第二章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元测试题，通过选择、填空、解答题（30+24+66分）全面覆盖单元核心知识，结合奥运赛制、抗战阅兵等时代情境，梯度设计基础与应用题型，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|第6题奥运单循环赛制情境，体现模型意识| |填空题|8/24|根与系数关系、参数取值|第16题新定义运算，培养抽象能力| |解答题|7/66|方程求解、几何应用、实际问题|第25题坦克模型销售问题，强化应用意识|

2026-2027学年九年级数学上册第二章一元二次方程单元测试题北师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0用配方法可变形为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 3．（3分）下列是方程x2﹣x＝﹣3（x﹣1）的解的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 4．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．（3分）如果方程x2+px+1＝0（p＞0）有实数根且它的两根之差是1，那么p的值为（　　） A．2 B．4 C． D． 6．（3分）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 7．（3分）下列方程为一元二次方程的是（　　） A．ax2﹣2x＝0 B．x2﹣2x﹣3 C．xy+1＝0 D．x2﹣4x﹣1＝0 8．（3分）方程（x﹣2）2＝4的解是（　　） A．±2 B．4或0 C．2 D．4 9．（3分）随着科技的快速发展，电子产品的成本逐渐降低，某品牌手机每部零售价5000元，经过连续两次降价后零售价为4050元，则平均每次降价的百分率是（　　） A．9% B．10% C．19% D．20% 10．（3分）设x1、x2是二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，那么﹣4+19的值等于（　　） A．﹣4 B．8 C．6 D．0 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）设x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则k的值是　 　 ． 12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　 ． 13．（3分）已知方程（m+1）x|m|+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 　 　 ． 14．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣m﹣2＝0有一个根为0，则m等于　 　 ． 15．（3分）按照如图所示的操作步骤，若输出的值为20，则输入的x的值为 　 　 ． 16．（3分）定义一种运算：a⊗b＝a2﹣ab，例如：1⊗2＝12﹣1×2＝﹣1．若m⊗3的值为5，则﹣2m2+6m的值为　 　 ． 17．（3分）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是方程6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n的值为　 　 ． 18．（3分）甲、乙二人分别由A、B两地同时出发，相向骑车匀速行进．当甲行到AB中点时，乙距离A地12千米；当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米．则A、B两地的距离是　 　 千米． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）解方程： （1）x（x+1）＝2x+2； （2）2x2+6x﹣1＝0． 20．（8分）已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c＝0的根． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣3x+1＝0的一个解是x＝a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值． 22．（10分）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36cm2，若图中阴影部分面积为10cm2，求正方形ABCD的面积． 23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 24．（10分）如图，有一块长为3a米，宽为2a米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． （1）请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； （2）若x＝4，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 25．（12分）2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？ 参考答案 一．选择题 1．解：把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0，解得m＝﹣3． 故选：B． 2．解：由题知， x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+4＝1+4， 所以（x﹣2）2＝5． 故选：C． 3．解：由题知， x2﹣x＝﹣3（x﹣1）， x2﹣x＝﹣3x+3， x2﹣x+3x﹣3＝0， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， 则x﹣1＝0或x+3＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣3， 显然只有A选项符合题意， 故选：A． 4．解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25， ∵25＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．解：由Δ＝p2﹣4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根， 那么有x1+x2＝﹣p，x1x2＝l， 又由（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， 得：1＝（﹣p）2﹣4， 解得：p2＝5， ∴p＝（p＞2）． 故选：D． 6．解：根据每组安排比赛的场数＝每组邀请球队数×（每组邀请球队数﹣1）÷2可得： ， 故选：D． 7．A．ax2﹣2x＝0，当a＝0时，ax2﹣2x＝0是一元一次方程； B．x2﹣2x﹣3，不属于方程； C．xy+1＝0，是二元二次方程； D．x2﹣4x﹣1＝0，是一元二次方程； 故选：D． 8．解：（x﹣2）2＝4， x﹣2＝±2， 所以x1＝0，x2＝4． 故选：B． 9．解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%． 故选：B． 10．解：由题意有+x1﹣3＝0， +x2﹣3＝0， 即＝3﹣x1，＝3﹣x2， 所以﹣4+19 ＝x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19 ＝3x1﹣+4x2+7 ＝3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7 ＝4（x1+x2）+4， 又根据根与系数的关系知道x1+x2＝﹣1， 所以原式＝4×（﹣1）+4＝0． 故选：D． 二．填空题 11．解：由题意得：Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）≥0，解得k≥① 又x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2 所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1 ＝k2+2+2（k+1）+1 ＝k2+2k+5 由已知得k2+2k+5＝8，解得k＝﹣3，k＝1② 由①②得k＝1． 故答案为1． 12．解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0， 解得k≤且k≠1． 故答案为k≤且k≠1． 13．解：∵方程（m+1）x|m|+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴|m|+1＝2且m+1≠0， 解得：m＝1． 故答案为：1． 14．解：若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣m﹣2＝0有一个根为0， 则m2﹣m﹣2＝0， 因式分解得：（m+1）（m﹣2）＝0， 解得：m1＝﹣1，m2＝2， ∵m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 15．解：根据图形得：（x+3）2﹣5＝20， （x+3）2＝25， x+3＝5，x+3＝﹣5， x＝2或﹣8， 故答案为：2或﹣8． 16．解：由题意得m2﹣3m＝5， ∴﹣2m2+6m＝﹣2（m2﹣3m）＝﹣2×5＝﹣10． 故答案为：﹣10． 17．解：由x2+3x﹣4＝0可得：x2+3x＝4， 由6x+2x2﹣3﹣n＝0可得：2（x2+3x）﹣3﹣n＝0， 把x2+3x＝4代入得：2×4﹣3﹣n＝0， 解得：n＝5． 故答案为：5． 18．解：设A、B两地的距离是x千米，甲的速度为V甲千米/时，乙的速度为V乙千米/时， 根据当甲行到AB中点时，乙距离A地12千米得， 根据当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米得， 所以， 整理得x2﹣26x+120＝0， 解得x1＝20，x2＝6， 当x＝6时，x﹣12＝﹣6＜0，不适合题意，舍去，只取x＝20， 即A、B两地的距离是20千米， 故答案为：20． 三．解答题 19．解：（1）x（x+1）＝2x+2， x（x+1）﹣2（x+1）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2． （2）2x2+6x﹣1＝0， a＝2，b＝6，c＝﹣1， x＝， ∴x1＝，x2＝． 20．解：∵ +|b+1|+（c+3）2＝0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3， 原方程为x2﹣x﹣3＝0， 这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3， ∴x＝． 21．解：∵x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的解， ∴a2﹣3a+1＝0， ∴a2﹣3a＝﹣1， ∴原式＝3a2+2﹣8a﹣a＝3（a2﹣3a）+2＝﹣1． 22．解：由题意可得：正方形CEFG边长为6cm， 设正方形ABCD边长为x，则DE＝6﹣x， ∴，， ∵阴影部分面积为10cm2， ∴， 整理得：， ∴36﹣x2＝20， 解得：x2＝16， ∴正方形ABCD面积为16cm2． 23．（1）解：∵x＝3为方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0的一个根， ∴32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 解得k＝2， 此时方程可化为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3． ∴方程的另一根为x＝1； （2）证明：由题意可知Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， ∵无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0， ∴Δ＝（k﹣2）2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 24．解：（1）由题意，∵原长方形的长为3a米，宽为2a米，向四周各扩建x米后， ∴新的长为（3a+2x）米，新的宽为（2a+2x）米． ∴S扩建＝（3a+2x）（2a+2x）＝6a2+6ax+4ax+4x2 ＝6a2+10ax+4x2． 答：扩建后的面积为（6a2+10ax+4x2）平方米； （2）由题意，当x＝4 时， ∵，扩建后面积比原面积大400平方米， ∴（3a+8）（2a+8）﹣6a2＝400． ∴a＝8.4． 25．解：（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得，50（1+x）2＝72， 整理得，50x2+100x﹣22＝0， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%； （2）设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元， 由题意列一元二次方程得，（50﹣30﹣m）（72+4m）＝1300， 整理得m2﹣2m﹣35＝0， 解得m＝7或m＝﹣5（舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 学科网（北京）股份有限公司 $