26.3　二次函数与一元二次方程教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，通过复习一次函数与一元一次方程的数与形关系搭建支架，类比引出二次函数图象与x轴交点和方程根的对应关系探究。 特色在于深度渗透数形结合思想，通过三组函数实例建立“形与数”双向转化，结合小球飞行情境体现模型意识，取平均数缩小区间求近似根渗透逼近思想，助力学生发展几何直观与推理意识，为教师提供清晰的探究式教学路径。

26.3　二次函数与一元二次方程 教学目标 　　1．通过图象探究与实际情境相结合，理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系，发展学生分析问题、归纳概括与推理的能力． 　　2．知道二次函数图象与x轴有三种位置关系，对应一元二次方程根的三种情况；能借助二次函数的图象求解一元二次方程根的相关问题． 　　3．会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根，会用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，并按精度要求求出根的近似值，体会逼近思想． 　　4．通过对二次函数与一元二次方程之间关系的探究，以及利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的过程，使学生体会数形结合思想，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点 　　1．掌握二次函数图象与x轴的公共点与一元二次方程实数根之间的对应关系． 　　2．会利用二次函数图象求一元二次方程的近似根． 教学难点 　　1．建立数形结合意识，理解抛物线与x轴交点（形）和一元二次方程根（数）之间双向转化的内在联系． 　　2．借助不断缩小区间估计一元二次方程近似根，体会逼近思想． 教学过程 知识回顾 　　1．关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝1，则当x＝ 1 时，一次函数y＝kx＋b的函数值为0． 　　2．一次函数y＝kx＋b的图象如图，则关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为 x＝2 ． 　　3．一次函数与一元一次方程之间的关系． 　　从数的角度：在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当y＝0时，对应的自变量x的值就是一元一次方程kx＋b＝0的解． 　　从形的角度：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的解． 【设计意图】复习对应的自变量已经学过的一次函数与一元一次方程之间的联系，今天类比这条思路，探究二次函数与一元二次方程存在怎样的数形关系． 【过渡】我们研究过一次函数与一元一次方程的联系，今天类比这条思路，探究二次函数与一元二次方程存在怎样的数形关系． 新知探究 一、探究学习 　　【思考】下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 　　（1）y＝x²＋x－2；（2）y＝x²－8x＋16；（3）y＝x²－x＋1． 　　【师生活动】教师出示思考问题，学生先独立尝试解方程，预判抛物线与x轴交点情况；随后教师出示函数图象，学生结合图象验证猜想，小组交流发现规律． 　　【答案】在同一直角坐标系中，画出这些函数的图象（如图）． 　　抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数值是0．由此可知，方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根－2，1． 　　抛物线y＝x2－8x＋16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4．当x＝4时，函数值是0．由此可知，方程x2－8x＋16＝0有两个相等的实数根4． 抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根． 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系． 综上，抛物线与x轴的交点情况⟺一元二次方程实数根的情况，二者可以互相推导． 　　【问题】观看动图，思考二次函数图象与x轴的公共点与一元二次方程根之间的关系． 　　【师生活动】师生共同观看动图，学生回答，教师给予提示和补充． 　　【归纳】一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得如下结论： 　　（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． 　　（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．它们分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 　　【设计意图】类比一次函数与一元一次方程的关系，借助三组二次函数探究图象与x轴交点和一元二次方程根的内在联系，引导学生感受数形结合思想，建立“形与数”双向转化的认知；为后续实际问题应用做好理论铺垫． 【过渡】根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题．下面来看一个实际问题． 【例1】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多长时间？ 【师生活动】教师提示：因为小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际意义的正数解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值． 学生根据提示，分小组讨论，并派代表发言，教师板书． 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20 m”即“二次函数h＝20t－5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20＝20t－5t2的根的问题． 解：当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 20＝20t－5t2， 即t2－4t＋4＝0， 解方程，得t1＝t2＝2． 这说明，当自变量t＝2时，二次函数h＝20t－5t2的函数值为20，即当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m． 教师追问：结合图象分析，为什么只有一个时刻高度等于20 m？ 学生观察图象，思考并回答，教师总结． 教师提问：结合本题探究，说一说二次函数与一元二次方程存在怎样的联系？ 教师提示：可以类比之前学过的一次函数与一元一次方程间的关系进行分析． 学生根据提示，分小组讨论，并派代表发言，教师作最后总结． 备注：方程有两个相等实数根，说明直线h＝20与抛物线仅有一个公共点，也就是直线与抛物线相切． 【归纳】从上面可以看出，已知二次函数的函数值为某一常数，可以转化为解对应的一元二次方程；反之，解一元二次方程，也可以看作已知二次函数取特定函数值，求自变量的取值． 【过渡】刚才我们探究了小球高度能否达到 20 m，下面请同学们独立完成剩下三个问题，进一步感受二次函数与一元二次方程之间的联系． 【练习】关于例1，回答下列问题： （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多长时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？如果能，需要多长时间？ （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ 【师生活动】 教师出示练习题，学生独立列式求解；完成后同桌互相交流思路．教师巡视，收集典型作答情况． 学生完成后，请学生上台展示解题过程． 【答案】 解：（1）当h＝15时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 15＝20t－5t2， 即t2－4t＋3＝0， 解方程，得t1＝1，t2＝3． 所以当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m． 教师追问：你能结合上图指出为什么在两个时刻小球的高度为15 m吗？ 学生观察图象，思考并回答，教师总结． （2）当h＝20.5时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 20.5＝20t－5t2， 即t2－4t＋4.1＝0． 因为(－4)2－4×4.1＜0，所以方程无实数根． 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m． （3）小球飞出时和落地时的高度都为0 m， 当h＝0时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 0＝20t－5t2， 即t2－4t＝0， 解方程，得t1＝0，t2＝4． 所以当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，这表明小球从飞出到落地要用4 s．从图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面． 讲评时着重强调：结合判别式判断方程根的情况，同时结合实际情境检验方程的根，选取符合现实意义的解． 总结：我们在利用二次函数解决实际问题、转化为一元二次方程求解之后，一定要两步检验：第一，利用判别式预判能否达到对应高度；第二，结合实际情境，筛选有现实意义的解。 【设计意图】沿用同一小球飞行情境进行当堂巩固，加深学生对“给定函数值，转化为一元二次方程求解”这一核心关系的理解；通过三种不同根的情形（两个不等实根、无实根、一根为 0），再次呼应抛物线与直线交点的三种情况，强化数形结合；同时结合实际问题体会自变量取值范围对解的约束． 【过渡】刚才我们求解的方程都能够求出精确实数根，有些方程不易求出精确根，我们可以借助二次函数图象求出一元二次方程根的近似根，下面继续探究． 二、典例精讲 【例题】利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的根的近似值（结果保留小数点后一位）． 【师生活动】教师提出问题，学生思考并尝试独立作答． 教师先引导学生思考第一种方法：画图观察交点． 解：方法1：画出函数y＝x2－2x－2的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7． 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7． 教师提示：我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根． 教师一边讲解，一边引导学生结合图象思考． 教师小结：依靠手绘图象观察会存在误差，因此图象法得到的根一般是近似根． 教师追问：如果我们想要得到精度更高的近似根，有没有更好的办法？ 教师提示：我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根． 方法2：观察图象，可以发现：点（2，－2）在x轴的下方，即当自变量x＝2时，y＜0；点（3，1）在x轴的上方，即当自变量x＝3时，y＞0． 因为抛物线y＝x2－2x－2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2－2x－2在2＜x＜3这一段经过x轴．也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2－2x－2＝0在2，3之间有根． 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如， 　　取2，3的平均数2.5，当自变量x＝2.5时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在2.5，3之间有根． 　　取2.5，3的平均数2.75，当自变量x＝2.75时，y＞0，即方程x2－2x－2＝0在2.5，2.75之间有根． 　　取2.5，2.75的平均数2.625，当自变量x＝2.625时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在2.625，2.75之间有根． 　　重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.687 5，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值． 　　例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.687 5－2.75|＝0.062 5＜0.1，我们可以将2.687 5作为根的近似值． 　　教师追问：你能用这种方法得出方程x2－2x－2＝0的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？ 　　学生根据提示，独立思考并作答． 　　当自变量x＝－1时，y＞0，当自变量x＝0时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－1，0之间有根． 　　取－1，0的平均数－0.5，当自变量x＝－0.5时，y＜0，即方程x2－2x－2＝0在－0.5，－1之间有根． 　　重复上述取平均数的步骤不断缩小根所在的范围．因为|－0.75－(－0.687 5)|＝0.062 5＜0.1，所以可取－0.687 5作为另一个根满足精度要求的近似值． 　　【归纳】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤： 　　（1）构造二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，画出函数图象； 　　（2）观察抛物线与x轴的交点，确定交点的横坐标落在哪两个整数之间； 　　（3）在区间内选取自变量计算函数值，根据函数值正负交替缩小区间范围； 　　（4）持续缩小区间，按精度要求写出方程根的近似根． 【注意】不强制要求学生熟练掌握手动二分迭代计算，重在体会“不断缩小区间、无限逼近真实根”的思想，不把计算复杂度作为考查重点． 【设计意图】通过例题的讲解与练习，使学生经历利用二次函数图象求一元二次方程近似根的完整过程，体会数形结合与逼近思想，掌握估算方程根的两种途径，加深知识理解与灵活应用． 【过渡】我们已经掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似根的方法，请同学们独立完成下面两道练习． 【练习】利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2－3x＋1＝0； （2）－x2－x＋1＝0． 【师生活动】 学生独立思考、尝试画图估算；同桌互相交流答案． 教师巡视，选取学生成果展示． 讲评时着重强调：合理构造二次函数，观察图象与x轴交点，结合精度要求写出近似根． 【参考答案】 （1）构造函数y＝x2－3x＋1，方程x2－3x＋1＝0的近似根：x1≈0.4，x2≈2.6； （2）构造函数y＝－x2－x＋1，方程－x2－x＋1＝0的近似根：x1≈－1.6，x2≈0.6． 备注：课堂只要求学生通过画图得到保留一位小数的近似根，不强制二分精细计算． 【过渡】本节课新知与练习探究完毕，请同学们一起梳理本节课收获． 课堂小结 板书设计 二次函数与一元二次方程 一、二次函数⇔一元二次方程（转化） 已知y＝k⇔ax2＋bx＋c＝k 二、抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0的根 Δ＞0 两个公共点⇔两个不相等实数根 Δ＝0一个公共点⇔两个相等实数根 Δ＜0 无公共点⇔无实数根 三、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 方法 1：看图估算 方法 2：区间缩小、逼近思想 课后任务 　　完成教材第49页习题26.3第1～2题． 教学反思 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