21.1 认识一元二次方程5大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C组及中考拓展分层设计，以概念理解→综合应用→创新探究→中考衔接为路径，强化一元二次方程核心知识，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|一元二次方程定义、参数求解、一般形式、解的判断与参数计算|基础题型直接对应核心概念，如选择辨析定义、填空求系数，强化符号意识| |B组能力进阶|方程类型综合判断、含参数根的应用、新定义“倒方程”|通过多方程辨析、分类讨论参数（如m取值范围），发展运算能力与推理意识| |C组思维拔高|代数与几何结合（三角形三边）、新定义“相似系”方程探究|创设跨情境问题（如证明三角形关系），培养创新意识与逻辑推理| |拓展链接中考|中考真题直接应用|选取近年中考题（如已知根求参数），强化模型意识与应用能力|

分层作业 21.1认识一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 由一元二次方程的定义求参数 题型03 一元二次方程的一般形式 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·上海·期末）若方程 是关于的一元二次方程，则“”可以是(   ) A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 题型02 由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7. （25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 8. （25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 题型03 一元二次方程的一般形式 9．（25-26九年级上·吉林辽源·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（       ） A． B． C． D． 10. （25-26九年级上·湖北恩施·阶段检测）关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（       ） A．1，，7 B．1，6， C．1，6，7 D．1，， 11．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一元二次方程的常数项是______． 12. （25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程化成一般形式为________． 题型04 判断是否是一元二次方程的解 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 15．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 16.（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 题型05 由一元二次方程的解求参数 17. （25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 18. （2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 19. （22-23八年级下·浙江金华·阶段检测）写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：_______________． 20. （25-26八年级下·山东威海·期末）已知是一元二次方程的一个根，则___________． B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 2. （25-26九年级上·广东河源·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3. （24-25六年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 4. （2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为______． 5. （25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 6. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 7. （26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 8．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 9. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． C组 思维拔高 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 拓展 链接中考 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 2．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 3.（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 4.（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 5．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 21.1认识一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 由一元二次方程的定义求参数 题型03 一元二次方程的一般形式 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键． 【详解】解：A．，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； C．，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 3.（25-26八年级上·上海·期末）若方程 是关于的一元二次方程，则“”可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 ∴对各选项分析如下： A选项：代入后方程为，含有两个未知数和，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为，整理得，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【难度】0.95 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 题型02 由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 6．（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 7. （25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 8. （25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型03 一元二次方程的一般形式 9．（25-26九年级上·吉林辽源·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】化成一元二次方程的一般式、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将一元二次方程变形为一般形式，一般形式的二次项系数为，常数项为，所以二次项系数与常数项之和为． 故选：B 10. （25-26九年级上·湖北恩施·阶段检测）关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（       ） A．1，，7 B．1，6， C．1，6，7 D．1，， 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的一般形式为的定义解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，，， 故选：D． 11．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一元二次方程的常数项是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】化成一元二次方程的一般式、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟知常数项为方程标准式 中的c．根据一元二次方程常数项的定义，需将方程化为一般形式后确定常数项． 【详解】解：将方程化为一般形式得，故常数项为． 故答案为：． 12. （25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或．， 题型04 判断是否是一元二次方程的解 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解． 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 根据题目条件，将和代入方程验证，并结合方程根的定义求解． 【详解】已知方程满足和． 当时，代入方程得，说明是方程的根． 当时，代入方程得， 说明是方程的根． 因此，方程的两个根为和． 故选：B． 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 15．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 16.（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 题型05 由一元二次方程的解求参数 17. （25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 18. （2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 19. （22-23八年级下·浙江金华·阶段检测）写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：_______________． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.9 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程可以是： ．（答案不唯一） 20. （25-26八年级下·山东威海·期末）已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到满足的等式，将所求代数式提取公因式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程得移项整理得 ∴． B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 2. （25-26九年级上·广东河源·期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和判别式． 根据一元二次方程的定义和判别式，一元二次方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零，进而计算即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即， ∵有两个实数根， ∴， 即， 化简得， ， ∴， ∴， 综上，且． 故选：D． 3. （24-25六年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． 把分别代入各个选项中的方程的左边和右边进行检验即可． 【详解】解：A. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     B. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     C. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     D. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边=右边，∴是该方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 4. （2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用． 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值． 【详解】解∶由题意，得 ，则 ． ． 故答案为： 5. （25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、判断是否是一元一次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 6. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 7. （26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【难度】0.65 【知识点】判断是否是一元一次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 9. （25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ .． C组 思维拔高 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、化成一元二次方程的一般式、利用算术平方根的非负性解题、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】通过换元将已知等式整理为关于的一元二次方程，利用因式分解得到根的关系，再将所求代数式变形后代入化简计算． 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 3．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的定义、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系． （1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可； （2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可； （3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立． 【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； （3）证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 拓展 链接中考 1．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 2．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 3. （2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 4.（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 5．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 21.1认识一元二次方程 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 由一元二次方程的定义求参数 题型03 一元二次方程的一般形式 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 1．C 2．B 3. C 4. 1 题型02 由一元二次方程的定义求参数 5．B 6．A． 7. 1 8. 题型03 一元二次方程的一般形式 9．B 10. D． 11． 12. 或．， 题型04 判断是否是一元二次方程的解 13．B． 14．B． 15．1 16. （答案不唯一） 题型05 由一元二次方程的解求参数 17. C 18. B 19. ．（答案不唯一） 20. ． B组 能力进阶 1. A 2. D． 3. D． 4. 5. ． 6. ． 7. 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 8．【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 9.解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ .． C组 思维拔高 1．B 2．A． 3．【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； （3）证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 拓展 链接中考 1．D 2．． 3. ． 4. 5． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $