行分类即可. 【解答】 解：先化简各数： ， ， ，其余各数已经是最简形式. 负分数是小于0的分数， 负分数集合：{ ④⑨ }； 整数包含正整数，零，负整数， 整数集合：{ ①③⑤⑥⑦ }； 非负数包含零和正数， 非负数集合：{ ①②③⑤⑧ } .  18.(7分) 化简下列各式的符号，并回答问题： （1）____2____； （2）________； （3）____-4____； （4）____3.5____； （5）___5_____； 问： ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是___5_____； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是____5____； 由①②你能总结出什么规律？ 【答案】 2; ; ; 3.5; 5; ①5; ②5; 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数； 一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身. 【解析】 （5）根据相反数的定义，化简多重符号即可； ①②根据负号的个数，求解即可，根据结果，总结出规律即可. 【解答】 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; ①当+5的前面有2024个负号时，化简后的结果是5; ②当-5的前面有2025个负号时，化简后的结果是5; 总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身. 19.(6分) 请比较下列各组中两个数的大小： （1）0和； （2）3和； （3）和； （4）和． 【答案】 0 > -1 3 > -4 - < - - > - 【解析】 （1）根据“正数 负数”直接比较大小即可; （2）根据“正数 负数”直接比较大小即可; （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小; （4）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小. 【解答】 （1）解：由“正数 负数”可知：; （2）解：由“正数 负数”可知：; （3）解：, , 又 , ; （4）解：, , 又 , . 20.(8分) 已知． （1）求与的值； （2）求的相反数． 【答案】 -14 【解析】 （1）根据绝对值的非负性计算解答即可； （2）先计算 的值，后计算相反数即可. 本题考查了绝对值的非负性，相反数，有理数的混合运算，熟练掌握非负性，混合运算是解题的关键. 【解答】 （1）解： （2）解： 的相反数是-14， 故 的相反数是-14. 21.(8分) 图纸上一个零件的标注为，表示这个零件直径的标准尺寸是． （1）合格产品的实际直径最小可以是，最大可以是多少毫米？ （2）另一个零件的标注为，该零件直径的标准尺寸有些模糊．已知该零件的七个合格产品的直径分别为，，，，，，，则该零件直径的标准尺寸是多少毫米？（注：标准尺寸为整毫米数） 【答案】 30.02mm 73mm 【解析】 （1）利用标准尺寸加上0.02即可得； （2）先求出给出的七个合格产品尺寸中，最大与最小尺寸，再求出标准尺寸的范围，由此即可得． 【解答】 （1）解：(mm)，答：最大可以是30.02mm． （2）解：给出的七个合格产品尺寸最大为73.3mm，最小尺寸为72.6mm，所以标准尺寸在(mm)和(mm)之间，因为标准尺寸为整毫米数，所以该零件直径的标准尺寸是73mm．  22.(9分) 有理数在数轴上的位置如图所示． （1）根据数轴化简：①_______；②_______；③_______；④_______；⑤_______；⑥_______； （2）若，求的值． 【答案】 ，， 【解析】 （1）由绝对值的几何意义，参考数轴信息判定的正负，数形结合，去绝对值即可得到答案； （2）根据的正负性，由绝对值的代数意义求解即可得到答案． 【解答】 （1）解：如图所示： ， 则①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：； （2）解：由知，， ， ，，．  23.(9分) 把有理数：，，0，，，按下列要求作答： （1）在数轴上表示出来； （2）用“＜”把上面的数连接起来； （3）把上面的数填入对应的集合内． 【答案】 见答案 【解析】 （1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可. 【解答】 （1）解： 数轴表示如下： （2）根据有理数大小比较的原则，得到： - 3.5 < -2 < 0 < （3）根据题意，填充如下： 整数集合 正数集合 24.(9分) 有理数a，b在数轴上的位置如图所示： （1）在数轴上分别用A，B两点表示，； （2）若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 【答案】 如图， b表示的数是-10，-b表示的数是10 a表示的数是5，则一a表示的数是-5 【解析】 （1）根据相反数的几何意义求解即可； （2）根据相反数的几何意义可求得 和 对应的点到原点的距离为10求解即可； （3）根据数轴上 、 的位置可求得 表示的数，进而可得 表示的数. 【解答】 （1）如图， （2）解： 数b与一b表示的点相距20个单位长度， 和一b对应的点到原点的距离为10， 表示的数是-10，-b表示的数是10； （3）解： 数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是-10， 表示的数是5，则一a表示的数是-5.  25.(10分) 【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）      4      ； （2）利用数轴，解决下列问题：①若，则      或        ； ②若，请直接写出所有的整数：   ，，，，，       ； ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 【答案】 ； ①或；②，，，，，；③存在最大值为，此时的值可以是（大于或等于的所有值均可） 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：，故此题答案为 （2）①，或， 解得，或， 故此题答案为或 ②， 当时， ，得（舍去）， 当时， ， 当时， ，得（舍去）， 由上可得，符合要求的整数是，，，，，， 故此题答案为，，，，，． ③要使有最大值，则可知为与之间的距离， 即最大值为，此时的值可以是（大于或等于的所有值均可）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年人教版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 有理数（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（       ） A.5 B. C.0 D. 2.刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（       ） A. B. C. D. 3.某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（       ） A. B. C. D.  4.下列说法正确的是（        ） A.正数和负数统称为有理数 B.整数分为正整数和负整数 C.0是整数也是有理数 D.小数都是分数 5.如图，数轴上点表示的数为，经过点折叠这条数轴，使数轴在点两侧的部分完全重合，若点右侧的点与数轴上表示的点重合，则点所表示的数为（   ） A. B. C. D.  6.如图，数轴上有、、、四个点，其中表示互为相反数的点是（        ） A.点与点 B.点与点 C.点与点 D.点与点  7.如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（       ） ___ A.3 B.4 C.5 D.6  8.如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 9.数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（        ） A. B.   C.  D.  10.下列说法：①若，则；②若、互为倒数，则；③若，则；④若，则、互为相反数．其中正确的个数有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.在“生活中的数学”知识竞赛中，如将加20分记为+20分，则扣10分记为________分.  12.在中，非负整数有个，分数有个，则值为________．  13.用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则________． 14.如果x为有理数，式子存在最大值是________，此时________．  15.如图，有一根小棍（在的左边）在数轴上移动，数轴上、两点之间的距离，当移动到与，其中一个端点重合时，点所对应的数为，当移动到线段的中点时，点所对应的数为____________．  16.同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理，可以表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，则的最小值为        ． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）  17.（6分）把下列各数序号填入相应括号内： ①3，②0.25，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨； 负分数集合：{_________________……} 整数集合：{_________________……} 非负数集合：{_________________……}  18.(7分) 化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ 19.(6分) 请比较下列各组中两个数的大小： （1）0和； （2）3和； （3）和； （4）和．  20.(8分) 已知． （1）求与的值； （2）求的相反数． 21.(8分) 图纸上一个零件的标注为，表示这个零件直径的标准尺寸是． （1）合格产品的实际直径最小可以是，最大可以是多少毫米？ （2）另一个零件的标注为，该零件直径的标准尺寸有些模糊．已知该零件的七个合格产品的直径分别为，，，，，，，则该零件直径的标准尺寸是多少毫米？（注：标准尺寸为整毫米数）  22.(9分) 有理数在数轴上的位置如图所示． （1）根据数轴化简：①_______；②_______；③_______；④_______；⑤_______；⑥_______； （2）若，求的值． 23.(9分) 把有理数：，，0，，，按下列要求作答： （1）在数轴上表示出来； （2）用“＜”把上面的数连接起来； （3）把上面的数填入对应的集合内．  24.(9分) 有理数a，b在数轴上的位置如图所示： （1）在数轴上分别用A，B两点表示，； （2）若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？  25.(10分) 【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）            ； （2）利用数轴，解决下列问题：①若，则              ； ②若，请直接写出所有的整数：                  ； ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 有理数（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C D C A A A 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.-10. 12.1. 13.2025  142026,3  15.或．  16. 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）  17.（6分）解：先化简各数： ， ， ，其余各数已经是最简形式. 负分数是小于0的分数， 负分数集合：{ ④⑨ }； 整数包含正整数，零，负整数， 整数集合：{ ①③⑤⑥⑦ }； 非负数包含零和正数， 非负数集合：{ ①②③⑤⑧ } .  18.(7分) （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; ①当+5的前面有2024个负号时，化简后的结果是5; ②当-5的前面有2025个负号时，化简后的结果是5; 总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身. 19.(6分) （1）解：由“正数 负数”可知：; （2）解：由“正数 负数”可知：; （3）解：, , 又 , ; （4）解：, , 又 , . 20.(8分) （1）解： （2）解： 的相反数是-14， 故 的相反数是-14. 21.(8分)（1）解：(mm)，答：最大可以是30.02mm． （2）解：给出的七个合格产品尺寸最大为73.3mm，最小尺寸为72.6mm，所以标准尺寸在(mm)和(mm)之间，因为标准尺寸为整毫米数，所以该零件直径的标准尺寸是73mm．  22.(9分) （1）解：如图所示： ， 则①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：； （2）解：由知，， ， ，，．  23.(9分)（1）解： 数轴表示如下： （2）根据有理数大小比较的原则，得到： - 3.5 < -2 < 0 < （3）根据题意，填充如下： 整数集合 正数集合 24.(9分) 有理数a，b在数轴上的位置如图所示： （1）在数轴上分别用A，B两点表示，； （2）若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ （1）如图， （2）解： 数b与一b表示的点相距20个单位长度， 和一b对应的点到原点的距离为10， 表示的数是-10，-b表示的数是10； （3）解： 数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是-10， 表示的数是5，则一a表示的数是-5.  25.(10分)（1）解：，故此题答案为 （2）①，或， 解得，或， 故此题答案为或 ②， 当时， ，得（舍去）， 当时， ， 当时， ，得（舍去）， 由上可得，符合要求的整数是，，，，，， 故此题答案为，，，，，． ③要使有最大值，则可知为与之间的距离， 即最大值为，此时的值可以是（大于或等于的所有值均可）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版初中数学 • 培优卷 七年级 (上) 第1章 有理数（卷一） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（       ） A.5 B. C.0 D.  2.刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（       ） A. B. C. D.  3.某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（       ） A. B. C. D. 4.下列说法正确的是（        ） A.正数和负数统称为有理数 B.整数分为正整数和负整数 C.0是整数也是有理数 D.小数都是分数  5.如图，数轴上点表示的数为，经过点折叠这条数轴，使数轴在点两侧的部分完全重合，若点右侧的点与数轴上表示的点重合，则点所表示的数为（   ） A. B. C. D.  6.如图，数轴上有、、、四个点，其中表示互为相反数的点是（        ） A.点与点 B.点与点 C.点与点 D.点与点  7.如图，数轴上每两个相邻刻度之间的距离均为1个单位长度，若点A、B所表示的数的绝对值相等，则点C表示的数为（       ） ___ A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D.  9.数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（        ） A. B.   C.  D. 10.下列说法：①若，则；②若、互为倒数，则；③若，则；④若，则、互为相反数．其中正确的个数有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 A 【解析】 分别利用有理数的加法、相反数的定义，倒数的定义、有理数乘除法的运算法则，绝对值的性质分别分析得出答案． 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.在“生活中的数学”知识竞赛中，如将加20分记为+20分，则扣10分记为________分. 12.在中，非负整数有个，分数有个，则值为________． 13.用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则________．  14.如果x为有理数，式子存在最大值是________，此时_______．  15.如图，有一根小棍（在的左边）在数轴上移动，数轴上、两点之间的距离，当移动到与，其中一个端点重合时，点所对应的数为，当移动到线段的中点时，点所对应的数为____________．   16.同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理，可以表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，则的最小值为      ． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）  17.（6分）把下列各数序号填入相应括号内： ①3，②0.25，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨； 负分数集合：{________________……} 整数集合：{_________________……} 非负数集合：{_________________……} 18.(7分) 化简下列各式的符号，并回答问题： （1）_______； （2）_______； （3）________； （4）_______； （5）________； 问： ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________； 由①②你能总结出什么规律？ 19.(6分) 请比较下列各组中两个数的大小： （1）0和； （2）3和； （3）和； （4）和． 20.(8分) 已知． （1）求与的值； （2）求的相反数． 21.(8分) 图纸上一个零件的标注为，表示这个零件直径的标准尺寸是． （1）合格产品的实际直径最小可以是，最大可以是多少毫米？ （2）另一个零件的标注为，该零件直径的标准尺寸有些模糊．已知该零件的七个合格产品的直径分别为，，，，，，，则该零件直径的标准尺寸是多少毫米？（注：标准尺寸为整毫米数）  22.(9分) 有理数在数轴上的位置如图所示． （1）根据数轴化简：①_______；②_______；③_______；④______；⑤_______；⑥_______； （2）若，求的值． 23.(9分) 把有理数：，，0，，，按下列要求作答： （1）在数轴上表示出来； （2）用“＜”把上面的数连接起来； （3）把上面的数填入对应的集合内． 24.(9分) 有理数a，b在数轴上的位置如图所示： （1）在数轴上分别用A，B两点表示，； （2）若数b与表示的点相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与表示的数是多少？ 25.(10分) 【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）           ； （2）利用数轴，解决下列问题：①若，则              ； ②若，请直接写出所有的整数：          ； ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $