26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

课题

26.3 第1课时　二次函数与一元二次方程

授课人

教学目标

（2022新课标）知道二次函数和一元二次方程之间的关系.准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根.

教学重点

掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.

教学难点

理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

如图，出示二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答：

（1）当x为何值时，y＝0？

（2）你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？

（3）二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0之间有什么关系？

学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.

通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫

探究新知

二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x 轴交点情况

1.思考：已知二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1.

（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？

（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

师生活动：教师展示二次函数的图象，如图22－2－8，学生

通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数和一

观察图象，展开讨论，并回答问题.

（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.

（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3.

（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根.

教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.

2.通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论，进行总结：

一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论.

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.

3.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的.

问题：（1）观察二次函数y＝x2－6x＋9的图象和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0

元二次方程的关系，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.

的根的情况.

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？

师生共同讨论总结：

当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点；

当Δ＝b2－4ac<0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点.

教师总结：把函数值代入函数解析式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值.

典例精析

【例1】若二次函数y=x2-6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2-6x+c=1的解为（　　）

A．x=1    B．x=6    C．x=1或x=-7    D．x=1或x=5

【解析】∵二次函数y=x2-6x+c,
∴抛物线的对称轴是直线x=3，
∵图象经过点A（1，1），
∴点（5，1）也是图象上的点，
∴方程x2-6x+c=1的解为x=1或x=5，
故选：D．

【方法总结】

求解一元二次方程的常见方法

(1)根据题目，灵活选择以下方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法进行求解.

(2)利用二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的根进行求解.

(3)把一元二次方程的根看成对应的两个函数图象的交点的横坐标，利用两个函数图象的交点求解.

【例2】二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴的交点个数

本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.