13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形中线、角平分线、高的概念、作图及性质，通过前置补偿复习线段中点、角平分线、垂线等旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步探究三线定义及特征。 导学案注重动手操作与几何直观，通过画图探究三类三角形高的位置差异，结合符号语言培养推理意识。分层作业设计满足不同学生需求，合作学习与精讲点拨助力学生理解三线性质，发展数学眼光与思维能力。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 理解三角形的中线、角平分线、高的概念，会用几何符号语言表达相关结论，能画出任意三角形的中线、角平分线、高。 2. 通过动手画图探究，知道三角形三条中线、三条角平分线、三条高（所在直线）分别交于一点；认识三角形重心。 3. 掌握锐角、直角、钝角三角形三条高的位置区别，区分 “角平分线（射线）” 和 “三角形的角平分线（线段）”，发展几何作图与推理意识。 学习重点：三角形中线、角平分线、高的定义；几何符号表达；动手作图。 学习难点：钝角三角形高的画法；区分三种线段；理解中线平分三角形面积。 【前置补偿】 1. 线段中点：把一条线段分成相等的两部分的点。 2. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。 3. 垂线：两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直。 【学生自学】 阅读课本，了解课本编排顺序： ①引入：三角形除三边外，还有中线、角平分线、高三种重要线段； ②探究一：三角形中线定义，画图，认识重心； ③探究二：三角形角平分线定义，画图，区分角平分线射线与三角形角平分线线段； ④探究三：三角形高的定义；课本动手探究：分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，归纳位置特点； ⑤课本练习巩固概念、作图、简单填空。 探究一 ：三角形的中线 1. 定义：连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线。 符号语言： ∵AD 是△ABC 的 BC 边上的中线 ∴BD = CD = BC 思考： ①一个三角形有3条中线；三条中线都在三角形内部。 ②三角形三条中线相交于一点，这个交点叫作三角形的重心。 ③中线把三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积相等。 小组思考：如果一块均匀三角形木板，用手指顶在哪个点，木板可以保持平衡？ 答：顶在三角形三条中线的交点（重心），木板可以保持平衡。 探究二 ：三角形的角平分线 1. 定义：画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线。 符号语言： ∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC 辨析思考：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。 一个三角形有3条角平分线；三条角平分线全部在三角形内部，交于一点。 探究三 动手探究：三角形的高 1. 定义：从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的高线，简称三角形的高。 符号语言： ∵AD 是△ABC 的 BC 边上的高 ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90° 动手画图探究课本问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，完成填空： ①锐角三角形：三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内部； ②直角三角形：两条高恰好是它的两条直角边，斜边上的高在三角形内部；三条高交点在直角顶点； ③钝角三角形：一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，三条高不直接相交，但三条高所在直线交于一点。 【自学小测】 1. 填空：AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 BD=CD，AE=\(\dfrac12\)AC。 2. 判断对错 (1) 三角形的角平分线是一条射线。（×） (2) 钝角三角形有两条高在三角形的外部。（√） 【合作学习，课堂研讨】 1. 三角形的中线、角平分线、高，哪些一定全部落在三角形内部？ 答：中线、角平分线一定全部在三角形内部；高不一定，钝角三角形两条高在外部。 2. 画钝角三角形钝角边上的高，垂足落在什么位置？ 答：垂足落在这条边的延长线上。 3. 为什么三角形的一条中线可以把三角形分成面积相等两部分？ 答：分成的两个小三角形等底、等高，所以面积相等。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 中线、角平分线、高全部都是线段，不是射线、不是直线。 2. 直角三角形两条直角边互为高；钝角三角形有两条高画在三角形外部，垂足在边的延长线上。 3. 三条中线交于重心；重心在三角形木板上可以支撑起三角形。 4. 中线等分底边，同时等分三角形面积。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 课本探究路径：引出三种重要线段→中线定义与重心→角平分线定义辨析→高的定义，动手画三类三角形的高→练习巩固。 2. 核心知识点： ①中线：顶点到对边中点的线段，三条中线交于重心，平分面积； ②角平分线：内角平分交对边得到的线段； ③高：顶点向对边（或对边所在直线）作垂线段；区分锐角、直角、钝角三角形高的位置。 3. 数学思想：几何直观、动手操作、归纳对比。 【课内自测】 1. 在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 BC=8，则 BD=4。 2. 在△ABC 中，AD 是角平分线，∠BAC=80°，则∠BAD=40°。 3. 直角三角形 ABC，∠B=90°，则 AB 边上的高是线段BC。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 作图题：任意画一个钝角△ABC，画出 AB 边上的高、BC 边上的中线、∠B 的角平分线。 （作图略，注意 AB 边上的高垂足落在 AB 的延长线上） 2. 如图，AD 是△ABC 的高，AD⊥BC，BC=10，AD=4，求△ABC 的面积。 解：等于20。 B 组【能力提升】 1. 已知 AD 是△ABC 的中线，△ABD 面积为 12，求△ABC 的面积。 解：中线平分面积，\(S_{\triangle ABC}=2\times S_{\triangle ABD}=24\)。 2. 在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数。 解：∠BAC=180°30°50°=100°，AE 平分∠BAC，∠BAE=50°； AD 是高，∠BAD=90°∠B=60°； ∠DAE=∠BAD∠BAE=10°。 C 组【拓广探索・培优】 第 5 题 题目：对于下面每个三角形，分别过顶点 A 画出它的中线、角平分线和高。 解： （1）锐角三角形 中线：找出 BC 边的中点，连接点 A 和 BC 中点，得到 BC 边上的中线； 角平分线：作∠BAC 的平分线，交 BC 于一点，这条线段为三角形的角平分线； 高：过点 A 作 BC 的垂线，垂足在 BC 边上，垂线段即为高； 三条线段都在三角形内部。 （2）直角三角形，∠B=90° 中线：找出 BC 边中点，连接点 A 与 BC 中点； 角平分线：平分∠BAC，交 BC 于一点； 高：BC 边上的高就是线段 AB。 （3）钝角三角形 中线：找出 BC 边中点，连接点 A 与 BC 中点； 角平分线：平分∠BAC，交 BC 于一点； 高：过点 A 作 CB 延长线的垂线，垂足落在 CB 的延长线上，垂线段在三角形外部。 作图略。 第 6 题 题目：在△ABC 中，若 AB=2，BC=4，则△ABC 的高 AD 与 CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式。） 解： S△ABC = 1/2 × BC × AD S△ABC = 1/2 × AB × CE 所以 1/2 × BC × AD = 1/2 × AB × CE 两边同时乘 2，得 BC・AD = AB・CE 把 AB=2，BC=4 代入 4AD = 2CE AD / CE = 2 / 4 = 1 / 2 AD:CE = 1:2 答：高 AD 与 CE 的比是 1:2。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 理解三角形的中线、角平分线、高的概念，会用几何符号语言表达相关结论，能画出任意三角形的中线、角平分线、高。 2. 通过动手画图探究，知道三角形三条中线、三条角平分线、三条高（所在直线）分别交于一点；认识三角形重心。 3. 掌握锐角、直角、钝角三角形三条高的位置区别，区分 “角平分线（射线）” 和 “三角形的角平分线（线段）”，发展几何作图与推理意识。 学习重点：三角形中线、角平分线、高的定义；几何符号表达；动手作图。 学习难点：钝角三角形高的画法；区分三种线段；理解中线平分三角形面积。 【前置补偿】 1. 线段中点：把一条线段分成________的两部分的点。 2. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成________的两个角的射线。 3. 垂线：两条直线相交成________，就说这两条直线互相垂直。 【学生自学】 阅读课本，了解探究顺序： ①引入：三角形除三边外，还有中线、角平分线、高三种重要线段； ②探究一：三角形中线定义，画图，认识重心； ③探究二：三角形角平分线定义，画图，区分角平分线射线与三角形角平分线线段； ④探究三：三角形高的定义；课本动手探究：分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，归纳位置特点， 探究一 ：三角形的中线 1. 定义：连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边BC上的________。 符号语言： ∵AD 是△ABC 的 BC 边上的中线 ∴________ = ________ = BC 思考： （在右图中根据定义作出三条中线） ①一个三角形有____条中线；三条中线都在三角形________（填内部 / 外部）。 ②三角形三条中线相交于一点，这个交点叫作三角形的________。 ③中线把三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积________。 小组思考：如果一块均匀三角形木板，用手指顶在哪个点，木板可以保持平衡？ 探究二： 三角形的角平分线 1. 定义：画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的________________。 符号语言： ∵AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠________ = ∠________ = ∠BAC 辨析思考：（在右图中根据定义作出三条角平分线） 1. 角的平分线是射线，三角形的角平分线是________（填 “线段 / 射线 / 直线”）。 2. 一个三角形有____条角平分线；三条角平分线全部在三角形________，交于一点。 探究三：三角形的高 1. 定义：从△ABC的顶点A向它所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边BC上的高线，简称三角形的____。 符号语言： ∵AD 是△ABC 的 BC 边上的高 ∴AD⊥BC，∠ =∠ =90° 动手画图探究问题： 分别画出锐角三角形（1）、直角三角形（2）、钝角三角形（3）的三条高，完成填空： ①锐角三角形：三条高都在三角形________，三条高交于三角形________； ②直角三角形：两条高恰好是它的________，斜边上的高在三角形内部；三条高交点在________； ③钝角三角形：一条高在三角形内部，另外两条高在三角形________，三条高________相交，但三条高所在________交于一点。 【自学小测】 1. 填空：AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 BD= ，AE= 。 2. 判断对错 (1) 三角形的角平分线是一条射线。（） (2) 钝角三角形有两条高在三角形的外部。（） 【合作学习，课堂研讨】 1. 三角形的中线、角平分线、高，哪些一定全部落在三角形内部？ 2. 画钝角三角形钝角边上的高，垂足落在什么位置？ 3. 为什么三角形的一条中线可以把三角形分成面积相等两部分？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 中线、角平分线、高全部都是线段，不是射线、不是直线。 2. 直角三角形两条直角边互为高；钝角三角形有两条高画在三角形外部，垂足在边的延长线上。 3. 三条中线交于重心；重心在三角形木板上可以支撑起三角形。 4. 中线等分底边，同时等分三角形面积。 课堂笔记： 【总结提升】（课本知识体系梳理） 1. 课本探究路径：引出三种重要线段→中线定义与重心→角平分线定义辨析→高的定义，动手画三类三角形的高→练习巩固。 2. 核心知识点： ①中线：顶点到对边中点的线段，三条中线交于重心，平分面积； ②角平分线：内角平分交对边得到的线段； ③高：顶点向对边（或对边所在直线）作垂线段；区分锐角、直角、钝角三角形高的位置。 3. 数学思想：几何直观、动手操作、归纳对比。 【课内自测】 1. 在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 BC=8，则 BD=________。 2. 在△ABC 中，AD 是角平分线，∠BAC=80°，则∠BAD=________。 3. 直角三角形 ABC，∠B=90°，则 AB 边上的高是线段________。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 作图题：任意画一个钝角△ABC，画出 AB 边上的高、BC 边上的中线、∠B 的角平分线。 2. AD 是△ABC 的高，AD⊥BC，BC=10，AD=4，求△ABC 的面积。 B 组【能力提升・选做】 3. 已知 AD 是△ABC 的中线，△ABD 面积为 12，求△ABC 的面积。 4. 在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数。 C 组【拓广探索・培优】 5. 对于下面每个三角形，分别过顶点A画出它的中线、角平分线和高. 6. 如图，在△ABC中，若AB=2，BC=4，则△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式.） 学科网（北京）股份有限公司 $