26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过展示二次函数y=x²-2x-3的图象，以“y=0时x的值”“方程的根”等问题引导学生复习旧知，搭建从函数图象到方程根的学习支架。 此资料以数形结合为核心，通过三个具体二次函数实例（如y=x²+x-2等）让学生观察图象与x轴交点，归纳判别式与根的关系，培养几何直观（数学眼光），例题中小球飞行高度问题转化为方程求解，体现模型意识（数学语言），助力学生建立知识联系，提升推理能力，也为教师提供清晰教学路径。

26.3　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程 教学设计 课题 26.3 第1课时　二次函数与一元二次方程 授课人 教学目标 （2022新课标）知道二次函数和一元二次方程之间的关系.准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根. 教学重点 掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 教学难点 理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 如图，出示二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答： （1）当x为何值时，y＝0？ （2）你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？ （3）二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间有什么关系？ 学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课. 通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x 轴交点情况 1.思考：已知二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1. （1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 师生活动：教师展示二次函数的图象，如图22－2－8，学生观察图象，展开讨论，并回答问题. （1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1. （2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3. （3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根. 教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根. 2.通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论，进行总结： 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论. （1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根. 3.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的. 问题：（1）观察二次函数y＝x2－6x＋9的图象和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0的根的情况. （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 师生共同讨论总结： 当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； 当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点； 当Δ＝b2－4ac<0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点. 教师总结：把函数值代入函数解析式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值. 通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数和一元二次方程的关系，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力. 典例精析 【例1】若二次函数y=x2-6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2-6x+c=1的解为（　　） A．x=1 B．x=6 C．x=1或x=-7 D．x=1或x=5 【解析】∵二次函数y=x2-6x+c, ∴抛物线的对称轴是直线x=3， ∵图象经过点A（1，1）， ∴点（5，1）也是图象上的点， ∴方程x2-6x+c=1的解为x=1或x=5， 故选：D． 【方法总结】 求解一元二次方程的常见方法 (1)根据题目，灵活选择以下方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法进行求解. (2)利用二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的根进行求解. (3)把一元二次方程的根看成对应的两个函数图象的交点的横坐标，利用两个函数图象的交点求解. 【例2】二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【解】∵二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴的交点即为方程x2-2x+3=0的根， ∵Δ=（-2）2-4×1×3=4-12=-8＜0， ∴x2-2x+3=0无实数根， ∴二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点， 故选：A． 【方法总结】 判断抛物线与坐标轴交点个数的方法 (1)抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点个数的判断方法： ①若△=b²—4ac>0,则抛物线与x轴有2个交点； ②若△=b²—4ac=0,则抛物线与x轴有1个交点； ③若△=b²—4ac<0,则抛物线与x轴没有交点. (2)抛物线y=ax²+bx+c与y轴总有一个交点(0,c). 【例3】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为h＝20t－5t2.小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？ 【解】当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程 20＝20t－5t2，即t2－4t＋4＝0，解方程，得t1＝t2＝2． 这说明，当自变量t=2时，二次函数h＝20t－5t2的函数值为20，即当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m． 【方法总结】 用二次函数解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题并建立数学模型，然后解方程即可. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法. 随堂检测 1.若二次函数y=a（x-1）2+k的图象与x轴交于点（-2，0），则图象与x轴的另一个交点为（　　） A．（0，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0） 解析：抛物线y=a（x-1）2+k的对称轴为直线x=1， 而点（-2，0）关于直线x=1的对称点为（4，0）， 所以抛物线与x轴另一个交点的坐标为（4，0）． 故选：D． 2.若二次函数y=9x2-bx+1的图象与x轴只有一个交点，那么b的值为 ． 解：对于二次函数y=9x2-bx+1，其中a=9，一次项系数为-b,c=1， 判别式Δ=（-b）2-4×9×1=b2-36， ∵二次函数y=9x2-bx+1的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ=0，得b2-36=0，解得b=6或b=-6， 故答案为：±6． 3.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m,0）．若2＜m＜4，则b的取值范围是 ． 解：由题意，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m,0）， ∴y=（x-1）（x-m）=x2-（m+1）x+m, ∴b=-（m+1）． ∵2＜m＜4， ∴2＜-b-1＜4， ∴3＜-b＜5， ∴-5＜b＜-3． 故答案为：-5＜b＜-3． 4.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面m，与篮框中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3 m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，如果对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？ 解：（1）由题意可知，A(0，)，B(4，4)，C(7，3)， 其中B是抛物线的顶点． 设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋4， 将点A的坐标代入，可得a＝－， 故y＝－(x－4)2＋4． 当x＝7时，y＝－(7－4)2＋4＝3， ∴点C(7，3)在该抛物线上． ∴此球一定能投中． （2）将x＝1代入函数解析式，得y＝3． ∵3.1＞3， ∴盖帽拦截能获得成功． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了二次函数与一元二次方程的关系，紧扣数形结合的核心数学思想，学会从函数图象角度分析方程的根，通过图象法求解一元二次方程、判断方程根的个数，体会以形助数、以数释形的转化思路，建立函数与方程之间的桥梁，掌握用函数性质解决方程问题的方法. 2. 知识内容层面 理清二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握图象与根的对应关系、根的判定方法、方程求解技巧. 3. 概念联系与区别 联系：一元二次方程是二次函数在函数值时的特殊情况，二者解析式结构完全相同，判别式通用，方程的根对应函数图象与轴的交点，是数与形的统一体. 区别：一元二次方程是等式，研究的是未知数的取值（实数根）；二次函数是变量对应关系，研究的是两个变量的变化规律和图象特征，二者研究对象、侧重点不同. 核心易错点：混淆判别式与交点个数的对应关系；忽略的前提条件；把方程的根记为图象与轴交点横坐标；搞混函数值正负对应的自变量范围. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数与一元二次方程的关系． 巩固所学知识，加深对二次函数与一元二次方程的根的关系的理解. 作业布置 板书设计 二次函数与一元二次方程 1.抛物线与x轴的交点 2.一元二次方程的根. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $