第3章 勾股定理 单元测试卷-2026-2027学年八年级上册苏科版数学

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元复习卷，全面覆盖勾股定理概念、判定及应用，通过文化传承（如《周髀算经》、赵爽弦图）与现实情境（秋千、机器人路径）融合，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|勾股数、直角三角形判定、阴影面积计算|结合《周髀算经》考勾股数，融入半圆面积转化| |填空题|8/24|距离公式、勾股数规律、网格角度计算|设计机器人路径、土地面积等实际问题，渗透推理意识| |解答题|8/72|最短路径、综合证明、定理推导|以赵爽弦图证勾股定理，设置蚂蚁爬行、手机支架等应用，体现模型观念与空间观念|

第3章 勾股定理 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6 2．（3分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c） C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5 3．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AC＝10，分别以三边为直径画半圆，则两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　） A．6π B．10π C．24 D．30 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE为AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD．已知AC＝7，BC＝3，则CD的值为（　　） A．3 B．4 C． D． 5．（3分）如图，一棵大树在离地面6m处折断，树的顶端落在离树干底部8m处，那么这棵树原来的长度是（　　） A．10m B．12m C．14m D．16m 6．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段CD的长为（　　） A． B． C．6 D． 8．（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（　　） A．45 B．36 C．25 D．18 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离为　 　 ． 2．（3分）如图，在△ABC中，BC＝15，AC＝20，AB＝25，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为　 　 ． 3．（3分）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41；… 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　 　 ． 4．（3分）如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为 　 　 m． 5．（3分）如图是一块地的平面示意图，∠ADC＝90°，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为　 　 m2． 6．（3分）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝　 　 度． 7．（3分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具—“碓（dui）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4dm，OB＝12dm，∠AOE＝120°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　 dm． 8．（3分）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中∠ABC＝90°，阴影部分的面积是49，AB＝5，则大正方形ACDE的边长是　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 1．（8分）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长． 2．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．求证：△ADC是直角三角形． 3．（8分）如图，，AM＝1，BM＝2，． （1）求证：△ABM是直角三角形； （2）求证：∠B+∠C＝45°． 4．（8分）如图是一台手机支架的示意图．AB，CD可分别绕点A，B转动，测得BD＝6cm，AB＝8cm，若AB⊥BD，DE⊥AP，垂足分别为点B，E，DE＝AE，求点D到AP的距离． 5．（8分）某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）． 6．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接CE，BD．CE与BD交于点F，且CE∥AB． （1）求证：∠CED＝∠ADB； （2）若AB＝8，CE＝6．求BC的长． 7．（10分）勾股定理神秘且美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理a2+b2＝c2，图中∠BAD＝90°，四边形ACFE是正方形． （1）请把四边形ACFD的面积表示出来； （2）请你用该图证明勾股定理，写出过程． 8．（12分）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB＝　 　 dm． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：A：0.6，0.8均非正整数，故不是勾股数，不符合题意； B：8，15，17均为正整数，且82+152＝64+225＝289，172＝289，则82+152＝172，是勾股数，符合题意； C：非整数，故不是勾股数，不符合题意； D：4，5，6均为正整数，但42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．【解答】解：A、∵∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形； B、∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形； D、由条件可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形； 故选：C． 3．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AC＝10， 由勾股定理得：AB8， ∴S阴影＝S半圆AB+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AC ＝24， ∴两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是24， 故选：C． 4．【解答】解：∵直线DE为AB的垂直平分线， ∴BD＝AD， ∵AC＝7， ∴BD＝AD＝7﹣CD，∵∠C＝90°， ∴BC2+CD2＝BD2． ∴32+CD2＝（7﹣CD）2.∴CD． 故选：C． 5．【解答】解：由勾股定理可知，这棵树折断部分的长度是10（m）， ∴这棵树原来的长度是10+6＝16（m）， 故选：D． 6．【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，S3﹣S1＝S2， 又∵S3+S2﹣S1＝20， ∴2S2＝20， ∴S2＝10， ∴图中阴影部分的面积5， 故选：A． 7．【解答】解：延长AD交BC的延长线于点E， ∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC12， 由题意得到：BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， ∴∠BAD＝∠BED， ∴BE＝BA＝13， ∴CE＝BE﹣BC＝13﹣5＝8， ∵AB＝EB，BD⊥AE， ∴AD＝DE， 由勾股定理得到：AE4， ∵∠ACE＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE， ∴CDAE＝2． 故选：B． 8．【解答】解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b， 由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： 225＝4ab+9， 所以2ab＝216， 根据勾股定理，得a2+b2＝152， 所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441， 因为a+b＞0， 所以a+b＝21， 所以21+15＝36． 所以一个直角三角形的周长是36． 故选：B． 二．填空题 1．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， 过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， 由勾股定理得， 则△ABC的面积为， 同时面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 2．【解答】解：在△ABC中， ∵BC＝15，AC＝20，AB＝25， ∴BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝625， ∴BC2+AC2＝AB2 ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴， ∵CD⊥AB， ∴△BCD是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴DE＝BE﹣BD＝12.5﹣9＝3.5． 故答案为：3.5． 3．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2， 故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一， 故设第二个数为x，则第三个数为x+1， 根据勾股定理得：112+x2＝（x+1）2， 解得x＝60， 则得第5组数是：11、60、61． 故答案为：11、60、61． 4．【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图， ， 根据题意可得，A处与B处水平距离为8﹣4+1＝5，竖直距离为3+9＝12， ∴AC＝5，BC＝12， ∴AB13， 故答案为13． 5．【解答】解：连接AC， ∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°， ∴AC5（cm）， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴AB2＝BC2+CD2，即△ABC为直角三角形， ∴这块地的面积为S△ABC﹣S△ACDAC•BCAD•CD5×123×4＝24（m2）． 故答案为：24． 6．【解答】解：如图， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠1＝∠4， ∵FD∥CG， ∴∠2＝∠FDC， 同理可得△DCG≌△CEB， ∴EC＝ED，∠2＝∠BEC， ∵∠BEC+∠ECB＝90°， ∴∠2+∠EBC＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴△ECD是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝45°， 即∠4+∠FDC＝∠1+∠2＝45°， 根据网格的特点可知∠3＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°， 故答案为：90． 7．【解答】解：如图2，过点B作BK⊥OF于点K，过点C作CG⊥BK于点G，则四边形CGKF是矩形， ∴CF＝GK， ∵∠AOE＝120°，OE⊥l． ∴∠BOK＝30°， ∴BK6dm， ∵∠CBG+∠OBK＝∠OBK+∠BOK＝90°， ∴∠CBG＝∠BOK＝30°， ∴CG2dm， ∴BGCG＝2dm， ∴CF＝GK＝BK﹣BG＝6﹣2（dm）， 故答案为：6﹣2． 8．【解答】解：∵阴影部分的面积是49， ∴中间小正方形的边长为， 由图可知，BC﹣AB＝7， ∴BC＝5+7＝12， ∴13， ∴大正方形ACDE的边长是13． 故答案为：13． 三．解答题 1．【解答】解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m）， 则AE＝AB﹣0.8， 在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2， ∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2 解得：x＝4， 答：秋千AB的长为4m． 2．【解答】证明：∵AB＝13cm，BD＝8cm， ∴AD＝AB﹣BD＝5cm． ∴AC＝13cm，CD＝12cm， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， 即△ADC是直角三角形． 3．【解答】证明：（1）∵，AM＝1，BM＝2， ∴AM2+BM2＝1+4＝5＝（）2＝AB2， ∴∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形； （2）设BM的中点为N，连接AN， ∴MN＝BNBM＝1， ∵∠AMB＝90°，△ABM是直角三角形，AM＝1， ∴△AMN为等腰直角三角形， ∴∠ANM＝45°， ∴∠ANM＝∠B+∠BAN＝45°， 在△ABN和△CAM中， ， ∴△ABN≌△CAM（SSS）， ∴∠C＝∠BAN， ∴∠B+∠C＝45°． 4．【解答】解：如图，连接AD， ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， ∴AD10（cm）， ∵DE⊥AP， ∴∠AED＝90°， ∴DE2+AE2＝AD2， ∵AE＝DE， ∴DEAD10＝5（cm）， 答：点D到AP的距离为5cm． 5．【解答】解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米， ∴（米）， ∴OE＝1.5米， ∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米）， 答：吊臂最高点A与地面的距离是10.5米； （2）AE＝9米，AC＝3米， ∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米）， ∵CD＝AB＝15米， ∴（米）， ∴（米）． 6．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°， ∴∠CED＝∠ADB． （2）解：连接AC交BD于点O， ∵AB＝AD，BC＝DC， ∴AC垂直平分BD． ∴∠BAO＝∠DAO＝30°． ∵△ABD是等边三角形，AB＝8， ∴AD＝BD＝AB＝8， ∴BO＝OD＝4， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAO． ∴AE＝CE＝6，DE＝AD﹣AE＝2． ∵∠CED＝∠ADB＝60°． ∴∠EFD＝60°． ∴△EDF是等边三角形． ∴EF＝DF＝DE＝2， ∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2． 在Rt△COF中， ∴， 在Rt△BOC中， ∴． 7．【解答】（1）解：四边形ACFD的面积； （2）证明：由题意知BF＝b﹣a， ∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE，S四边形ABED＝S△ADB+S△DEBa（b﹣a）， ∴a（b﹣a）， ∴a2+b2＝c2． 8．【解答】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252， 解得：x＝25． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：AC48＝24（cm），BC＝7cm， ∴AB25（cm）， ∴该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C， 连接AC，AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， EF＝AG＝3cm，CF＝FB＝（14﹣5）cm＝9cm，AE32cm＝16cm，CE＝EF+CF＝12cm， 根据勾股定理有： AC20（cm）， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为20cm． 学科网（北京）股份有限公司 $