26.2.3　二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质，通过桥梁钢缆最低点距离的实际问题导入，衔接已学顶点式知识，搭建从现实问题到数学转化的学习支架。 该资料以探究式教学为主线，亮点在于融合数学眼光、思维与语言。情景导入引导学生用数学眼光观察现实（从钢缆问题抽象出二次函数最值），例1通过配方法、公式法等培养运算能力与推理意识，例5结合图象分析系数关系发展模型观念。结构化的探究设计帮助学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径，有效突破配方法推导等难点。

26.2.3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 教学目标 1.掌握用配方法将函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式，并由此确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2.掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的过程，学会观察、归纳、概括函数图象的特征，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质. 3.会利用公式求抛物线的顶点坐标和对称轴. 重点难点 重点：函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质. 难点：用配方法推导二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点式以及函数图象与系数之间的关系. 教学过程 情景导入 桥梁的两根钢缆的示意图如图所示.若桥梁的两根钢缆具有相同的抛物线形状，右边函数的解析式为y＝0.03x2－0.9x＋10，你能求出钢缆最低点到桥面的距离吗？ 探究新知 探究点一　二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a（x－h）2＋k之间的关系 【例1】求抛物线y＝－x2＋x－4的对称轴和顶点坐标. 【解析】所给二次函数关系式是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）利用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标. 【解】解法1（配方法）： y＝－x2＋x－4＝－（x2－2x）－4＝－（x2－2x＋1－1）－4＝－（x－1）2＋－4＝－（x－1）2－，∴顶点坐标为，对称轴是直线x＝1. 解法2（公式法）： ∵a＝－，b＝1，c＝－4， ∴x＝－＝－＝1， y＝＝＝－， ∴顶点坐标为，对称轴是直线x＝1. 解法3（代入法）： ∵a＝－，b＝1，c＝－4， ∴x＝－＝－＝1. 将x＝1代入解析式中，得y＝－×12＋1－4＝－， ∴顶点坐标为，对称轴是直线x＝1. 【规律总结】1.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用； 2.求抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标通常用上述三种方法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用. 探究点二　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 类型一　已知a，b，c的值直接进行判断 【例2】已知y＝－x2－3x－，画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？ 【解析】先将抛物线的解析式化为顶点式可求得顶点坐标及对称轴，再分别求出抛物线与x轴、y轴的交点，利用描点法可画出函数图象，最后结合函数图象可得最值情况. 【解】∵a＝－＜0，b＝－3，∴x＝－＝－＝－3.把x＝－3代入解析式，得y＝－×（－3）2－3×（－3）－＝2，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标为A（－3，2）.易知抛物线与x轴的交点分别为B（－5，0）和C（－1，0），与y轴的交点为D，取点D关于对称轴的对称点E，用光滑曲线顺次连接，便得到二次函数y＝－x2－3x－的图象，如图.从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜－3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞－3时，y随x的增大而减小.∵抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，∴函数y有最大值.当x＝－3时，ymax＝2. 【方法技巧】1.画二次函数的图象通常利用“五点定形法”，首先确定抛物线的对称轴和顶点坐标，再求出抛物线与x轴的两个交点、与y轴的一个交点和它关于对称轴的对称点，最后用光滑曲线连接起来； 2.图象从左到右向上延伸，说明y随x的增大而增大，反之，y随x的增大而减小.可简记为“抛物线开口向上，函数左减右增；抛物线开口向下，函数左增右减”. 类型二　先求a，b，c的值再进行判断 【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，－6），（1，－2）和（2，3）.求这个抛物线的解析式，并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【解析】已知这个抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把已知三点的坐标代入，得关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，再运用配方法或顶点坐标公式求其对称轴和顶点坐标. 【解】将（－1，－6），（1，－2）和（2，3）分别代入y＝ax2＋bx＋c， 得解得 ∴这个抛物线的解析式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝（x＋1）2－6， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6）. 【方法总结】求抛物线解析式的一般步骤： （1）设：根据条件设函数解析式. （2）列：把已知点的坐标代入解析式，得到方程或方程组. （3）解：解方程或方程组，求出未知系数. （4）答：写出函数解析式，注意最后结果一般要化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 探究点三　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的平移 【例4】抛物线y＝3x2－12x＋11可以由抛物线y＝3x2（　　） A.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 B.先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 C.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 D.先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【解析】y＝3x2－12x＋11＝3（x2－4x＋4－4）＋11＝3（x－2）2－1，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，－1），∴抛物线y＝3x2－12x＋11可以由抛物线y＝3x2先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到. 【答案】B 【方法技巧】此类题一般要把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成顶点式，再根据抛物线的平移规律解题. 探究点四　a，b，c与二次函数y＝ax2＋bx＋c的关系 【例5】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b－2a＝0；③a＋b＋c＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的有（　　） A.4个 B.3个　 C.2个　 D.1个 【解析】如图，二次函数图象开口向下，所以a＜0.对称轴为直线x＝－＝－1，即b＝2a，所以b＜0.由图象可知，二次函数的图象与y轴的交点在x轴上方，所以c＞0，显然abc＞0，①正确；因为b＝2a，所以b－2a＝0，②正确；由图象可知，当x＝1时，y在x轴下方，即y＜0，所以a＋b＋c＜0，③错误；由图象可知，当x＝－1时，y在x轴上方，即y＞0，所以a－b＋c＞0，④正确.综上所述，①②④正确. 【答案】B 【方法总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与系数间的关系： （1）抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为（0，c），根据交点可确定c的符号.若交点在x轴上方，则c＞0；若交点在x轴下方，则c＜0；若交点为原点，则c＝0. （2）由抛物线的开口方向决定a的符号.若开口向上，则a＞0；若开口向下，则a＜0. （3）由对称轴的位置与a的符号来判定b的符号.若对称轴在y轴左侧，则a，b同号；若对称轴在y轴的右侧，则a，b异号，简称“同左（桌）右（友）异（谊）”；若对称轴是y轴本身，则b＝0. 课堂训练 1.若A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－（x＋1）2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y2 2.二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.下列结论中，不正确的是（　　） A.a＝4 B.当b＝－4时，顶点坐标为（2，－8） C.当x＝－1时，b＞－5 D.当x＞3时，y随x的增大而增大 3.将y＝x2－2x－3用配方法化为y＝a（x－h）2＋k的形式，并指出图象的对称轴、顶点坐标. 板书设计 26.2.3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1.把一般式化为顶点式. 2.图象与性质. 对称轴是直线x＝－， 顶点坐标是. 如果a＞0， 当x＜－时，y随x的增大而减小； 当x＞－时，y随x的增大而增大. 如果a＜0， 当x＜－时，y随x的增大而增大； 当x＞－时，y随x的增大而减小. 3.图象的平移. 课堂小结 本节课我们学习了利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，并学会了用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，知道了二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值. 教学反思 　　通过本节课的学习，引导学生利用配方法研究具体的一个二次函数的图象的对称轴和顶点坐标，从而得其性质.引导学生知道要研究的函数及其图象之间的关系，体会转化思想，即把二次函数的一般式转化为顶点式，通过顶点式研究一般式的二次函数的图象和性质.同时，应注意以下几点：（1）一般式化为顶点式的步骤及方法；（2）熟记一般式的对称轴和顶点坐标公式. 答案 课堂训练 1.A 2.C　【解析】∵二次函数y＝x2－ax＋b的对称轴为直线x＝＝2，∴a＝4，故A选项结论正确，但不符合题意.当b＝－4时，y＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，∴顶点坐标为（2，－8），故B选项结论正确，但不符合题意.当x＝－1时，由图象知，此时y＜0，即1＋4＋b＜0，∴b＜－5，故C选项结论不正确，但符合题意.∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项结论正确，但不符合题意. 3.解：y＝x2－2x－3＝x2－2x＋1－1－3＝（x－1）2－4， ∴图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－4）. 学科网（北京）股份有限公司 $