1.4.2 充要条件 同步练-2026-2027学年第一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“例题精练”与“基础夯实”分层设计，构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、推理能力与模型观念，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|充要条件判断、集合与充要条件综合、证明问题|含5道例题，从基础命题判断（如例1）到集合参数求解（例2-4）再到充要条件证明（例5），梯度递进| |基础夯实|单一条件判断、多选型辨析、实际问题应用|设单选（6题）、多选（2题）、填空（2题）、解答（4题），覆盖概念理解（如第1-3题）到综合应用（如第12-14题），强化基础与适度提升|

1.4.2 充要条件 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 【例2】设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由交集和并集定义计算即可； （2）先由题意得集合是集合的真子集，进而列关于a的不等式组即可计算求解. 【详解】（1）若，则集合. 则，； （2）由题意可知集合是集合的真子集， 因此或，解得或， 所以实数的取值范围为． 【例3】已知集合， (1)命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题，可得，即可根据韦达定理求解， （2）将p是q的必要不充分条件转化为,即可根据，和分别求解. 【详解】（1）由可得， 由于，都有，为真命题，故， 因此,故且，故， （2）由于p是q的必要不充分条件，则,且 因为, 当时，则，则不存在， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上： 【例4】已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 【例5】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【基础夯实】 一、单选题 1．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 2．若x是实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解不等式 ，得 或 ， 由于 或 不能推出 ，例如 满足 ，但不满足 ， 因此“”是“”的不充分条件， 由 ，则一定满足 ，即 可以推出 ， 因此“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．已知p： ，q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性：由 ，得 ，所以p是q的不充分条件； 必要性：由，得 ， 或 ，所以p是q的不必要条件， 故p是q的既不充分也不必要条件. 4．已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 5．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件定义可确定集合的包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【详解】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 6．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 二、多选题 7．下列命题为假命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据集合的包含关系，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，例如：集合，满足，但，即充分性不成立； 反之：若，此时满足，但，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，所以A错误； 对于B，由，则成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，当时，若，则，所以充分性不成立； 反之：当时，可得，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以C错误； 对于D，由， 可得， 所以，即，所以充分性成立， 反之：若，则， 即，所以必要性成立， 所以“”是“”成立的充要条件，所以D正确. 故选：AC. 8．关于的方程有实数根的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据方程有根，应用判别式求参数范围，结合充分不必要条件的定义确定答案. 【详解】由有实数根，则，即， 所以是题设方程有实数根的充要条件， 所以、均为方程有实数根的充分不必要条件， 为方程有实数根的必要不充分条件. 故选：AB 三、填空题 9．函数的图象关于直线对称的充要条件是______． 【答案】 【分析】先求二次函数的对称轴，再根据充要条件求参数的值. 【详解】已知，其图象关于直线对称，（1）先验证充分性：当时，图象关于对称；（2）接下来说明必要性：已知图像关于对称，则令，可得； 所以函数的图象关于直线对称的充要条件是． 故答案为：. 【点睛】考查充要条件的性质以及二次函数的对称轴的求解. 10．写出关于，，的等式成立的一个充要条件：______． 【答案】 【分析】将化简即可得到答案. 【详解】将等式整理得， 即，即． 故原式的等价于：． 故答案为： 四、解答题 11．判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【答案】(1)是的充要条件 (2)是的充分不必要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的既不充分也不必要条件． 【分析】按充要条件的定义判断． 【详解】（1） 由三角形中大角对大边可知，若，则，即，反之，若，则即. 因此，是的充要条件． （2） 由可以推出即； 由，得或，不一定有即. 因此，是的充分不必要条件． （3） 由可以推出或，不一定有即； 由可以得出即. 因此是的必要不充分条件． （4） 由于，当时，；当时， ，故若，不一定有； 当，，时，可以推出； 当，，时，可以推出. 故时，不一定有. 因此是的既不充分也不必要条件． 12．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对集合是否为空集进行分类讨论，再根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围； （2）根据充分不必要条件可得是集合的真子集，得出相应不等式可求出结果. 【详解】（1）若，即，解得，此时满足题意； 若，即，解得； 又，所以或，即可得； 所以可得； 因此实数的取值范围为. （2）若是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集； 所以需满足，且两个不等式中的等号不同时成立， 解得， 因此实数的取值范围. 13．设集合或. (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合B，然后利用交集运算求解即可； （2）根据必要不充分条件得到集合关系，利用集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）， 又或，所以； （2）由题意得集合是集合的真子集，或， 显然， 所以或， 解得或，即， 所以实数的取值范围是. 14．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明: 若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）略. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 充要条件 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【例2】设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【例3】已知集合， (1)命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【例4】已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【例5】证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【基础夯实】 一、单选题 1．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若x是实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知p： ，q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知：，那么的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题为假命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 8．关于的方程有实数根的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数的图象关于直线对称的充要条件是______． 10．写出关于，，的等式成立的一个充要条件：______． 四、解答题 11．判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 12．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 13．设集合或. (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $