13.3.1三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质和判定）导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“直角三角形的性质和判定”，引导学生理解直角三角形两锐角互余及有两锐角互余的三角形是直角三角形。课堂导入从回顾三角形内角和定理切入，通过求图形中x值引出直角三角形，再以追问和动手操作搭建学习支架，衔接前后知识。 导学案突出自主探究与实践，通过三角板观察、画图验证等培养几何直观，引导推理论证发展推理能力，分层习题设计提升应用意识，帮助学生系统掌握知识，有效提升数学思维与解决问题能力。

13.3.1.1 三角形的内角 （第2课时 直角三角形的性质和判定） 【学习重、难点】 1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余，以及有两个锐角互余的三角形是直角三角形． 2.运用直角三角形的性质和判定方法解决问题. 【自主预习】阅读教材P13-P14，完成以下问题： 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角 几何语言： ∵在Rt△ABC中， ∴∠A+∠B=90°（ ） 2. 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是 几何语言： ∵在中， ∴ 【课堂探究】阅读教材P13-P14，完成以下问题： 引导语：在上节课我们一起探究并证明了三角形的内角和定理，知道了三角形的内角的和是 180°，那么请大家利用这个知识解决下面的问题． 问题：求出下列图形中 x 的值 解：利用三角形的内角和定理计算出图中 x 的值，得到 追问1：对于图 （3）中特殊的三角形——直角三角形，它的两个锐角有什么数量关系? 追问2：这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 追问3：任何直角三角形的两个锐角都互余吗? 今天我们就来重点研究直角三角形中两个锐角之间的数量关系 自主探究一、直角三角形的两个锐角互余（准备学具：三角板一副、量角器） 1.动手操作，初步感知 （1）独立观察：每人拿出一副三角板，观察两块三角板各内角的度数，并填写下表： 三角板类型 三个内角的度数 2个锐角和 等腰直角三角板 °、 °、 ° ° 含30°角的直角三角板 °、 °、 ° ° 发现：两块直角三角板的两个锐角的和都等于 ° 猜想： 2.推理论证，形成结论 追问4：你能证明上面的结论吗? 【思路引导】关于所有三角形，我们已经证明了三角形内角和等于180°，接着把∠C=90°代入式子进行“替换”，用“移项”这个已有知识打通最后一步. 注意：展示“代入”过程，注意几何语言书写（具体证明过程见P13） 结论： 自主探究二、有两个角互余的三角形是直角三角形（准备学具：白纸、铅笔、量角器） 1. 逆向思考，提出猜想 追问5：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由 猜想： 有两个角互余的三角形 2. 动手画图，初步验证 （1）请你在白纸上任意画一个△ABC，使得∠A + ∠B = 90°（可以用量角器辅助，先画出两个互余的角，再连接形成三角形）. （2）用量角器量出∠C的度数：∠C = ° （3）你发现了什么？∠C是 角 3. 推理论证，形成结论 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形 证明：∵ 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = °（ 三角形的内角和为180°） 又∵ ∠A + ∠B = （ __） ∴ + ∠C = 180° ∴ ∠C = ∴ △ABC是 归纳结论： 直角三角形的判定： 　 4. 对比总结，明晰关系 将“直角三角形的性质”和“直角三角形的判定”填在下表中： 条件 结论 性质 判定 追问6：观察上表，性质与判定的条件和结论有什么关系？ 【基础规范推理】【教材P14例3变式】如图,在Rt△ABC 中，∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D. 请回答下列问题： (1)图中有 对互余的角. (2)求证：∠1=∠A.(请将证明过程补充完整) 证明：∵CD⊥AB (已知), ∴∠CDB=∠CDA=90°( ) 在 Rt△ABC 中，∠A+ =90° 在Rt△BCD 中，∠1+ =90° ( ) ∴∠1=∠A( ) (3)仿照(2)的证明过程证明：∠2=∠B. 【A基础过关】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B= ° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=47°，则∠A= ° 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠B= ° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠A = 35°，则∠BCD = ___ ° 5. 如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠BCD = 25°，则∠B = __ ° 6.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A + ∠B = ∠C B. ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5 C. ∠A = 90° − ∠B D. ∠A = 2∠B，∠C = 3∠B 【B能力提升】 7.如第4题图，在中，，是高．若，则的度数是 ° 8.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高．若∠ACD : ∠BCD = 2 : 3，则∠B = ° 9.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°。求证：△ABC是直角三角形。 【课堂总结】 1.本节课我们研究了直角三角形的 和 2.直角三角形的性质是： 判定是： ，它们之间的关系是： 3.利用直角三角形的性质可以解决 问题；利用判定可以解决__ ___问题. 【课后反思】 这节课我学会了?我还不熟练的地方是? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $13.3.1.1三角形的内角 (第2课时直角三角形的性质和判定) 【学习重、难点】 1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余，以及有两个锐角 互余的三角形是直角三角形， 2.运用直角三角形的性质和判定方法解决问题 【自主预习】阅读教材P13-P14,完成以下问题： 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角 几何语言： ,在Rt△ABC中， ∴.∠A+∠B=90°( 2.直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是 几何语言： .在△ABC中， 【课堂探究】阅读教材P13-P14,完成以下问题： 引导语：在上节课我们一起探究并证明了三角形的内角和定 理，知道了三角形的内角的和是180°，那么请大家利用这 个知识解决下面的问题. 问题：求出下列图形中x的值 40 65△ 40° 1059 (1) (2) (3) 追问1：对于图(3)中特殊的三角形一一直角三角形，它 的两个锐角有什么数量关系？ 追问2：这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 追问3：任何直角三角形的两个锐角都互余吗？ 今天我们就来重点研究直角三角形中两个锐角之间的数量 关系 自主探究一、直角三角形的两个锐角互余（准备学具：三 角板一副、量角器) 1.动手操作，初步感知 (1)独立观察：每人拿出一副三角板，观察两块三角板各 内角的度数，并填写下表： 三角板类型 三个内角的度数 2个锐角和 等腰直角三角板 含30°角的直角三角板 °、 0、 发现：两块直角三角板的两个锐角的和都等于 猜想： 2.推理论证，形成结论 追问4：你能证明上面的结论吗？ 【思路引导】关于所有三角形，我们已经证明了三角形内 角和等于180°，接着把∠C=90°代入式子进行“替换”， 用“移项”这个已有知识打通最后一步. 注意：展示“代入”过程，注意几何语言书写（具体证明 过程见P13) 结论： 自主探究二、有两个角互余的三角形是直角三角形（准备 学具：白纸、铅笔、量角器) 1.逆向思考，提出猜想 追问5：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这 个三角形有两个角互余，反过来，有两个角互余的三角形是 直角三角形吗？试说明理由 猜想：有两个角互余的三角形 2.动手画图，初步验证 (1)请你在白纸上任意画一个△ABC,使得∠A+∠B= 90°（可以用量角器辅助，先画出两个互余的角，再连接形 成三角形) (2)用量角器量出∠C的度数：∠C= (3)你发现了什么？∠C是 角 3.推理论证，形成结论 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形 B 证明：：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=°（三角 形的内角和为180°) 又∠A+∠B= +∠C=180° .∠C= .△ABC是 归纳结论： 直角三角形的判定： 4.对比总结，明晰关系 将“直角三角形的性质”和“直角三角形的判定”填在下表 中： 条件 结论 性质 判定 追问6：观察上表，性质与判定的条件和结论有什么关系？ 【基础规范推理】【教材P14例3变式】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.请回答下列问题： (1)图中有 对互余的角 (2)求证：∠1=∠A.(请将证明过程补充完整) 证明：，CD⊥AB(已知)， .∠CDB=∠CDA=90°( 在Rt△ABC中，∠A+ =909 在Rt△BCD中，∠1+ =90° .∠1=∠A( (3)仿照(2)的证明过程证明： ∠2=∠B. 【A基础过关】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B= 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B-47°，则∠A= 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B,则∠B= 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠A= 35°，则∠BCD= 5.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D。若∠BCD=25°，则∠B=」 6.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.∠A=90°-∠B D.∠A=2∠B,∠C=3∠B 【B能力提升】 7.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高.若 ∠BCD=20°，则∠A的度数是 8.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高.若 ∠ACD:∠BCD=2:3,则∠B= 9.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°。求证：△ABC是直 角三角形。 【课堂总结】 1.本节课我们研究了直角三角形的 2.直角三角形的性质是： 判定是： 它们之间的关 系是： 3利用直角三角形的性质可以解决 问题；利用 判定可以解决 问题 【课后反思】 这节课我学会了？我还不熟练的地方是？13.3.1.1三角形的内角 (第2课时直角三角形的性质和判定) 【学习重、难点】 1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余，以及有两个锐角 互余的三角形是直角三角形， 2.运用直角三角形的性质和判定方法解决问题 【自主预习】阅读教材P13-P14,完成以下问题： 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ,在Rt△ABC中，∠C90, ∴.∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 2.直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ,在△ABC中，∠A+∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形 【课堂探究】阅读教材P13-P14,完成以下问题： 引导语：在上节课我们一起探究并证明了三角形的内角和定 理，知道了三角形的内角的和是180°，那么请大家利用这 个知识解决下面的问题， 问题：求出下列图形中x的值 40 65d 40 1059 (1) (2) (3) (1)x=75;(2)x=35:(3)x=36 追问1：对于图(3)中特殊的三角形一一直角三角形，它 的两个锐角有什么数量关系？ 这个直角三角形的两个锐角之和为0° 追问2：这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 这两个直角三角形的两锐角互余 追问3：任何直角三角形的两个锐角都互余吗？ 直角三角形两锐角互余 今天我们就来重点研究直角三角形中两个锐角之间的数量 关系 自主探究一、'直角三角形的两个锐角互余（准备学具：三 角板一副、量角器) 1.动手操作，初步感知 (1)独立观察：每人拿出一副三角板，观察两块三角板各 内角的度数，并填写下表： 三角板类型 三个内角的度数 2个锐角和 等腰直角三角板 45°、45°、90° 90° 含30°角的直角三角板30°、60°、90° 90° 发现：两块直角三角板的两个锐角的和都等于90。 猜想：直角三角形中，两个锐角的和等于90 2.推理论证，形成结论 追问4：你能证明上面的结论吗？ 【思路引导】关于所有三角形，我们已经证明了三角形内 角和等于180°，接着把∠C=90°代入式子进行“替换”， 用“移项”这个已有知识打通最后一步 注意：展示“代入”过程，注意几何语言书写（具体证明 过程见P13) 结论：直角三角形的两个锐角互余 自主探究二、有两个角互余的三角形是直角三角形（准备 学具：白纸、铅笔、量角器) 1.逆向思考，提出猜想 追问5：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这 个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是 直角三角形吗？试说明理由 猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形 2.动手画图，初步验证 (1)请你在白纸上任意画一个△ABC,使得∠A+∠B= 90°（可以用量角器辅助，先画出两个互余的角，再连接形 成三角形) (2)用量角器量出∠C的度数：∠C=90 (3)你发现了什么？∠C是直角 3.推理论证，形成结论 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形 证明：，'在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形 的内角和为180°) 又，∠A+∠B=90°（已知） .90°+∠C=180 .∠C=909 .△ABC是直角三角形 归纳结论： 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC中，∠A+∠B=90°， △ABC是直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以 写成Rt△ABC 4.对比总结，明晰关系 将“直角三角形的性质”和“直角三角形的判定”填在下表 中： 条件 结论 性质 △ABC是直角三角形 ∠A+∠B=90°（两锐 (∠C=90°) 角互余) 判定 在△ABC中，∠A+∠ △ABC是直角三角形 B=90°（两角互余） (∠C=90°) 追问6：观察上表，性质与判定的条件和结论有什么关系？ 性质与判定的条件和结论恰好互换（互逆） 【基础规范推理】【教材P14例3变式】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.请回答下列问题： (1)图中有4对互余的角. (2)求证：∠1=∠A.(请将证明过程补充完整) 证明：，CD⊥AB(已知)， ,∠CDB=∠CDA=90°（垂直定义 在Rt△ABC中，∠A+∠2=90° 在Rt△BCD中，∠1+∠2=90° (直角三角形两锐角互余 .∠1=∠A(同角的余角相等 (3)仿照(2)的证明过程证明： ∠2=∠B. 证明：，CD⊥AB(已知) ..∠CDA=90°（垂直定义）. 在Rt△ABC中，∠B+∠1=90°（直角三角形两锐角互余） 在Rt△ACD中，∠2+∠1=90°（直角三角形两锐角互余） ∴.∠2=∠B(同角的余角相等) 【A基础过关】 1.在Rt△ABC中，∠C-90°，∠A=35°，则∠B=55 2.在Rt△ABC中，∠C-90°，∠B=47°，则∠A=43 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B,则∠B=30 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。 若∠A=35°，则∠BCD=35 5.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D。若∠BCD=25°，则∠B=65° 6.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(B) A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.∠A=90°-∠B D.∠A=2∠B,∠C=3∠B 【B能力提升】 7.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高.若 ∠BCD=20°，则∠A的度数是20° 8.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高.若 ∠ACD:∠BCD=2:3,则∠B=36° 9.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°。求证：△ABC是直 角三角形。 证明： ,∠A=35°，∠B=55°（已知）， ∴.∠A+∠B=35°+55°=90°。 ∴.△ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三 角形) 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 将三角形纸片ABC沿CD折叠，使 点B恰好落在AC边上的点E处. 若∠A=30°，则∠EDC=60 I1.如图，AB/DE,ED垂直于BD,垂足是D,若∠ACE= 100°，求∠BAC+∠CED的度数， 解：，ED⊥BD,∴.∠CDE=90 在Rt△CDE中，∠CED+∠DCE=A 909 B :AB/DE,∴.∠BAC=∠DCE(两直线平行，内错角相 等) ∴.∠BAC+∠CED=90° 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,BF ⊥AC于点F,若∠ABC=50°，∠CAD=30°，求∠CBF 的度数. 解：∠BAC=2∠CAD=60 .∠C=180°-60°-50°=70° 在Rt△BCF中，∠CBF=90°-∠C=20° 【C思维拓展】 13.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°， CAD=20°，求∠BAC的度数. (分类讨论) 解：如图1，当△ABC为锐角三角形时 ,AD为边BC上的高 图1 ∴∠ADC=90° ∴.∠C-90°-∠CAD=90°-20°=70 ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-30°-70°=80° 如图2，当△ABC为钝角三角形时 ,AD为边BC上的高 ,'.∠ADB=90 B .∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 图2 ∴.∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40° 综上，∠BAC的度数是40°或80°. 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.请 你在图中添加一个条件（不能直接给出角度数值），使得∠ ACD=54°，并说明理由. 解：（示例答案） D 添加条件：∠B=54°. B- 理由：在Rt△ABC中，CD⊥AB,∠ACD=∠B=54°（同 角的余角相等)· 其他可能答案（学生若写出以下任意一种均正确）： 添加∠A=36°，理由同上（∠ACD=∠B-90°-∠A=54°） 添加∠BCD=54°，理由：∠ACD+∠BCD=90°（角的和差） 添加∠A:∠B=2:3,理由：设∠A=2k,∠B=3k,5k=90°， k=18°，∠B=54°，∠ACD=∠B=54° 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, AE平分∠CAB交CD于点F,交BC于点E. (1)若∠B=40°，求∠CFE的度数： (2)求证：∠CEF=∠CFE. D 解：(1)在Rt△ABC中，∠CAB=90°- ∠B=90°-40°=50° ,AE平分∠CAB ·∠CAE=CAB=25 在Rt△ACD中，∠ACD=90°-∠CAD=90°-50°=40°， 在△ACF中，∠CAF=25°，∠ACF-40°， ∴.∠CFE是△ACF的外角， ∠CFE=∠CAF+∠ACF=25°+40°=65° (2)证明： 在Rt△ACE中，∠ACE-90°，∠CAE=25°， ∴.∠CEF=90°-∠CAE-90°-25°=65°。 由(1)知∠CFE=65°， ∴，∠CEF=∠CFE 【课堂总结】 1.本节课我们研究了直角三角形的性质和判定 2直角三角形的性质是：直角三角形的两个锐角互余；判 定是：有两个角互余的三角形是直角三角形，它们之间的关 系是：互为逆定理（或互逆） 3利用直角三角形的性质可以解决角度计算_问题；利用 判定可以解决判断一个三角形是否为直角三角形问 题 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的性质 几何语言： ,在Rt△ABC中，∠C=90°， 直角三角形 ∴.∠A+∠B=90° 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形的判定 几何语言： ,在△ABC中，∠A+∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形 【课后反思】 这节课我学会了： 我还不熟练的地方是：13.3.1.1三角形的内角 (第2课时直角三角形的性质和判定) 【学习重、难点】 1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余，以及有两个锐角 互余的三角形是直角三角形， 2.运用直角三角形的性质和判定方法解决问题 【自主预习】阅读教材P13-P14,完成以下问题： 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角 几何语言： ,在Rt△ABC中， ∴.∠A+∠B=90°( 2.直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是 几何语言： .在△ABC中， 【课堂探究】阅读教材P13-P14,完成以下问题： 引导语：在上节课我们一起探究并证明了三角形的内角和定 理，知道了三角形的内角的和是180°，那么请大家利用这 个知识解决下面的问题. 问题：求出下列图形中x的值 40 65△ 40° 1059 (1) (2) (3) 追问1：对于图(3)中特殊的三角形一一直角三角形，它 的两个锐角有什么数量关系？ 追问2：这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 追问3：任何直角三角形的两个锐角都互余吗？ 今天我们就来重点研究直角三角形中两个锐角之间的数量 关系 自主探究一、直角三角形的两个锐角互余（准备学具：三 角板一副、量角器) 1.动手操作，初步感知 (1)独立观察：每人拿出一副三角板，观察两块三角板各 内角的度数，并填写下表： 三角板类型 三个内角的度数 2个锐角和 等腰直角三角板 含30°角的直角三角板 °、 0、 发现：两块直角三角板的两个锐角的和都等于 猜想： 2.推理论证，形成结论 追问4：你能证明上面的结论吗？ 【思路引导】关于所有三角形，我们已经证明了三角形内 角和等于180°，接着把∠C=90°代入式子进行“替换”， 用“移项”这个已有知识打通最后一步. 注意：展示“代入”过程，注意几何语言书写（具体证明 过程见P13) 结论： 自主探究二、有两个角互余的三角形是直角三角形（准备 学具：白纸、铅笔、量角器) 1.逆向思考，提出猜想 追问5：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这 个三角形有两个角互余，反过来，有两个角互余的三角形是 直角三角形吗？试说明理由 猜想：有两个角互余的三角形 2.动手画图，初步验证 (1)请你在白纸上任意画一个△ABC,使得∠A+∠B= 90°（可以用量角器辅助，先画出两个互余的角，再连接形 成三角形) (2)用量角器量出∠C的度数：∠C= (3)你发现了什么？∠C是 角 3.推理论证，形成结论 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形 B 证明：：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=°（三角 形的内角和为180°) 又∠A+∠B= +∠C=180° .∠C= ∴.△ABC是」 归纳结论： 直角三角形的判定： 几何语言： ,在△ABC中， 直角三角形可以用符号」 表示，直角三角形ABC 可以写成 4.对比总结，明晰关系 将“直角三角形的性质”和“直角三角形的判定”填在下表 中 条件 结论 性质 判定 追问6：观察上表，性质与判定的条件和结论有什么关系？ 【基础规范推理】【教材P14例3变式】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD LAB于点D.请回答下列问题： (1)图中有_对互余的角. (2)求证：∠1=∠A.(请将证明过程补充完整) 证明：，CD⊥AB(已知)， ∴∠CDB=∠CDA=90°( 在Rt△ABC中，∠A+ =90° 在Rt△BCD中，∠1+ =90° .∠1=∠A( (3)仿照(2)的证明过程证明： ∠2=∠B 【A基础过关】 1.在Rt△ABC中，∠C-90°，∠A=35°，则∠B= 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=47°，则∠A= 3.在Rt△ABC中，∠C-90°，∠A=2∠B,则∠B= 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠A= 35°，则∠BCD= D B 5.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D。若∠BCD=25°，则∠B= 6.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.∠A=90°-∠B D.∠A=2∠B,∠C=3∠B 【B能力提升】 7.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高.若 ∠BCD=20°，则∠A的度数是 8.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高.若 ∠ACD:∠BCD=2:3,则∠B= 9.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°。求证：△ABC是直 角三角形。 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90° 将三角形纸片ABC沿CD折叠，使 点B恰好落在AC边上的点E处. 若∠A=30°，则∠EDC= 11.如图，ABDE,ED垂直于BD,垂足是D,若∠ACE= 100°，求∠BAC+∠CED的度数. 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,BF ⊥AC于点F,若∠ABC=50°，∠CAD=30°，求∠CBF 的度数. 【C思维拓展】 13.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠ CAD=20°，求∠BAC的度数 (分类讨论) 图1 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.请 你在图中添加一个条件（不能直接给出角度数值），使得∠ ACD=54°，并说明理由. D 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB于点D, AE平分∠CAB交CD于点F,交BC于点E. (1)若∠B=40°，求∠CFE的度数： (2)求证：∠CEF=∠CFE 【课堂总结】 1.本节课我们研究了直角三角形的 和 2.直角三角形的性质是： 判定是： 它们之间的关 系是： 3利用直角三角形的性质可以解决 问题：利用 判定可以解决 问题 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形的性质人 几何语言： ,在Rt△ABC中，∠C=90°， 直角三角形 ∴.∠A+∠B=90 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的判定 几何语言： ,在△ABC中，∠A+∠B=90°， ∴.△ABC是直角三角形 【课后反思】 这节课我学会了？我还不熟练的地方是？ 13.3.1.1 三角形的内角 （第2课时 直角三角形的性质和判定） 【学习重、难点】 1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余，以及有两个锐角互余的三角形是直角三角形． 2.运用直角三角形的性质和判定方法解决问题. 【自主预习】阅读教材P13-P14，完成以下问题： 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角 几何语言： ∵在Rt△ABC中， ∴∠A+∠B=90°（ ） 2. 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是 几何语言： ∵在中， ∴ 【课堂探究】阅读教材P13-P14，完成以下问题： 引导语：在上节课我们一起探究并证明了三角形的内角和定理，知道了三角形的内角的和是 180°，那么请大家利用这个知识解决下面的问题． 问题：求出下列图形中 x 的值 解：利用三角形的内角和定理计算出图中 x 的值，得到 追问1：对于图 （3）中特殊的三角形——直角三角形，它的两个锐角有什么数量关系? 追问2：这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 追问3：任何直角三角形的两个锐角都互余吗? 今天我们就来重点研究直角三角形中两个锐角之间的数量关系 自主探究一、直角三角形的两个锐角互余（准备学具：三角板一副、量角器） 1.动手操作，初步感知 （1）独立观察：每人拿出一副三角板，观察两块三角板各内角的度数，并填写下表： 三角板类型 三个内角的度数 2个锐角和 等腰直角三角板 °、 °、 ° ° 含30°角的直角三角板 °、 °、 ° ° 发现：两块直角三角板的两个锐角的和都等于 ° 猜想： 2.推理论证，形成结论 追问4：你能证明上面的结论吗? 【思路引导】关于所有三角形，我们已经证明了三角形内角和等于180°，接着把∠C=90°代入式子进行“替换”，用“移项”这个已有知识打通最后一步. 注意：展示“代入”过程，注意几何语言书写（具体证明过程见P13） 结论： 自主探究二、有两个角互余的三角形是直角三角形（准备学具：白纸、铅笔、量角器） 1. 逆向思考，提出猜想 追问5：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由 猜想： 有两个角互余的三角形 2. 动手画图，初步验证 （1）请你在白纸上任意画一个△ABC，使得∠A + ∠B = 90°（可以用量角器辅助，先画出两个互余的角，再连接形成三角形）. （2）用量角器量出∠C的度数：∠C = ° （3）你发现了什么？∠C是 角 3. 推理论证，形成结论 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形 证明：∵ 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = °（ 三角形的内角和为180°） 又∵ ∠A + ∠B = （ __） ∴ + ∠C = 180° ∴ ∠C = ∴ △ABC是 归纳结论： 直角三角形的判定： 　 几何语言： ∵在△ABC中， ∴ ． 直角三角形可以用符号 表示，直角三角形 ABC 可以写成 4. 对比总结，明晰关系 将“直角三角形的性质”和“直角三角形的判定”填在下表中： 条件 结论 性质 判定 追问6：观察上表，性质与判定的条件和结论有什么关系？ 【基础规范推理】【教材P14例3变式】如图,在Rt△ABC 中，∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D. 请回答下列问题： (1)图中有 对互余的角. (2)求证：∠1=∠A.(请将证明过程补充完整) 证明：∵CD⊥AB (已知), ∴∠CDB=∠CDA=90°( ) 在 Rt△ABC 中，∠A+ =90° 在Rt△BCD 中，∠1+ =90° ( ) ∴∠1=∠A( ) (3)仿照(2)的证明过程证明：∠2=∠B. 【A基础过关】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B= ° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=47°，则∠A= ° 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠B= ° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠A = 35°，则∠BCD = ___ ° 5. 如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠BCD = 25°，则∠B = __ ° 6.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A + ∠B = ∠C B. ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5 C. ∠A = 90° − ∠B D. ∠A = 2∠B，∠C = 3∠B 【B能力提升】 7.如第4题图，在中，，是高．若，则的度数是 ° 8.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高．若∠ACD : ∠BCD = 2 : 3，则∠B = ° 9.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°。求证：△ABC是直角三角形。 10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 将三角形纸片ABC沿CD折叠，使 点 B恰好落在AC边上的点E处． 若∠A = 30°，则∠EDC＝ ° 11.如图，AB//DE，ED垂直于BD，垂足是D，若∠ACE = 100°，求∠BAC + ∠CED的度数． 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AC于点F，若∠ABC = 50°，∠CAD = 30°，求∠CBF的度数． 【C思维拓展】 13.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数 （分类讨论） 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.请你在图中添加一个条件（不能直接给出角度数值），使得∠ACD=54°，并说明理由. 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E. （1）若∠B=40°，求∠CFE的度数； （2）求证：∠CEF=∠CFE 【课堂总结】 1.本节课我们研究了直角三角形的 和 2.直角三角形的性质是： 判定是： ，它们之间的关系是： 3.利用直角三角形的性质可以解决 问题；利用判定可以解决__ ___问题. 【课后反思】 这节课我学会了?我还不熟练的地方是? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.1.1 三角形的内角 （第2课时 直角三角形的性质和判定） 【学习重、难点】 1.理解并掌握直角三角形的两个锐角互余，以及有两个锐角互余的三角形是直角三角形． 2.运用直角三角形的性质和判定方法解决问题. 【自主预习】阅读教材P13-P14，完成以下问题： 1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 2. 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ∵在中，， ∴是直角三角形 【课堂探究】阅读教材P13-P14，完成以下问题： 引导语：在上节课我们一起探究并证明了三角形的内角和定理，知道了三角形的内角的和是 180°，那么请大家利用这个知识解决下面的问题． 问题：求出下列图形中 x 的值 解：利用三角形的内角和定理计算出图中 x 的值，得到 （1）x＝75；（2）x＝35；（3）x＝36 追问1：对于图 （3）中特殊的三角形——直角三角形，它的两个锐角有什么数量关系? 这个直角三角形的两个锐角之和为 90°. 追问2：这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 这两个直角三角形的两锐角互余 追问3：任何直角三角形的两个锐角都互余吗? 直角三角形两锐角互余 今天我们就来重点研究直角三角形中两个锐角之间的数量关系 自主探究一、直角三角形的两个锐角互余（准备学具：三角板一副、量角器） 1.动手操作，初步感知 （1）独立观察：每人拿出一副三角板，观察两块三角板各内角的度数，并填写下表： 三角板类型 三个内角的度数 2个锐角和 等腰直角三角板 45°、45°、90° 90° 含30°角的直角三角板 30°、60°、90° 90° 发现：两块直角三角板的两个锐角的和都等于 90 ° 猜想：直角三角形中，两个锐角的和等于90° 2.推理论证，形成结论 追问4：你能证明上面的结论吗? 【思路引导】关于所有三角形，我们已经证明了三角形内角和等于180°，接着把∠C=90°代入式子进行“替换”，用“移项”这个已有知识打通最后一步. 注意：展示“代入”过程，注意几何语言书写（具体证明过程见P13） 结论：直角三角形的两个锐角互余 自主探究二、有两个角互余的三角形是直角三角形（准备学具：白纸、铅笔、量角器） 1. 逆向思考，提出猜想 追问5：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由 猜想： 有两个角互余的三角形 是直角三角形 2. 动手画图，初步验证 （1）请你在白纸上任意画一个△ABC，使得∠A + ∠B = 90°（可以用量角器辅助，先画出两个互余的角，再连接形成三角形）. （2）用量角器量出∠C的度数：∠C = __90__° （3）你发现了什么？∠C是 __直__ 角 3. 推理论证，形成结论 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°， 求证：△ABC是直角三角形 证明：∵ 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（ 三角形的内角和为180°） 又∵ ∠A + ∠B = 90°（ _已知___） ∴ 90° + ∠C = 180° ∴ ∠C = 90° ∴ △ABC是直角三角形 归纳结论： 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形　 几何语言： ∵在△ABC中，∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形． 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC 4. 对比总结，明晰关系 将“直角三角形的性质”和“直角三角形的判定”填在下表中： 条件 结论 性质 △ABC是直角三角形（∠C = 90°） ∠A + ∠B = 90°（两锐角互余） 判定 在△ABC中，∠A + ∠B = 90°（两角互余） △ABC是直角三角形（∠C = 90°） 追问6：观察上表，性质与判定的条件和结论有什么关系？ 性质与判定的条件和结论恰好互换（互逆） 【基础规范推理】【教材P14例3变式】如图,在Rt△ABC 中，∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D. 请回答下列问题： (1)图中有 4 对互余的角. (2)求证：∠1=∠A.(请将证明过程补充完整) 证明：∵CD⊥AB (已知), ∴∠CDB=∠CDA=90°( 垂直定义 ) 在 Rt△ABC 中，∠A+ ∠2 =90° 在Rt△BCD 中，∠1+ ∠2 =90° ( 直角三角形两锐角互余 ) ∴∠1=∠A( 同角的余角相等 ) (3)仿照(2)的证明过程证明：∠2=∠B. 证明： ∵ CD⊥AB（已知） ∴ ∠CDA = 90°（垂直定义）. 在Rt△ABC中，∠B + ∠1 = 90°（直角三角形两锐角互余） 在Rt△ACD中，∠2 + ∠1 = 90°（直角三角形两锐角互余）∴ ∠2 = ∠B（同角的余角相等） 【A基础过关】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B=__55_° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=47°，则∠A=__43_° 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠B=__30__° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠A = 35°，则∠BCD = __35__° 5. 如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。若∠BCD = 25°，则∠B = __65_° 6.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ B ） A. ∠A + ∠B = ∠C B. ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5 C. ∠A = 90° − ∠B D. ∠A = 2∠B，∠C = 3∠B 【B能力提升】 7.如第4题图，在中，，是高．若，则的度数是　 　 8.如第4题图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高．若∠ACD : ∠BCD = 2 : 3，则∠B = 36° 9.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°。求证：△ABC是直角三角形。 证明： ∵ ∠A=35°，∠B=55°（已知）， ∴ ∠A+∠B=35°+55°=90°。 ∴ △ABC是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形） 10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 将三角形纸片ABC沿CD折叠，使 点 B恰好落在AC边上的点E处． 若∠A = 30°，则∠EDC＝__60°___ 11.如图，AB//DE，ED垂直于BD，垂足是D，若∠ACE = 100°，求∠BAC + ∠CED的度数． 解：∵ ED⊥BD，∴ ∠CDE = 90° 在Rt△CDE中，∠CED + ∠DCE = 90° ∵ AB//DE，∴ ∠BAC = ∠DCE（两直线平行，内错角相等） ∴ ∠BAC + ∠CED = 90° 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AC于点F，若∠ABC = 50°，∠CAD = 30°，求∠CBF的度数． 解：∵∠BAC=2∠CAD=60° ∴∠C=180°−60°−50°=70° 在Rt△BCF中，∠CBF=90°−∠C=20° 【C思维拓展】 13.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． （分类讨论） 解：如图1，当△ABC为锐角三角形时 ∵AD为边BC上的高 ∴∠ADC=90° ∴∠C=90°−∠CAD=90°−20°=70° ∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−30°−70°=80° 如图2，当△ABC为钝角三角形时 ∵AD为边BC上的高 ∴∠ADB=90° ∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°， ∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40° 综上，∠BAC的度数是40°或80°． 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.请你在图中添加一个条件（不能直接给出角度数值），使得∠ACD=54°，并说明理由． 解：（示例答案） 添加条件：∠B=54°. 理由：在Rt△ABC中，CD⊥AB，∠ACD=∠B=54°（同角的余角相等）. 其他可能答案（学生若写出以下任意一种均正确）： 添加∠A=36°，理由同上（∠ACD=∠B=90°−∠A=54°） 添加∠BCD=54°，理由：∠ACD+∠BCD=90°（角的和差） 添加∠A:∠B=2:3，理由：设∠A=2k，∠B=3k，5k=90°，k=18°，∠B=54°，∠ACD=∠B=54° 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E． （1）若∠B=40°，求∠CFE的度数； （2）求证：∠CEF=∠CFE． 解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB=90°−∠B=90°−40°=50° ∵ AE平分∠CAB ∴ ∠CAE= ∠CAB=25° 在Rt△ACD中，∠ACD=90°−∠CAD=90°−50°=40°， 在△ACF中，∠CAF=25°，∠ACF=40°， ∴ ∠CFE是△ACF的外角， ∠CFE=∠CAF+∠ACF=25°+40°=65° （2）证明： 在Rt△ACE中，∠ACE=90°，∠CAE=25°， ∴ ∠CEF=90°−∠CAE=90°−25°=65°。 由（1）知∠CFE=65°， ∴ ∠CEF=∠CFE 【课堂总结】 1.本节课我们研究了直角三角形的 性质 和 判定 2.直角三角形的性质是： 直角三角形的两个锐角互余；判定是：有两个角互余的三角形是直角三角形，它们之间的关系是：_互为逆定理（或互逆）_____ 3.利用直角三角形的性质可以解决_角度计算__问题；利用判定可以解决__判断一个三角形是否为直角三角形____问题 【课后反思】 这节课我学会了： 我还不熟练的地方是： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $