26.1　二次函数的概念 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数概念这一核心知识点，通过回顾一次函数、正比例函数的概念及学习方法，以类比旧知的方式导入新课，搭建新旧知识的学习支架，引导学生自然过渡到二次函数的探究。 这份资料的特色在于以实际问题为载体，如矩形面积、比赛场次等情境，让学生用数学眼光观察现实世界，通过分析归纳二次函数特征培养推理意识，例5的分层探究题则提升应用能力，既帮助学生深化概念理解，也为教师提供丰富教学实例，助力高效课堂。

26.1　二次函数的概念 课题 26.1　二次函数的概念 授课人 教 学 目 标 1.通过对多个实际问题的分析,让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义;通过观察和分析,让学生归纳二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数. 2.学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释,能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系. 3.通过具体实例,让学生经历概念的形成过程,使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律,体验数学来源于生活,又服务于生活的辩证观点. 4.通过观察、操作、交流、归纳等数学活动,加深对二次函数概念的理解,发展学生的数学思维,增强学生学好数学的愿望与信心. 教学 重点 　　对二次函数的理解. 教学 难点 　　由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.我们学习过哪些函数呢?试着举例说明一下. 2.下列函数是什么函数?有不认识的吗?能说说你所认识的函数的图象和性质吗? (1)y=2x+1;(2)y=-4x;(3)y=3x2+1. 3.学习函数应从哪几个方面进行探究呢? 师生活动:教师提出以上问题,引导学生回答,师生共同回顾、交流,教师适时做好总结. 问题解析:1.学习过的函数有一次函数,正比例函数是其特殊形式. 2.(2)是正比例函数;(1)(2)是一次函数. 3.学习函数一般是从函数的概念、函数的一般形式、函数的图象和性质、函数的实际应用等方面进行学习. 　　由回顾旧知识入手,通过回顾已经学习过的函数的相关知识对要学习的新知识有明确的方向,通过类比进行延伸,符合学生的认知规律. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 观察图片,这些图片中的曲线能否用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的? 图26-1-5 学生思考后回答,教师点拨:这是我们今天需要学习和研究的“二次函数”数学模型. 　　以学生熟悉、感兴趣的图片作为课题引入,激发学生学习新知识的兴趣,同时为引入新课奠定基础. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次函数的相关定义 问题1:用长为40 m的细绳围成一个矩形区域,矩形区域的面积y(单位:m2)会随矩形一边长x(单位:m)的变化而变化,y与x之间有什么关系? 解:矩形的一边长x和面积y都是变量,而且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的函数.根据矩形面积公式,它们之间的关系可以表示为y=x(20-x),即y=-x2+20x. 问题2:n支球队参加比赛,每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 解:每支球队都要与其他(n-1)支球队各比赛1场,由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n.① ①式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系,其中m和n都是变量,而且对于n的每一个确定的值,m都有唯一确定的值与其对应,即m是n的函数. 问题3:某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y(单位:t)将由x的值确定,y与x之间的关系应怎样表示? 解:这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.② ②式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系,其中x和y都是变量,而且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的函数. 教师提问: (1)以上问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?列出问题中的函数解析式; (2)观察上面的函数解析式,分析解析式有什么特点. 让学生独立思考完成解答,教师适当地引导与点拨,共同得到问题的结论. 教师板书:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 　　1.由现实中的实际问题入手,给学生创设熟悉的问题情境,通过问题的解决为得出二次函数的概念做铺垫,并让学生感受到身边的数学,激发学生学习数学的好奇心和求知欲.学生通过分析、交流探究二次函数的概念,加深对概念的理解,为解决问题打下基础. 活动 二: 探究 与 应用 归纳总结: (1)等式左边是函数y,右边是关于自变量的整式; (2)a,b,c都是常数,a≠0; (3)等式右边自变量的最高次数为2,一次项和常数项可以为0,但是必须保留二次项; (4)自变量x的取值范围是任意实数. 练习:下列函数中,哪些是二次函数?指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=7x-1;(2)y=-5x2;(3)y=3a3+2a2; (4)y=x-2+x;(5)y=3(x-2)(x-5);(6)y=x2+. 解:(2)(5)是二次函数. (2)y=-5x2的二次项系数为-5,一次项系数为0,常数项为0. (5)化为一般形式为y=3x2-21x+30, ∴y=3(x-2)(x-5)的二次项系数为3,一次项系数为-21,常数项为30. 【探究2】 根据实际问题列出二次函数解析式 问题情境 (1)一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件,由于其他新产品的出现,后两年的年销售量有所下降,年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位:万件)关于x的函数解析式. 教师出示问题,并引导同学分析: (1)圆柱的表面包括哪几部分? (两个底面+一个侧面,共三部分) (2)圆柱的底面、侧面都是什么图形?你能写出它们的面积公式吗?(圆柱的底面、侧面分别是圆、矩形,圆的面积公式为πr2,矩形的面积公式为长×宽) (3)问题(2)属于平均变化率问题中的哪种问题?你还记得它的公式模型吗?[问题(2)属于平均变化率问题中的下降率问题,它的公式模型为b=a(1-x2)] 师生活动:学生小组讨论、探究教师所提出的问题,教师巡视,适时提醒,最后共同得出结论. 解:(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和, ∴S=2πr2+2πr·r,即S=4πr2. (2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件,两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件,∴y=8(1-x)2,即y=8x2-16x+8. 　　2.通过实际问题的解决,让学生体会二次函数在实际问题中的应用. 【理解应用】 例1　下列函数中,属于二次函数的是 (C) A.y=2x-3 　　　　　　 B.y=(x+1)2-x2 C.y=2x2-7x D.y=-x 例2　关于函数y=(500-10x)(40+x),下列说法不正确的是 (C) A.y是x的二次函数 B.二次项系数是-10 C.一次项是100 D.常数项是20000 例3　若y=(m+1)是关于x的二次函数,则m的值为　7　.  　　加深学生对二次函数概念的理解,能起到及时巩固的作用. 活动 二: 探究 与 应用 例4　填空: (1)已知圆柱的高为14 cm,则圆柱的体积V(单位:cm3)与底面半径r(单位:cm)之间的函数解析式是　y=14πr2　;  (2)已知正方形的边长为10,若边长减少x,面积减少y,则y与x之间的函数解析式是　y=-x2+20x　.  师生活动:学生自主解答问题后,分组展开讨论.待学生充分交流后,教师组织学生展示自己的答案,共同得到正确的结论,并获得解题的经验. 【拓展提升】 例5　李师傅要在一张长、宽分别为50 cm和30 cm的矩形铁皮的四个角上,各剪去一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子.设小正方形的边长为x cm,长方体箱子的底面积为y cm2. (1)求y与x之间的函数解析式; (2)求自变量x的取值范围; (3)当x=5时,求长方体箱子的底面积. [答案:(1)y=4x2-160x+1500　(2)0<x<15　(3)800 cm2] 教师重点关注学生对已解问题与未解问题的对比分析能力,给予学生一定的时间去思考、讨论,争取让学生自己得到解答方法,并对学习有困难的学生进行适当引导、点拨. 　　例5中的三个问题层层递进,在复习旧知识的同时获得解决新问题的经验,进一步内化新知、突破难点. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　学生归纳本节课学习的主要内容,让学生自觉对所学知识进行梳理,形成体系,养成良好的学习习惯. 【当堂训练】 1.若y=(m-2)x2+4x-5是关于x的二次函数,则 (B) A.m≠-2 B.m≠2 C.m≠3 D.m≠-3 2.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价格为y万元,则y与x之间的函数解析式为 (A) A.y=60(1-x)2 B.y=60(1-x) C.y=60-x2 D.y=60(1+x)2 3.把y=(2-3x)(6+x)改写成一般形式后,二次项为　-3x2　,一次项系数为　-16　,常数项为　12　.  4.矩形的周长为16 cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. (1)求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围; (2)当x=3时,求矩形的面积. [答案:(1)y=-x2+8x(0<x<8)　(2)15 cm2] 5.已知关于x的函数y=(m+3). (1)当m取何值时,此函数是正比例函数? (2)当m取何值时,此函数是二次函数? [答案:(1)m=±2　(2)m=3] 　　从简单的应用开始,及时巩固新知,让学生获得对二次函数深层次的理解,从多个角度进行检测,达到学有所成的目的. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在复习回顾环节中,教师引导学生复习一次函数和一元二次方程的知识,为学习二次函数做好铺垫;在探究新知过程中,通过类比学习使知识简单化,思路清晰化,学习效果较好;在课堂训练环节中,选用例题典型且有思维深度,学生能够运用所学新知进行解答,能够圆满完成教学任务. ②[讲授效果反思] 对于二次函数的认识,强调几点:(1)一般形式中各项的名称;(2)二次项系数不能为0;(3)二次函数解析式的多种形式. ③[师生互动反思] 从课堂氛围和课堂效果分析,学生能够积极投入新知学习,能够集中精力完成学习任务. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $