26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第2课时 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

教案：26.2.2 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（第2课时）

一、核心素养目标

1. 直观想象

通过描点法画二次函数、的图象，对比的图象，直观感受括号内常数对抛物线位置的影响。借助几何画板动态演示，观察h值变化时抛物线的左右平移过程，建立解析式变化与图象平移之间的几何直观。

2. 逻辑推理

通过"画和的图象与对比归纳左右平移规律推广到一般情况"的探究过程，经历从特殊到一般的归纳推理。在探究过程中，验证平移规律对a>0和a<0两种情况的统一性，体会分类讨论的思想方法。

3. 数学抽象

从具体的二次函数、等图象中，抽象出"抛物线的顶点是(h,0)"、"对称轴是直线x=h"等一般性结论。理解"左加右减"这一平移规律的本质——括号内x-h中h的符号决定了平移方向，h的绝对值决定了平移距离。

4. 数学运算与数据分析

在列表、描点、连线的过程中，能准确计算中自变量x对应的函数值y。能在比较与的图象时，从数据表中发现"对应函数值相同，但自变量x偏移h"的代数规律，从而揭示左右平移的代数本质。

二、教学重难点

教学重点

1. 会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线与抛物线之间的左右平移关系。

2. 掌握抛物线的开口方向、对称轴（直线x=h）、顶点坐标(h, 0)和增减性规律。

3. 理解并运用"左加右减"的平移规律：当h>0时，抛物线向右平移h个单位；当h<0时，向左平移|h|个单位。

教学难点

1. 理解抛物线与抛物线之间的左右平移关系，特别是"左加右减"这一与直觉相反的规律——括号内为x-h时，h>0向右平移，h<0向左平移。

2. 理解h的符号对顶点位置和对称轴的影响：当h>0时顶点在y轴右侧，对称轴x=h>0；当h<0时顶点在y轴左侧，对称轴x=h<0。

3. 在无图的情况下，仅凭解析式快速准确地判断y=a(x-h)²的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，做到"见解析式即知图象"。

三、教学过程

环节一：情境导入与回顾旧知（3分钟）

【教师活动】同学们，上节课我们学习了二次函数y=ax²+k的图象和性质，知道了抛物线y=ax²+k可以由抛物线y=ax²上下平移得到，平移规律是"上加下减"。请同学们回忆一下，y=ax²+k的图象特征和性质有哪些？

【学生活动】a>0时：开口向上，对称轴是y轴，顶点(0,k)是最低点，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大，x=0时y有最小值k。a<0时：开口向下，对称轴是y轴，顶点(0,k)是最高点，x<0时y随x增大而增大，x>0时y随x增大而减小，x=0时y有最大值k。|a|越大开口越小。

【教师活动】记得非常清楚！那么，y=ax²+k与y=ax²之间有什么关系？平移规律是什么？

抛物线由抛物线上下平移得到。当k>0时，向上平移k个单位；当k<0时，向下平移|k|个单位。口诀是"上加下减"。平移后，开口方向、开口大小和对称轴都不变，只有顶点从(0,0)变为(0,k)。

【教师活动】非常好！现在请同学们思考一个问题：上节课我们研究了在y=ax²的基础上加上常数项k（即y=ax²+k），图象发生了上下平移。那么，如果我们在y=ax²的基础上改变括号内x的形式，变成y=a(x-h)²，图象会发生怎样的变化呢？

【学生活动】可能也会发生平移，但应该是左右平移，因为改变的是x，不是函数值。

【教师活动】你的猜测很有道理！改变x的形式确实会影响图象的左右位置。今天我们就来研究二次函数y=a(x-h)²的图象和性质，重点探究它与y=ax²之间的左右平移关系。

【过渡语】通过复习y=ax²+k的上下平移规律，引导学生类比思考：改变x的形式是否也会导致平移？这一类比自然地引出本节课的核心问题——探究y=a(x-h)²与y=ax²之间的左右平移关系。

【设计意图】以复习旧知引入新课，属于情境导入环节。既巩固了上下平移规律"上加下减"，又通过类比引出"左右平移"的猜想，激发学生的探究欲望。从"改变y（加k）"到"改变x（减h）"的过渡，体现了数学研究方法的迁移性和一致性。

环节二：探究y=a(x-h)²的图象（12分钟）

一、画y=-(x+1)²和y=-(x-1)²的图象并与y=-x²比较

【教师活动】请同学们拿出坐标纸，我们用描点法在同一个坐标系中画出y=-x²、y=-(x+1)²和y=-(x-1)²的图象。请先分别列表，以对称轴为中心对称取点。