26.4　实际问题与二次函数 第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“建立适当坐标系解决抛物线实际问题”，通过喷泉情景导入，关联二次函数顶点、与y轴交点等旧知，搭建从具体现象到抽象建模的学习支架。 特色在于分情境探究坐标系建立（拱桥以对称轴为y轴，喷水以y轴上点为出发点），结合古桥、投篮等实例，培养数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理不同解法），通过解析式解决问题提升数学语言表达，助力学生掌握建模步骤，为教师提供可操作的教学流程和实例参考。

26.4　实际问题与二次函数 第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 教学目标 1.能通过建立适当的平面直角坐标系解决抛物线类型的实际问题. 2.学会从多个角度思考问题，逐步提升解决问题的能力. 3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想. 重点难点 重点：探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法. 难点：掌握从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型的方法. 教学过程 情景导入 步行街广场中心处有各种喷泉（如图），喷泉的形状和抛物线像吗？从问题中你知道该抛物线的顶点是什么吗？与y轴的交点是什么？你能求出函数解析式吗？ 探究新知 探究点一　以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系 【例1】如图所示的是一座古桥，已知主拱为抛物线形，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m.以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系.桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处18m的船，试判断此船能否在正常水位时开到桥下，并说明理由. 【解析】由题意建立平面直角坐标系，再将已知条件转化为点的坐标代入所设的解析式中求解即可. 【解】此船在正常水位时不能开到桥下. 理由：如图，设抛物线为y＝ax2＋c. 由题意，得A（－12，0），B（12，0），C（0，8）. 将C点坐标代入，得c＝8. 将A点坐标代入，得144a＋8＝0， 解得a＝－. 故此桥主拱所在抛物线的解析式为y＝－x2＋8. 解法一：当x＝±9时，得y＝－x2＋8＝3.5＜4， ∴此船在正常水位时不能开到桥下. 解法二：当y＝4时，得－＋8＝4，解得x＝±6. 高出水面4m处，拱宽12m＜18m（船宽）， ∴此船在正常水位时不能开到桥下. 【方法总结】在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱宽，这时可根据抛物线的对称性建立以y轴为对称轴的平面直角坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y＝ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y＝ax2＋k. 探究点二　以y轴上的某点为出发点建立平面直角坐标系 【例2】某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线形，抛物线所在平面与墙面垂直（如图）.如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，求水流落地点B与墙面的距离. 【解析】分别以图形中墙面和地面所在的位置建立平面直角坐标系，由题意可得点A的坐标为（0，10），点M的坐标为，然后设二次函数的顶点式即可解答问题. 【解】分别以地面，墙面所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图所示，可知顶点M的坐标为，故设抛物线顶点式为y＝a（x－1）2＋. 把点A（0，10）代入抛物线解析式，得10＝a＋，解得a＝－.故抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋. 令y＝0，则－（x－1）2＋＝0， 解得x1＝－1（舍去），x2＝3， 即可得OB＝3m. 答：水流落地点B与墙面的距离为3m. 【方法技巧】在“喷水”或其他抛物线问题中，可根据自变量的实际意义，将喷嘴或出手点建立在y轴上，以便在平面直角坐标系中快捷地找出一些重要点的坐标，为求得抛物线的解析式提供充分条件.在这些问题中，如果已知抛物线的顶点坐标，常将抛物线的解析式设为y＝a（x－h）2＋k；如果已知抛物线与x轴的两个交点，常设抛物线的解析式为y＝a（x－x1）（x－x2）. 课堂训练 1.一位运动员在距篮板4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，到达最大高度3.5m，然后准确落入篮圈.如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高为1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，则他跳离地面的高度是（　　） A.0.1m B.0.2m C.0.3m D.0.4m第1题图　　第2题图 2.如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6m.支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8m，距地面的高度为2.4m.灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4m，则灯罩顶端D距地面的高度为　　　　m. 3.某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部AB宽4m，顶部C离地面的高度为4.4m.现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门？若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 板书设计 第3课时　建立适当坐标系解决实际问题 1.抛物线类型实际问题. （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）找出已知点； （3）求出解析式； （4）利用图象解决问题. 2.抛物线解析式的求法. 课堂小结 今天我们学习了解决与抛物线有关的实际问题的一般步骤： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）将已知条件转化为点的坐标； （3）合理地设出所求函数的解析式； （4）代入已知条件或点的坐标，求出函数解析式；　 （5）利用解析式解决实际问题. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生知道通过建立不同的平面直角坐标系可以得到不同的函数解析式，但结果是相同的，选择合适的平面直角坐标系可以使得解答简便，明确易懂.通过例题讲解和课堂中的练习，学生要熟练掌握抛物线类型的实际问题的解题步骤，知道问题的解答方法. 答案 课堂训练 1.A　【解析】∵当球运行的水平距离为2.5m时，到达最大高度3.5m，建立如图所示的平面直角坐标系， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋3.5. 由图知，图象过点（1.5，3.05）， ∴1.52a＋3.5＝3.05， 解得a＝－0.2， ∴抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5. 设球出手时，他跳离地面的高度为hm. ∵y＝－0.2x2＋3.5， ∴球出手时，球的高度为h＋1.9＋0.25＝（h＋2.15）m， ∴h＋2.15＝－0.2×（－2.5）2＋3.5， ∴h＝0.1. 2.1.95　【解析】如图，以点B为原点，建立平面直角坐标系.由题意，得A（0，1.6），C（0.8，2.4）， 则设抛物线的顶点式为y＝a（x－0.8）2＋2.4. 将A（0，1.6）代入，得1.6＝a（0－0.8）2＋2.4，解得a＝－1.25， ∴该抛物线的解析式为y＝－1.25（x－0.8）2＋2.4. ∵点D的横坐标为1.4，代入函数解析式，得y＝－1.25×（1.4－0.8）2＋2.4＝1.95，∴灯罩顶端D距地面的高度为1.95m. 3.解：这辆汽车能顺利通过大门. 方法一：以AB的中点为原点建立平面直角坐标系如图①，那么点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（2，0），设这个函数为y＝kx2＋4.4. 把点A的坐标（－2，0）代入y＝kx2＋4.4，得4k＋4.4＝0，解得k＝－1.1，∴y＝－1.1x2＋4.4. 把x＝1.2代入y＝－1.1x2＋4.4，得y＝－1.1×1.22＋4.4＝2.816. ∵2.816m＞2.7m，∴该汽车能顺利通过大门. 方法二：以点C为原点建立平面直角坐标系如图②，根据题意知，A（－2，－4.4），B（2，－4.4），设这个函数为y＝kx2. 将点A的坐标代入y＝kx2，得－4.4＝k×（－2）2，解得k＝－1.1，∴y＝－1.1x2. 设E，F两点的横坐标分别是－1.2和1.2. 将x＝1.2代入函数解析式，得y＝－1.584， ∴GH＝CH－CG＝4.4－1.584＝2.816m＞2.7m，∴该汽车能顺利通过大门. 学科网（北京）股份有限公司 $