21.1 认识一元二次方程 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养，A层夯实基础、B层提升能力、C层拓展创新。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|一元二次方程定义、根的判断、一般形式|选择填空为主，夯实抽象能力与运算能力，如定义辨析题| |B能力提升|含参数方程、根的范围分析|增加推理题，培养推理意识，如参数根的取值问题| |C综合与实践|新定义问题探究|创设“倒方程”情境，发展创新意识与数学表达能力|

21.1 认识一元二次方程 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 4．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 5．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 6．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 【答案】C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 7．把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 8．小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 三、解答题 9．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 10．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】把代入方程中得，从而可得，再把所求式子去括号后合并同类项，最后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【B能力提升】 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 2．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 3．若a是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ， 当时，不成立， ， ，即， ∴． 4．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 5．关于的一元二次方程． (1)求证：； (2)若是的一个根，判断的符号． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义． （1）根据已知等式得出，代入进而根据，得出式子的符号，即可得证； （2）根据一元二次方程的解的定义可得，代入，结合条件化简并判断符号，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是的根， ， ， ， ， ， ， ， ． 【C综合与实践】 1．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1 认识一元二次方程 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 4．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 6．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 二、填空题 7．把方程化为一般形式是__________． 8．小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 三、解答题 9．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 10．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【B能力提升】 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 2．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 3．若a是方程的根，则代数式的值是______． 4．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 5．关于的一元二次方程． (1)求证：； (2)若是的一个根，判断的符号． 【C综合与实践】 1．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $