26.1　二次函数的概念 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“二次函数的概念”核心知识点，通过复习函数定义及正比例、一次函数知识作铺垫，再结合矩形面积、球队比赛场次、产量增长等实际问题建立变量关系，归纳得出二次函数定义，构建从旧知到新知的学习支架。 这份资料以实际情境建模为特色，通过矩形面积计算等实例引导学生抽象二次函数关系，培养抽象能力与模型意识。例题涵盖正向判断、系数识别、逆向求参数等角度，助力深化概念理解，发展推理意识与运算能力，既帮助学生扎实掌握知识，也为教师提供高效教学方案。

26.1　二次函数的概念 教学目标 　　1．从现实情景中经历探索、分析、建立变量之间二次函数关系的过程，体会函数刻画变量关系的建模思想． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，能识别二次项、一次项、常数项． 3．能辨析一个解析式是否为二次函数，能从实际问题中列出二次函数关系式． 教学重点 　　二次函数的概念和一般形式． 教学难点 　　从实际情境抽象出二次函数模型；准确理解a≠0，b，c可以为 0． 教学过程 知识回顾 　　1．函数的定义是什么？ 　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 　　2．目前，我们已经学习了哪几种类型的函数？ 　　正比例函数：y＝kx(k是常数，k≠0)． 　　一次函数：y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)． 【设计意图】通过复习已经学过的有关函数的知识，为引出二次函数的概念作铺垫． 【过渡】我们已经掌握一次函数刻画均匀变化关系，现实中还有很多变量并非均匀变化，这类关系要用新函数模型——二次函数来研究． 新知探究 一、探究学习 【问题1】用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，设矩形一边长为 x（单位：m），矩形的面积 y（单位：m2）会随边长 x 的变化而变化．y 与 x 之间有什么关系？ 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并回答． 学生分析：矩形另一边长为(20－x)m， 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y＝x(20－x)． 教师整理总结： 将式子展开、整理，得到y＝－x2＋20x．① 对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数． 【问题2】n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛．比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 　　【师生活动】教师提示：每支球队要与其他(n－1)支球队各比赛1场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数怎样表示？ 　　学生在教师的提示下思考并回答：比赛的场次数，即．② 　　教师总结：②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数． 【问题3】某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 　　【师生活动】教师提问：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量怎么表示？ 　　学生思考并回答：一年后的产量是20(1＋x) t． 　　教师追问：再经过一年后的产量呢？ 　　学生思考并回答：再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x) t． 　　教师总结：两年后的产量y＝20(1＋x)2，即y＝20x2＋40x＋20．③ 　　③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数． 　　【思考】观察函数①y＝6x2，②，③y＝20x2＋40x＋20，它们有什么共同点？ 　　【师生活动】教师提问，学生组内交流并派代表回答． 　　【答案】函数都是用自变量的二次式表示的． 　　【新知】一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 【拓展思考】正方体的六个面是全等的正方形（如图），设正方体的棱长为x，表面积为y，写出 y 与 x 的关系式． 学生回答：y＝6x2． 教师点拨：这也是二次函数，可以看作 b＝0，c＝0 的特殊形式，帮助学生理解b，c 可以为 0． 【设计意图】在实际情景中，学生经历探索分析并建立两个变量之间的二次函数关系的过程；第一个实例就出现二次项系数为负数的模型，破除认知误区；通过多组实例归纳共性，抽象出二次函数定义．通过组内交流让学生充分发表意见，提出各自看法，提高学生学习的积极性． 【例题】（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式． （2）一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x．写出两年后产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式． 【师生活动】教师引导提问： （1）圆柱表面积由哪几部分组成？底面积公式、侧面积公式是什么？ （2）一年后的销量怎么表示？两年后的销量又是在一年后基础上再次下降，如何列式？ 学生独立思考、书写关系式，教师巡视，挑选学生板书； 师生共同检查，再规范整理成标准形式． 【答案】 解：（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 底面积：πr²，两个底面面积和：2πr²； 侧面积＝底面周长×高＝2πr·r． 所以S＝2πr²+ 2πr·r， 整理，得S＝4πr²． 教师追问：这个函数里，二次项系数是什么？有没有一次项、常数项？ 学生回答：二次项系数4π，一次项、常数项都为 0，再次印证b，c可以等于 0． （2）一年后产品的年销售量为8(1－x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以 y＝8(1－x)²， 展开整理，得y＝8x²－16x＋8． 教师追问辨析： ①这里自变量 x 表示下降率，结合实际，x 取值范围有什么限制？ ②如果不展开，y＝8(1－x)²能不能直接判断它是二次函数？ 【教师点拨】 （1）实际问题列出关系式后，通常展开整理成y＝ax2＋bx＋c的标准形式； （2）判断二次函数优先看整理后的整式形式； （3）实际情境下，自变量往往存在取值限制，后续解题需要留意． 二、典例精讲 　　【例1】下列函数中，哪些是关于x的二次函数？ 　　（1）y＝－5x2； （2）y＝x3＋2x2＋1； 　　（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)； （4）y＝ax2＋4x＋5； 　　（5）y＝x2－． 　　【师生活动】教师提示：可以根据二次函数的定义来判断． 　　学生思考并回答：（1）y＝－5x2是关于x的二次函数； 　　（2）y＝x3＋2x2＋1中x的最高次数是3，不是二次函数； 　　（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)＝－x＋3，不是二次函数； 　　（4）y＝ax2＋4x＋5中a可能为0，不一定是二次函数； 　　（5）y＝x2－中有分式，不是二次函数． 　　【答案】解：只有（1）是关于x的二次函数． 　　【归纳】判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件： 　　（1）等号右边是整式； 　　（2）自变量的最高次数必须是2； 　　（3）二次项系数不为0． 　　【例2】请指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 　　（1）y＝9x2； （2）y＝(2x＋1)2－6x； 　　（3）． 【师生活动】教师提示：判断各项系数前，一定要先把函数的解析式整理成标准形式 y＝ax2＋bx＋c；重点观察第（2）题，不能直接从原式读取系数；第（3）题需要先把式子调整成“二次项在前”的规范顺序，避免符号看错． 学生独立展开、化简，填写表格作答．． 　　【答案】解： 函数 二次项系数 一次项系数 常数项 y＝9x2 9 0 0 y＝(2x＋1)2－6x 4 －2 1 0 －1 讲完例题后追问： 观察y＝9x2，一次项系数、常数项都是 0，这还是二次函数吗？ 回扣定义：只要求a≠0，b，c可以等于 0． 【设计意图】通过例题1和例题2的练习与讲解，加深学生对二次函数概念的理解，巩固本节课所学知识． 【例3】若函数是二次函数，求 m 的值． 【师生活动】 教师引导思考：想要该函数为二次函数，需要同时满足哪两个条件？ 学生交流总结： ①自变量最高次数等于 2； ②二次项系数不等于 0． 【答案】 解：根据二次函数定义可得方程组 由 m2－2＝2，得 m2＝4，解得 m＝±2． 又 m－2≠0，即 m≠2． 综上，m＝－2． 【教师辨析点拨】 很多同学容易漏掉“二次项系数不为 0”这一限制，算出m＝±2后不进行取舍，从而出现错误． 【设计意图】逆向考查二次函数概念，正向、反向题型搭配完整，拔高辨析能力． 课堂小结 板书设计 　　二次函数的概念 　　一、定义：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 二、判断三要素 ①右边是整式 ②自变量最高次数为2 ③二次项系数a≠0 （b，c可以等于0） 三、实际建模：列式→展开整理为标准形式 课后任务 　　完成教材第32页习题26.1第1～3题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $