第08讲 整式的乘法 讲义专项 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦整式乘法与除法核心知识，系统梳理单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式的运算法则，衔接零指数幂规定及整式除法运算，构建从基础到综合的学习支架，强化与幂的运算法则、乘法分配律的关联。 资料亮点在于5大易错辨析精准破解符号错误、漏乘漏项等问题，19类典例涵盖计算、求值、图形面积等，结合生活情境与几何直观，培养运算能力与模型意识。课中助力教师分层教学，课后通过变式练习与作业帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第08讲 整式的乘法（核心知识+5易错辨析+19典例精讲+课后作业） 【知识点01】单项式×单项式 运算法则： 1. 系数与系数相乘，作为积的系数； 2. 同底数幂分别按照幂的乘法法则相乘； 3. 只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数直接作为积的一个因式。 示例： 【知识点02】单项式×多项式 公式： 法则：依据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的所有积相加。 核心关键：不重乘、不漏乘，重点注意各项符号变化。 【知识点03】多项式×多项式 公式： 法则：先用一个多项式的每一项，分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简。 口诀：逐项相乘，不漏项、不重项，最后合并同类项。 【知识点04】整式乘法结果规范要求 1. 运算结果仍为整式； 2. 结果中若有同类项，必须全部合并，化为最简整式； 3. 一般按照字母降幂或升幂顺序排列。 【知识点05】零指数幂 零指 数幂 规定 不能忽略 a0＝1(a ≠ 0) a可以是不为零的单项式或多项式 文字叙述 任何不等于0的数的0次幂都等于1 【知识点06】单项式除以单项式 运算法则 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 一般步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式不能遗漏 【知识点07】多项式除以单项式 运算法则 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 式子表示 多项式(被除式)除以单项式是单项式乘多项式(商)的逆运算，因此多项式(被除式)除以单项式的结果可以用单项式乘多项式(商)进行检验. 易错点1：单项式×单项式（漏字母、符号出错） 计算： ❌错解： 📝错因：遗漏单项式中独有字母，单项式相乘时，仅在一个式子中出现的字母需连同指数直接保留。 ✅正解： 🛡避错要点：三步运算法则：①定符号；②系数相乘；③同底数幂指数相加，独有字母绝不遗漏。 易错点2：单项式×多项式（漏乘、符号错误·高频丢分） 核心法则：乘法分配律 ，单项式需乘遍多项式每一项。 例1 漏乘常数项 计算： ❌错解： 📝错因：未遵循分配律，单项式遗漏乘多项式的常数项。 ✅正解： 例2 负号分配不全 计算： ❌错解： 📝错因：负数单项式乘括号内负数项，负负得正，错误计算为负号，符号运算失误。 ✅正解： 🛡避错要点：1. 单项式为负数时，与括号内每一项相乘均要正确变号；2. 运算后积的项数与原多项式项数一致，可用于检验漏乘问题。 易错点3：多项式×多项式（漏乘、符号错、未合并同类项） 核心法则：，一个多项式的每一项，乘另一个多项式的每一项，最后合并同类项。 例3 运算漏项 计算： ❌错解： 📝错因：两项乘两项应展开为四项，遗漏这一项，展开不完整。 ✅正解： 例4 项不带符号运算 计算： ❌错解： 📝错因：未将项前的正负号作为项的一部分参与运算，与相乘负负得正，常数项符号错误。 ✅正解： 🛡避错要点：1. 所有项必须连同前方正负号整体相乘；2. 项×项，先展开得到项，再合并同类项；3. 最终结果必须化为最简多项式。 易错点4：整式混合运算（顺序混乱、去括号出错） 核心规则：先算乘法展开，再去括号，最后合并同类项；括号前为负号，去括号时所有项全部变号。 计算： ❌错解： 📝错因：减去多项式乘积时，未对展开后的整体变号，去括号规则运用错误。 ✅正解： 易错点5：含参数题型（不含某一项、与字母无关） 核心解题思路：先完整展开、合并同类项，令对应项系数为0，列方程求解参数。 例题：若展开后不含一次项，求的值。 ❌错解：直接令，得。 📝错因：概念理解错误，“不含某一项”是指该项系数为0，并非令因式为0。 ✅正解： 因式子不含一次项，故一次项系数为0，即，解得。 【题型一】计算单项式乘单项式 【例1】．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】单项式乘单项式：系数与系数相乘，相同字母与相同字母相乘． 【详解】解：． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，需运用单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变，指数相加． 【详解】解： 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算：______． 【答案】6 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式乘以单项式的运算法则为：系数相乘，同底数幂相乘，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）计算：． 【答案】． 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】此题考查了单项式的乘法．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式1】．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 【变式2】．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 【变式3】．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 【例3】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘多项式等知识点，解题关键是掌握单项式乘多项式法则． 根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项，计算后得到结果． 【详解】解： ． 【题型四】单项式乘多项式的应用 【例4】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 【变式1】．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题，分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图的面积为：； 图的面积为：； 即， 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 【变式3】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2) 保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 【例5】．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式1】．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】．（24-25八年级上·湖南·阶段检测）若的展开式中不含项，则的值是______． 【答案】4 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 【题型六】计算多项式乘多项式 【例6】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可得到结果 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·广西钦州·期末）已知 ，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．14 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，利用恒等式的特点，求出m的值即可． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算： 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项． 【详解】解：原式 ． 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【例7】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出给定等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ． 【变式1】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则□内应填写___________． 【答案】2 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．通过展开左边多项式乘积，合并同类项，得到的系数，即可求解． 【详解】解： 与右边对比，可得内应填写 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 【题型八】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例8】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知多项式与的积中不含的一次项，则的值为（    ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，利用积中不含x的一次项即一次项系数为0的性质求解a的值即可． 【详解】解：∵ 又∵积中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：A 【变式2】．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 【变式3】．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 【答案】， 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】利用多项式乘以多项式的法则进行计算，再根据乘积中不含项和项，得到含项和项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， 乘积中不含项和项， ，， 解得：，． 【题型九】多项式乘多项式——化简求值 【例9】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0． 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算．先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后把代入计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·北京·阶段检测），则代数式___________． 【答案】1 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式运算法则将原式化简为，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 【例10】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 【答案】b 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）有若干块图1中的长方形和正方形硬纸片，可以拼成如图所示的长方形． (1)用两种不同的方法，表示图2中长方形的面积； ①____________；②____________． 然后用①②的计算结果，用一个等式表示为____________． (2)用这种方法图3可以用一个等式表示为____________． 利用这个等式解决下面问题；若，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)，36 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）用两种不同的方法表示即可； （2）首先得到，然后整体代入求解． 【详解】（1）解：图2中长方形的面积可以表示为①；也可以表示为②； （2）解：图3可以用一个等式表示为； ∵，， ∴ ∴． 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 【例11】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【详解】解：观察杨辉三角中数据可知，每一行的首尾数字均为1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．依次类推，则： 第5行的数为1，4，6，4，1； 第6行的数为1，5，10，10，5，1； 第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 所以展开式中第四项的系数为20． 【变式1】．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项式的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，根据“三乘”对应的展开式：，即可求解． 【详解】解：“三乘”对应的展开式：， ∴ ， ∴． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【答案】8 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 【变式3】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2) 用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、数字类规律探索 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）略 【题型十二】整式乘法混合运算 【例12】．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式乘法混合运算、列代数式 【分析】本题主要考查了整式混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键．直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故选：A． 【变式1】．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为________． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】根据题目给出的算法计算即可． 【详解】解：由题意得， =， = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算和整式运算，解题关键是准确理解题意，得出正确的整式运算算式，熟练进行计算． 【变式2】．（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【题型十三】同底数幂的除法运算 【例13】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键. （1）直接利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）将看作整体，利用同底数幂的除法法则进行计算即可. 【详解】解：（1）原式． （2）原式 ． 【变式1】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则m的值为______． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 【变式3】．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【题型十四】同底数幂除法的逆用 【例14】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】该题考查了同底数幂除法，逆用同底数幂除法，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若，，则________． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【详解】解：． 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，观察所求值的式子，可发现是指数相减的形式，所以依据同底数幂相除的性质，将其转化为同底数幂相除的形式来计算、即逆用同底数幂的除法性质把化为，再代入，的值求解． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·河南开封·期中）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)200 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方，逆用同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法运算法则计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【题型十五】零指数幂 【例15】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的结果是（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-8 【答案】B 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的定义．依据“任何非零数的零次幂都等于1”即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算 的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】根据零指数幂的运算性质，运用“任何非零数的0次幂等于1”即可计算得出结果． 【详解】解：． 【变式2】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）_____． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，根据任何非零数的零次幂都等于可得结果. 【详解】解：， . 故答案为：. 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法、化简二次根式、零指数幂，再算减法即可； （2）先化简二次根式、绝对值，计算零指数幂和乘方，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型十六】计算单项式除以单项式 【例16】．（24-25八年级上·云南德宏·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【详解】解：． 【变式1】．计算：________． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【详解】解：． 【变式2】．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查单项式除以单项式，先进行乘方运算，再根据单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可得； （2）先计算括号内的单项式除以单项式，再计算单项式除以单项式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型十七】多项式除以单项式 【例17】．（25-26八年级上·河南安阳·期末）计算：________． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式的法则，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，然后相加． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·福建漳州·期末）某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题根据“份数总花费单价”，用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵总花费为元，每份奖品的价格是元， ∴购买的奖品的份数为： ． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 【变式3】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了多项式除单项式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据整式多项式除单项式法则求解即可． 【详解】 解：原式 【题型十八】整式四则混合运算 【例18】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式四则混合运算 【分析】此题考查了整式混合运算的应用．由题意得到，代入各项的左边分别计算，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ， 故A选项错误， ， 故B选项正确； ， 故C选项错误， ， 故D选项错误， 故选：B 【例19】．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了正方形与三角形的面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积． 解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果． 【详解】解：由题意得 ∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∵ ∴． 故答案为：5． 【变式1】．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】先根据多项式除以单项式法则、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2】．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段检测）（1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式混合运算； （1）先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，即可求解； （2）先进行单项式乘以多项式，单项式乘以单项式运算，再进行加减运算，即可求解； 掌握整式混合运算的法则，进行正确运算是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算，即可解题； （2）根据多项式除以单项式法则计算，即可解题； （3）先根据单项式乘多项式法则，以及多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 1. 知识体系梳理 核心运算：三类整式乘法，从简单到复杂依次为：单项式乘单项式→单项式乘多项式→多项式乘多项式，全程依托乘法分配律和幂的运算法则。 2. 解题核心注意事项 （1）严控符号问题：重点关注负号、括号、系数符号，符号错误是最高频失分点； （2）做完必检查：检查是否漏乘、漏项，核对同类项是否完全合并，保证结果最简。 3. 数学思想方法 转化思想：复杂运算逐步简化，多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为基础的单项式乘单项式，最终依托幂的运算完成计算。 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握单项式除以单项式的法则． 运用同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】解：∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂相除时底数不变、指数相减， ∴ ， 故选：C． 2．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式与多项式相乘等于单项式与多项式的每一个项相乘是解题的关键． 根据单项式与多项式相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 3．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）下列各式运算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则计算各项，即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故选项不符合题意. 故选：A． 4．一房屋的结构示意图如图所示（单位：），这家主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要地砖（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式和单项式乘以多项式在几何图形中的应用，根据长方形面积公式分别求出厨房，客厅，卫生间的面积，再把三者的面积求和即可得到答案． 【详解】解： ， ∴至少需要地砖， 故选：A． 5．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意得到抄错符号后的等式，展开后对比对应项系数求出和的值，进而计算即可． 解：由题意得，抄错后的算式为， ∵得到的结果为， ∴， 即， ∴，， 解得，， ∴． 6．观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【答案】A 【分析】先观察已知算式总结规律得到，再将所求式子变形，利用总结的规律简便计算． 【详解】解：①， ②， ③， …… ∴； 设所求式子为 ， ∵， ∴． 二、填空题 7．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）若单项式与的和是一个单项式，则这两个单项式的积是___________． 【答案】 【分析】根据题题可得与是同类项，从而求出m，n的值，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的和是一个单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得：， ∴这两个单项式分别为与， ∴这两个单项式的积是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，合并同类项等，根据题意得到与是同类项是解题的关键． 9．（2025·宁夏银川·三模）已知单项式满足，则____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式除以单项式；已知等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 10．若恒成立，则______． 【答案】-4 【分析】去括号先根据合并同类项法则化简，根据已知找对应的单项式的系数相同即可得到答案． 【详解】解： ， 恒成立， ，，， ，，， 所以． 故答案为：-4． 【点睛】本主要考查整式的乘法和合并同类项法则，明确化简前后单项式的系数相同是解决问题的关键． 11．长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为______________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的除法以及整式的加减运算，直接利用整式的除法运算法则得出另一边长，再利用整式的混合运算法则计算得出答案．正确求出另一边长是解题关键． 【详解】解：∵长方形的面积是，它的一边长为， ∴另一边长为：， 则它的周长是：． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，则的值是______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，对比等式两边对应项系数，得到关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 整理得， 对比对应项系数得：，， 解得：，， ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘多项式； （1）将多项式的每一项分别除以单项式，再将商相加； （2）用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加并合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： 14．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据整式的混合运算法则化简计算即可 【详解】解： 将代入得 原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟记对应法则是解题的关键． 15．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 16．已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值； （2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ， 由于展开式中不含项，常数项是， 则且， 解得：，； （2）由（1）可知：，， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 17．某中学做广播操时，各年级均排成一个长方形方阵，七年级每排人，共有排；八年级每排人，共有排；九年级每排人，共有排． (1)用含、的代数式表示该校学生总人数； (2)当，时，求该校学生总人数． 【答案】(1) (2)人 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，多项式乘法，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握运算法则． （1）分别计算各年级人数，相加即可； （2）将，代入（1）所得代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，该校学生总人数为： 答：该校学生总人数用含、的代数式表示为人． （2）解：当，时， 答：当，时，该校学生总人数为人． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期末）为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉． (1)请用含有的代数式表示两个地块面积； (2)若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由． 【答案】(1)， (2)工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等， 理由如下， 当时， ， ， ∴， ∴工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等． 【分析】本题主要考查字母表示数或数量关系，理解图示中线段的数量关系正确列出代数式是关键． （1）根据题意，空白部分根据三角形面积公式计算，另一边不规则图形的面积有两个正方形的面积减去空白部分的面积即可； （2）将分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：点是的中点， ∴， ∴空白部分的面积， ∴阴影部分的面积； （2） 略 19．如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 【答案】(1) 如图所示： (2)，，， (3) 根据条件可得，除了图②和图③外，还可以拼出五种不同的长方形， 第一种，由， 故长方形的长为，宽为，由1个卡片，2个卡片，2个卡片，1个卡片拼得； 第二种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得； 第三种，由， 故长方形的长为，宽为，由1个卡片，1个卡片，2个卡片，2个卡片拼得； 第四种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，1个卡片，1个卡片拼得； 第五种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得． 【分析】本题考查几何的基础模型，通过4个不同的长方形可以拼接成新的长方形，同时也是因式分解的几何表示方法． （1）通过图形可知，边需要和边重合，则有另一边为的矩形，边和边重合，则有另一边为的矩形，然后将的边重合，则得到新的矩形， （2）根据图②中的矩形数量，可知面积可以表示为，根据新的矩形的两边长分别为和可得，矩形面积为，故可以用等式来连接，图③同理可得， （3）根据前边的推论，结合多项式乘法即可推出其他种长方形． 【详解】（1）略 （2）解：图②的面积可以表示为：，也可以表示为， ∴， 图③的面积可以表示为：，也可以表示为， ∴， 故答案为：，，； 20．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3) ，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 整式的乘法（核心知识+5易错辨析+19典例精讲+课后作业） 【知识点01】单项式×单项式 运算法则： 1. 系数与系数相乘，作为积的系数； 2. 同底数幂分别按照幂的乘法法则相乘； 3. 只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数直接作为积的一个因式。 示例： 【知识点02】单项式×多项式 公式： 法则：依据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的所有积相加。 核心关键：不重乘、不漏乘，重点注意各项符号变化。 【知识点03】多项式×多项式 公式： 法则：先用一个多项式的每一项，分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项化为最简。 口诀：逐项相乘，不漏项、不重项，最后合并同类项。 【知识点04】整式乘法结果规范要求 1. 运算结果仍为整式； 2. 结果中若有同类项，必须全部合并，化为最简整式； 3. 一般按照字母降幂或升幂顺序排列。 【知识点05】零指数幂 零指 数幂 规定 不能忽略 a0＝1(a ≠ 0) a可以是不为零的单项式或多项式 文字叙述 任何不等于0的数的0次幂都等于1 【知识点06】单项式除以单项式 运算法则 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 一般步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式不能遗漏 【知识点07】多项式除以单项式 运算法则 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 式子表示 多项式(被除式)除以单项式是单项式乘多项式(商)的逆运算，因此多项式(被除式)除以单项式的结果可以用单项式乘多项式(商)进行检验. 易错点1：单项式×单项式（漏字母、符号出错） 计算： ❌错解： 📝错因：遗漏单项式中独有字母，单项式相乘时，仅在一个式子中出现的字母需连同指数直接保留。 ✅正解： 🛡避错要点：三步运算法则：①定符号；②系数相乘；③同底数幂指数相加，独有字母绝不遗漏。 易错点2：单项式×多项式（漏乘、符号错误·高频丢分） 核心法则：乘法分配律 ，单项式需乘遍多项式每一项。 例1 漏乘常数项 计算： ❌错解： 📝错因：未遵循分配律，单项式遗漏乘多项式的常数项。 ✅正解： 例2 负号分配不全 计算： ❌错解： 📝错因：负数单项式乘括号内负数项，负负得正，错误计算为负号，符号运算失误。 ✅正解： 🛡避错要点：1. 单项式为负数时，与括号内每一项相乘均要正确变号；2. 运算后积的项数与原多项式项数一致，可用于检验漏乘问题。 易错点3：多项式×多项式（漏乘、符号错、未合并同类项） 核心法则：，一个多项式的每一项，乘另一个多项式的每一项，最后合并同类项。 例3 运算漏项 计算： ❌错解： 📝错因：两项乘两项应展开为四项，遗漏这一项，展开不完整。 ✅正解： 例4 项不带符号运算 计算： ❌错解： 📝错因：未将项前的正负号作为项的一部分参与运算，与相乘负负得正，常数项符号错误。 ✅正解： 🛡避错要点：1. 所有项必须连同前方正负号整体相乘；2. 项×项，先展开得到项，再合并同类项；3. 最终结果必须化为最简多项式。 易错点4：整式混合运算（顺序混乱、去括号出错） 核心规则：先算乘法展开，再去括号，最后合并同类项；括号前为负号，去括号时所有项全部变号。 计算： ❌错解： 📝错因：减去多项式乘积时，未对展开后的整体变号，去括号规则运用错误。 ✅正解： 易错点5：含参数题型（不含某一项、与字母无关） 核心解题思路：先完整展开、合并同类项，令对应项系数为0，列方程求解参数。 例题：若展开后不含一次项，求的值。 ❌错解：直接令，得。 📝错因：概念理解错误，“不含某一项”是指该项系数为0，并非令因式为0。 ✅正解： 因式子不含一次项，故一次项系数为0，即，解得。 【题型一】计算单项式乘单项式 【例1】．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算，结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）计算：______． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）计算：． 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例2】．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式1】．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【变式2】．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【变式3】．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 【例3】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·广东江门·期中）计算：______． 【变式3】．（25-26八年级上·北京东城·开学考试）计算：． 【题型四】单项式乘多项式的应用 【例4】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【变式1】．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【变式3】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 【例5】．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【变式2】．（24-25八年级上·湖南·阶段检测）若的展开式中不含项，则的值是______． 【变式3】．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【题型六】计算多项式乘多项式 【例6】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算结果为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·广西钦州·期末）已知 ，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．14 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【变式3】．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）计算： 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【例7】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【变式1】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则□内应填写___________． 【变式3】．（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【题型八】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例8】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知多项式与的积中不含的一次项，则的值为（    ） A．1 B．-1 C．0 D．2 【变式2】．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【变式3】．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求，的值． 【题型九】多项式乘多项式——化简求值 【例9】．（25-26八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·北京·阶段检测），则代数式___________． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 【例10】．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为_____．（用含或的式子表示） 【变式3】．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）有若干块图1中的长方形和正方形硬纸片，可以拼成如图所示的长方形． (1)用两种不同的方法，表示图2中长方形的面积； ①____________；②____________． 然后用①②的计算结果，用一个等式表示为____________． (2)用这种方法图3可以用一个等式表示为____________． 利用这个等式解决下面问题；若，，求的值． 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 【例11】．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 【变式1】．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项式的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【变式3】．（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【题型十二】整式乘法混合运算 【例12】．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为________． 【变式2】．（25-26八年级上·北京丰台·期中）计算：． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型十三】同底数幂的除法运算 【例13】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）若，则m的值为______． 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：． 【变式3】．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十四】同底数幂除法的逆用 【例14】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）若，，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若，，则________． 【变式2】．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，，求的值． 【变式3】．（25-26八年级上·河南开封·期中）已知，． (1)求的值． (2)求的值． 【题型十五】零指数幂 【例15】．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的结果是（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-8 【变式1】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算 的结果是（    ） A． B． C． D．1 【变式2】．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）_____． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型十六】计算单项式除以单项式 【例16】．（24-25八年级上·云南德宏·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．计算：________． 【变式2】．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算：． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型十七】多项式除以单项式 【例17】．（25-26八年级上·河南安阳·期末）计算：________． 【变式1】．（25-26八年级上·福建漳州·期末）某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【变式3】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）计算：． 【题型十八】整式四则混合运算 【例18】．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【例19】．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【变式1】．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【变式2】．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段检测）（1）； （2）． 【变式3】．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3)． 1. 知识体系梳理 核心运算：三类整式乘法，从简单到复杂依次为：单项式乘单项式→单项式乘多项式→多项式乘多项式，全程依托乘法分配律和幂的运算法则。 2. 解题核心注意事项 （1）严控符号问题：重点关注负号、括号、系数符号，符号错误是最高频失分点； （2）做完必检查：检查是否漏乘、漏项，核对同类项是否完全合并，保证结果最简。 3. 数学思想方法 转化思想：复杂运算逐步简化，多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为基础的单项式乘单项式，最终依托幂的运算完成计算。 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）下列各式运算结果为的是（　　） A． B． C． D． 4．一房屋的结构示意图如图所示（单位：），这家主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要地砖（   ） A． B． C． D． 5．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 6．观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 二、填空题 7．计算：______． 8．（24-25八年级上·全国·单元测试）若单项式与的和是一个单项式，则这两个单项式的积是___________． 9．（2025·宁夏银川·三模）已知单项式满足，则____________． 10．若恒成立，则______． 11．长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为______________． 12．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）已知，则的值是______． 三、解答题 13．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）计算： (1)； (2)． 14．先化简再求值：，其中． 15．计算：． 16．已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求m、n的值； (2)求的值． 17．某中学做广播操时，各年级均排成一个长方形方阵，七年级每排人，共有排；八年级每排人，共有排；九年级每排人，共有排． (1)用含、的代数式表示该校学生总人数； (2)当，时，求该校学生总人数． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期末）为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉． (1)请用含有的代数式表示两个地块面积； (2)若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由． 19．如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 20．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $