江苏省南通市崇川区2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷

**基本信息** 聚焦轴对称与全等三角形，以公园长廊、折纸游戏等现实情境及“手拉手模型”为载体，分层考查几何直观、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形判定、全等三角形判定、角平分线性质|结合平面镜成像坐标考查轴对称应用| |填空题|6/22|角平分线性质、轴对称作图、动态几何|以折纸游戏动态过程考查全等与轴对称综合| |解答题|9/98|垂直平分线性质、全等证明、模型探究|设计“手拉手模型”探究题，培养推理意识与创新应用能力|

江苏省南通市崇川区2026-2027学年八年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教版八年级上册第14-15章 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是    ． A. B. C. D. 2.如图，点、、、在同一直线上，，，添加以下一个条件，仍不能判断的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交边于点，则的度数为． A. B. C. D. 4.在中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，某公园有一条“”字形长廊，其中，在，，三段长廊上各有一座凉亭，，，已知是的中点，，，在一条直线上凉亭与之间有一池塘，要想知道与之间的距离，可测量的等效长度是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，这是蜡烛的平面镜成像原理图，以水平面为轴，镜面侧面为轴镜面厚度忽略不计建立平面直角坐标系若某时刻火焰顶端的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，是中线，有下面四个结论： 与的面积相等； ； 若点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，则的面积比的面积大； 点，是，所在直线上的两个动点点与点不重合，若，连接，，则． 所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在 中， ， ，点，是边 上的两个定点，点，分别是边 ， 上的两个动点．当四边形 的周长最小时， 的大小是     ． A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.如图，，，，则          ． 12.如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则          ． 13.如图，一个大正方形由个大小相同的小正方形组成，其中个小正方形已被涂成灰色如果要再将一个小正方形涂成灰色，使涂灰部分成为一个轴对称图形，那么一共有          种涂法． 14.如图，在中，，平分，，若，，则的长为        ． 15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图；第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为          ． 16.如图，动点与线段构成，其边长满足，，点在的平分线上，且，则的取值范围是          ，的面积的最大值为          ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上． 在图中作出关于直线对称的；要求：与，与，与相对应 若有一格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有          个； 在直线上找一点，使的值最小． 18.本小题分 如图，，，三点在同一直线上，且． 求证：； 请你猜想满足什么条件时，． 19.本小题分 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． 求证：． 若，，，求的长． 20.本小题分 如图，中，，平分交于点，为线段上一点，连接，且若，，求的长． 21.本小题分 如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． 若，求的度数； 求证： 22.本小题分 如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． 求的度数； 证明：是等边三角形． 23.本小题分 如图，在中，为边上的高，是的平分线，为上一点，连接，． 求证：平分； 连接交于点，若，求证：； 在的条件下，当，时，求线段的长． 24.本小题分 在等腰三角形中，，的垂直平分线分别交，于，两点． 如图，连接，若，的周长为，则的长为          ． 若是的中线，如图，交于点，若，求证． 如图，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边三角形，连接，若，直接写出的最小值． 25.本小题分 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 如图，两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ______ ，此时和的数量关系是 ______ ； 如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 如图，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省南通市崇川区2026-2027学年八年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 【答案】 1.B 2.C 3.A 4.C5.C 6.A7.A 8.C 9.B 10.B 11.15 12.120 13.5 14.16cm 15号或2.3 16号 45 4 17.【小题1】 解：如图所示，△A1BC1即为所求： 【小题2】 4 【小题3】 如图所示，点Q即为所求. 18.【小题1】 证明：因为△BAD≌△ACE,所以AD=CE,BD=AE. 第1页，共18页 因为A,D,E三点在同一直线上，所以AE=AD+DE,所以BD=DE+CE. 【小题2) 当∠ADB=90▣时，BD//CE, 因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠E=90☐°， 所以∠BDE=∠E=90口°，所以BD/1CE 19.【小题1】 证明：如图，连接AE, A ED C .EF垂直平分AB,∴.BE=AE, ,AD⊥CE,且D是EC的中点， ∴.AD垂直平分EC,∴AC=AE, .∴.BE=AC 【小题2】 .∠BAC=90°，∠B=30°，AC=8, ∴.BC=2AC=16,∠C=90°-∠B=60°， AD⊥CE,∴.∠ADC=90°， ∴.∠DAC=90°-∠C=30°， GD-AC-4..BD=BC-CD=12. 20.解：过D点作DF⊥AB于F点，如图， .'AD平分∠BAC,DF⊥AB,DC⊥AC, F E ∴.DF=DC, 第2页，共18页 在△BDF和△EDC中， 2B=∠CED ∠BFD=∠ECD, DF=DC △BDF≌△EDC(AAS), .∴.BF=CE=11, .AB=32, .AF=32-11=21, 在Rt△ADC和Rt△ADF中， AD=AD DC=DF' .∴.Rt△ADC≌Rt△ADF(HL), ..AC=AF=21, .∴.AE=AC-CE=21-11=10. 21.【小题1】 解：AB=AC, .∠C=∠ABC .∠C=36 .∴.∠ABC=36 第3页，共18页 BD=CD'AB=AC' .AD⊥BC ∴.∠ADB=90' ∴.∠BAD=90°-36°=54° 【小题2】 证明：.BE平分∠ABC, 1 ∴.∠FBE=∠CBE=5∠ABC, 2 EF//BC' ∴.∠CBE=∠FEB' .∠FBE=∠FEB' ∴.FB=FE 22(1解：在△ABC中，AB=AC'∠BAC=120 ∠B=∠C=3×180.∠BMCj=30, 'BD=BE' .∠BDE=∠BED=x(180°-∠B=75°， 2 在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线， 第4页，共18页 .AD⊥BC' ∴.∠ADB=90 ∴.∠ADE=∠ADB-∠BDE=15 (2证明：：CD的垂直平分线MF交AC于F'交BC于M: ∴.DF=CF ,∠C=30° ∴.∠FDC=∠C=30 ∴.∠AFD=∠C+∠FDC=60' .AD⊥BC'AB=AC'∠BAC=120 ·∠DAF=号∠BAC=60, ∴.∠ADF=60 即∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°， ∴△ADF是等边三角形. 23.【小题1】 证明：.AE是∠BAD的平分线，∴.∠BAD=2∠BAF..'∠BFE=45°，.∠FBA+∠BAF=45°， ∴.2∠FBA+2∠BAF=90°..AD为BC边上的高，∴.∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°， ∴.2∠FBA=∠EBF+∠FBA,∴.∠FBA=∠EBF,∴.BF平分∠ABE. 【小题2】 第5页，共18页 证明：如图，过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N. G B EM ,BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,.∴.FM=FN..'S△ABF=S△CBF,即 BA=BC. AB:PN=BC~FPM,AB=BC.在△ABF和ACBF中， ∠ABF=∠CBF,.∴.△ABF≌ BF=BF, △CBF(SAS),∴.∠AFB=∠CFB..'∠BFE=45°，.∴.∠AFB=135°，∴.∠CFB=135°， ∴.∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-45°=90°，.∴.∠AFC=90°. 【小题3】 解：.'△ABF≌△CBF,∴.AF=FC..∠AFC=∠ADC=90°，∠AGF=∠CGD, ∠AFG=∠CFE, ∴.∠FAG=∠FCE.在△AFG和△CFE中， AF=CF,∴.△AFG≌△CFE(ASA), ∠FAG=∠FCE, ∴.AG=EC=4.5..BE=3,∴.BC=BE+EC=7.5..△ABF≌△CBF,∴AB=BC=7.5. 24.【小题1】 7 【小题2】 解法1：如图，连接OB,OC,过点O作OH⊥AC,垂足为H. 第6页，共18页 A D OAH B .AB=AC,F是BC的中点， ∴.AF垂直平分BC. .∴.OB=OC ,DE是AB的垂直平分线， .∴.OA=OB,∠ADE=90°. ∴.OA=OC .∠BAC=30°， ∴.AE=2DE,∠AED=60°. .∠H0E=30,HE=号OE. OA=OC, '.AH-HG-AE-HE-2DE-OE, EC-HC-HE-AH-HE-2DE-OE-OE-2DE-OE-20D+0E. 解法2：如图，延长OD到点N,使DO=DN,连接BE,AN 第7页，共18页 O八E B 'DE是AB的垂直平分线， .∴.AE=BE,AN=AO .AB=AC,F是BC的中点，∠BAC=30°， ∴.∠BAF=∠CAF=15, ∴.∠NAD=∠OAD=15°， ∴.∠NAE=451 .∠BAE=∠ABE=30°， ∴.∠AED=∠BED=60°. ∴.∠BEC=60°=∠AEN .∠ABC=∠C=75, .∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=45°=∠NAE. ∴.△NAE≌△CBE .NE=CE=ON+OE=2OD+OE. 【小题3】 33 4 25.解：(1)△AEC:BD=CE】 因为∠DAE=∠BAC, 所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE. 第8页，共18页 所以∠DAB=∠EAC, 在△DAB和△EAC中， AD-AE ∠DAB=∠EAC, AB-AC 所以△DAB≌△EAC(SAS), 所以BD=CE, 故答案为：△AEC,BD=CE: (2)BD=CE且BD⊥CE: 理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°， 所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE. 所以∠DAB=∠EAC. 在△DAB和△EAC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC, AB=AC 所以△DAB≌△EAC(SAS), 所以BD=CE,∠DBA=∠ECA, 因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°， 所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°， 即∠DBC+∠ECB=90°， 所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB)=90°， 所以BD⊥CE, 综上所述：BD=CE且BD⊥CE: (3)如图3所示，BE=CD,∠PBC+∠PCB=60°： 第9页，共18页 D 图3 因为△ABD和△ACE是等边三角形， 所以AD=AB,AC=AE,∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°， 所以∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 所以∠CAD=∠EAB. AD=AB 在△ACD和△AEB中，可以得到 ∠CAD=∠EAB. AC=AE 所以△ACD≌△AEB(SAS), 所以CD=BE,∠ADC=∠ABE, 所以∠BPD=180°-∠PBD-∠BDP =180°-∠ABE-∠ABD-∠BDP=180°-∠ABD-(∠ABE+∠BDP） =180°-∠ABD-(∠ADC+∠BDP=180°-∠ABD-∠ADB =60°， 所以∠PBC+∠PCB=∠BPD=60°. 【解析】 1.略 2.解：因为FA=DC, 所以FD=CA, 因为AB/IDE, 所以∠BAC=∠EDF, A、由平行线的性质推出∠C=∠F,由ASA判定△ABC≌△DEF,故A不符合题意： B、由SAS判定△ABC≌△DEF,故B不符合题意； 第10页，共18页 C、∠BAC和∠EDF分别是BC和EF的对角，不能判定△ABC≌△DEF,故C符合题意： D、由AAS判定△ABC≌△DEF,故D不符合题意. 故选：C. 3.略 4..∠B=∠C,.∴.AB=AC=5 5.·ED是AB的垂直平分线，∴.EA=EB, .GF是AC的垂直平分线，∴.GA=GC, ,∴.△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7. 6.解：.AB//CD, .∠B=∠C :点F是BC的中点， ∴.FB=FC' 在△FEB与△FGC中， ∠B=∠C FB=FC ∠BFE=∠CFG ·.△FEB≌△FGC(ASA): ∴.FE=FG :,要想知道F与G之间的距离，可测量的等效长度是EF 故选：A. 证明△FEB≌△FGC(ASA),得FE=FG即可. 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键， 第11页，共18页 7.,'AD平分∠BAC,∴.点D到AB和AC的距离相等. :DE⊥AC于点E'且DE=3: ∴.点D到AB和AC的距离都是3， 三Sa=Sao+5an×3AB+X3AC, 1 .AB=8'AC=6 ×3×8+1×3×6=12+9=21. ·SAABC=2 2 8.略 9.解：①如图①，作AE⊥BC,垂足为E. .D为BC中点， ..BD=CD, S△ABD= BD.AE 2 =1CD·AE, ,S△ACDF2 ∴.S△ABD=S△ACD, 故说法①正确。 D EC 图① ②延长AD,使得ED=AD,则△ADB≌△EDC, .∴.AB=CE, ∴.AE<AC+EC, 号证nc+Ec AD<(AC+AB), 故说法②正确. 第12页，共18页 的 图② ③如图③，作CE⊥AD垂足为E,BF⊥AD与F, 则△BFD≌△CED, ∴.BF=CE, F.AP SAABP=2 S△AC =1CE.AP, .S△ABP=S△ACP, 故说法③错误。 A D 图③ ④如图④ Q D 图④ :DP=DQ,∠PDB=∠QDC,DB=DC, 第13页，共18页 ∴.△PBD≌△QDC(SAS), ∴.∠BPQ=∠CQP, ∴.PB/1QC,故④正确. 故选B」 ①由中线性质可知，两个三角形等底等高，面积相等； ②构造倍长线段，利用三角形三边关系解答： ③构造全等三角形，比较两个三角形的高，进而比较两个三角形的面积； ④构造全等三角形，得到内错角相等，从而判断PB/1QC 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积、平行线的判定，作出适当辅助线是解题的关键. 10.【分析】 本题主要考查轴对称一一最短路径的运用，掌握最短路径的的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的 内角和、外角的性质的综合运用.根据题意，分别作点D关于BC,E关于AM的对称点D,E,根据两 点之间线段最短可确定点M,N的位置为点M,N,此时四边形DEMN的周长最小，根据对称的性质可 得∠AEM=∠AEM,∠ND'P=∠NDP,根据三角形的外角的性质可得 ∠EMNW+∠DNM=2∠AEM+2∠ND'P ,根据直角三角形中两锐角互余可得出 ∠AEM=90°-∠1∠ND'P≤90°-∠3 ,运用等量代换即可求解 【解答】 解：如图所示，作点E关于AC的对称点E,作点D关于BC的对称点D,连接DE交BC,AC于点 N,M, B D 第14项，共18页 .根据两点之间线段最短，可得EM+MN+ND的值最小， .四边形DEMN的周长最小值为DE+EM+MN+ND', ,在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，即△ABC是等腰直角三角形， .∠B=∠C=45°， 在△CMN中， ∠1+∠3+∠C=180°， .∠1+∠3=180°-45°=135°， 根据对顶角的性质可得，∠1=∠2，∠3=∠4， 根据对称的性质可得，∠MAE=90°，∠NPD=90°，∠AEM=∠AEM,∠NDP=∠NDP, ∴.∠EM'N=2∠AE'M∠DNM=2∠WD'P Rt△AME Rt△PND 在 中， .∠AEM=90°-∠2=90°-∠1∠NDP=90°-∠4=90°-∠3 .∠DNf+∠EMN=2∠AE'M+2∠WDP =2(90°-∠1)+2(90°-∠3) =360°-2（∠1+∠3） =360°-2×135 =90°， ∴.当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°， 故选：B 11.略 12.【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三角 形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得 解。 【详解】.‘点O在△ABC内，且到三边的距离相等， ∴点O是三个角的平分线的交点， .∠0BC+∠0CB=∠ABC+∠ACB)=2(180°.∠A)=180-60)=60, 第15页，共18页 在△BC0中，∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120° 故答案为120° 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义， 熟记性质并判断出点O是三个角的平分线的交点是解题的关键. 13 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 共有5种画法. 故答案为5. 14.解：.∠EBC=∠E=60°， ∴.∠EBC=∠E=∠EFB=60' △BEF为等边三角形， ∴.BF=BE=EF=10cm'∠BFE=60o' :AB=AC'AD平分∠BAC: .AD⊥BC'BD=CD EG=6cm' .∴.GF=EF-EG=4cm 在Rt△GFH中，DF=GF=2cm, .BD=BF-DF=10-2=8(cm)' 第16页，共18页 .'BC=2BD=16cm 故答案为：16cm. 先证明△BEF为等边三角形得到BF=BE=EF=10cm,∠BFE=60°，再根据等腰三角形的性质得到 AD⊥BC,BD=CD,接若计算出GF=4cm,则DF=号GF=2cm,然后计算出BD,从而得到BC的 长 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，解题时注意：在直角三角形中，0°角所 对的直角边等于斜边的一半.能求出BF、DF的长是解决问题的关键。 15.【分析】 本题主要考查了翻折问题，含30°角的直角三角形，全等三角形的性质.翻折属于全等变换，对应角和对 应边相等，这是解题的关键，当点D'恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论 分两种情形解答：①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，由题意：△ADC≌△A'DC≌ △A'D'C,则∠EA'D=∠EA'D'=∠A=60°，AD=A'D=A'D',A'C=AC=1:A'C垂直平 分线段DD,利用SAr=AC~BC=号AB-CR,可求得CE,则AE=A'C-CE,解直角三角形 A'D'E可求线段A'D';②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，由题意：△ADC≌△A'DC ≌△A'D'C,则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1, 2ACD=∠A'CD=∠A'CD'=∠ACB=30°，在Rt△A'D'C中，利用30所对的直角边等于斜 边的一半可得结论. 【解答】 解：①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A'C交AB边于点E,如图， D 由折叠知：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C,则∠EA'D=∠EA'D'=∠A=60°， 第17页，共18页 AD=A'D=A'D',A'C垂直平分线段DD',AC=A'C=1, 因为∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1, 所以AB=2,BC=V3」 因为SAAx号ACBC=号AB·CE. 所以AC·BC=AB·CE, 1×3=2xCE,CE=3 A'E=A'C-CE=1- 3 2” 在△A'DE中，A'E=3A'D 所以A'D'=2-3. ②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图， 由题意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C,∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=吉∠ACB=30: 则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1. 因为∠D'A'C=60°，∠A'CD'=30, 所以∠A'D'C=90°， 所以ADAC=x1- 2 第18页，共18页 综上，线段A'D'的长为：2或2-3. 故答案为：或2-3. 16.【分析】在△ABC中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之 差小于第三边”可知AC+BC>AB,代入数值即可确定a的取值范围；延长AD、CB交于点E,首先利 用“ASA”证明△ACD≌△ECD,由全等三角形的性质可得AC=EC=2a+2,AD=ED,进而可求 得BE=5,结合三角形中线的性质易知S△ABD:S△AE=1:2,确定△ABE面积的最大值，即可获得答案。 【详解】解：，在△ABC中，AC+BC>AB, .2a+2+2a-3>9, 解得a> 如下图，延长AD、CB交于点E. .CD为∠ACB的平分线， ∴.∠ACD=∠ECD, 在△ACD和△ECD中， ∠ACD=∠ECD CD=CD ∠ADC=∠EDC=90° ∴.△ACD≌△ECD(ASA), .AC=EC=2a+2,AD=ED, .CB=2a-3, ∴.BE=2a+2-（2a-3)=5, 'AD=ED, .SAABD:S△ABE=1:2, 第19页，共18页 当BE⊥AB时，△ABE的面积取最大值， 即△ABE的面积最大值=号×9×5=45」 △ABD的面积的最大值为45 545 故答案为：a> 2’4 本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线 的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键， 17.1.略 2.略 3.略 18.1.略 2.略 19.1.略 2.略 20.解：过D点作DF⊥AB于F点，如图， A .AD平分∠BAC,DF⊥AB,DC⊥AC, ∴.DF=DC, B D 在△BDF和△EDC中， ∠B=∠CED ∠BFD=∠ECD DF=DC 第20页，共18页 ∴.△BDF≌△EDC(AAS). .∴.BF=CE=11, AB=32, .AF=32-11=21, 在Rt△ADC和Rt△ADF中， AD-AD DC=DF' ∴.Rt△ADC≌Rt△ADF(HL), .∴.AC=AF=21, .∴.AE=AC-CE=21-11=10 过D点作DF⊥AB于F点，如图，先根据角平分线的性质得到DF=DC,再证明△BDF≌△EDC得到 BF=CE=11,所以AF=21,接着证明Rt△ADC≌Rt△ADF得到AC=AF=21,然后计算AC-CE即 可 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了全等三角形的判定与性 质 21.1.本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 2.只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问恩. 本题考查角的平分线，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型， 22.本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及 三角形外角的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键 (1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C进而求出∠BDE:再求出 第21页，共18页 ∠ADB=90°，即可求出答案； (2)根据垂直平分线的性质得出DF=CF:根据等腰三角形的性质求出∠FDC=∠C:求出∠AFD和 ∠DAF,进而求出∠ADF,根据等边三角形的判定得出即可. 23.1.略 2.略 3.略 24.1.略 2.略 3够 25.详细解答和解析过程见【答案】 第22页，共18页江苏省南通市崇川区2026-2027学年八年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教版八年级上册第14-15章 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 2.如图，点F、A、D、C在同一直线上，FA=DC,AB//DE,添加以下一个条件，仍不能判断△ABC≌△ DEF的是() A.BC//EF B.AB =DE C.BC=EF D.LB=∠E B 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB,BC于点D, E,再分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧交于点F,作射线BF交边AC于点M,则∠BMC的度数 为() A.65° B.60° C.45 D.30° 第1页，共10页 D M 4.在△ABC中，∠B=∠C,AC=5,则AB的长为() A.3 B.4 c.5 D.6 5.如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC, BC于点F,G,则△AEG的周长为() A.5 B.6 C.7 D.8 D B 6.如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD,其中AB//CD,在AB,BC,CD三段长廊上各有一座凉亭E, F,G,己知F是BC的中点，E,F,G在一条直线上凉亭F与G之间有一池塘，要想知道F与G之间的距离，可 测量的等效长度是() A.EF B.BE C.CF D.BF 7.如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,过D作DE⊥AC于点E,且DE=3,则△ ABC的面积为() A.21 B.24 C.27 D.30 E D 第2页，共10页 8.如图，这是蜡烛的平面镜成像原理图，以水平面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直 角坐标系若某时刻火焰顶端S的坐标是(x-2,2),此时对应的虚像S'的坐标是(3，y),则3x+y=() S X A.1 B.0 C.-1 D.-2 9.如图，△ABC中，AB>AC,AD是中线，有下面四个结论： ①△ABD与△ACD的面积相等： ②AD<(AB+AC): ③若点P是线段AD上的一个动点（点P不与点A,D重合），连接PB,PC,则△ABP的面积比△ACP的面积大 ④点P,Q是A,D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若DP=DQ,连接PB,QC,则PB//QC. 所有正确结论的序号是() B D A.①②③④ B.①②④ c.②③ D.①③④ 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D,E是边AB上的两个定点，点M,N分别是边AC,BC 上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是(). E D A.45° B.90° C.75 D.135 第I卷 第3页，共10页 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.如图，△ABE≌△ACD,∠B=60°，LAEB=75°，则LCAE=一， 12.如图，点0在△ABC内，且到三边的距离相等，若LA=60°，则∠B0C=一 13.如图，一个大正方形由9个大小相同的小正方形组成，其中2个小正方形已被涂成灰色.如果要再将一个小 正方形涂成灰色，使涂灰部分成为一个轴对称图形，那么一共有种涂法. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,∠E=∠EBC=60°，若BE=10cm,EG=6cm,则BC 的长为一· B DF C 15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第 一步，在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在 D'处，如图3当点D恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为一· 第4页，共10页 图1 图2 图3 16.如图，动点C与线段AB构成△ABC,其边长满足AB=9,CA=2a+2,CB=2a一3.点D在LACB的平 分线上，且LADC=90°，则a的取值范围是，△ABD的面积的最大值为一， B 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都 在格点上) (1)在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1:(要求：A与A1,B与B1,C与C1相对应) (2)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB),则网格中满足条件的点P共有个； (3)在直线l上找一点Q,使QB+QC的值最小. 18.(本小题10分) 第5页，共10页 如图，A,D,E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE. E (1)求证：BD=DE+CE: (2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD/CE. 19.(本小题10分) 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC,AB于点E,F,过点A作AD 1 BC于点D,且D为线 段CE的中点. A B ED C (1)求证：BE=AC. (2)若∠BAC=90°，∠B=30°，AC=8,求BD的长. 第6页，共10页 20.(本小题10分) 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分LBAC交BC于点D,E为线段AC上一点，连接DE,且∠B=∠CED.若 AB=32,CE=11,求AE的长. E 21.(本小题10分) 如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD,BE平分LABC交AC于点E,过点E作EF//BC 交AB于点F. D (1)若LC=36°，求LBAD的度数： (2)求证：FB=FE. 第7页，共10页 22.(本小题10分) 如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，且BD=BE,CD的垂直平分线MF交 AC于F,交BC于M. E D M (1)求∠ADE的度数： (2)证明：△ADF是等边三角形 23.(本小题12分) 如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的平分线，F为AE上一点，连接BF,∠BFE=45. G B E (1)求证：BF平分LABE: (2)连接CF交AD于点G,若S△ABF=S△CBF,求证：∠AFC=90°： (3)在(2)的条件下，当BE=3,AG=45时，求线段AB的长. 第8页，共10页 24.(本小题13分) 在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点， D O 图① 图② 图③ (1)如图①，连接BE,若AD=6,△BEC的周长为19，则BC的长为_ (2)若AF是△ABC的中线，如图②，AF交DE于点O,若∠BAC=30°，求证EC=20D+OE (3)如图③，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN,作等边三角形MNP,连接AP,若AF=11, 直接写出AP的最小值. 第9页，共10页 25.(本小题13分) 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形 构成在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模 型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE、如 果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大 手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是一一一，此时BD和CE 的数量关系是 (2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD,CE,两线交于点P,请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，己知△ABC,请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE(等边三 角形三条边相等，三个角都等于60)，连接BE,CD,两线交于点P,并直接写出线段BE和CD的数量关系及 ∠PBC+∠PCB的度数， C B 图1 图2 图3 第10页，共10页 江苏省南通市崇川区2026-2027学年八年级上学期 第一次月考数学模拟试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教版八年级上册第14-15章 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 2.如图，点、、、在同一直线上，，，添加以下一个条件，仍不能判断的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为， 所以， 因为， 所以， A、由平行线的性质推出，由判定≌，故A不符合题意； B、由判定≌，故B不符合题意； C、和分别是和的对角，不能判定≌，故C符合题意； D、由判定≌，故D不符合题意． 故选：． 3.如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交边于点，则的度数为． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 4.在中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，． 5.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】是的垂直平分线，， 是的垂直平分线，， 的周长． 6.如图，某公园有一条“”字形长廊，其中，在，，三段长廊上各有一座凉亭，，，已知是的中点，，，在一条直线上凉亭与之间有一池塘，要想知道与之间的距离，可测量的等效长度是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ≌， ， 要想知道与之间的距离，可测量的等效长度是， 故选：． 证明≌，得即可． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 7.如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】平分，点到和的距离相等． 于点，且， 点到和的距离都是， ， ，， ． 8.如图，这是蜡烛的平面镜成像原理图，以水平面为轴，镜面侧面为轴镜面厚度忽略不计建立平面直角坐标系若某时刻火焰顶端的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 9.如图，中，，是中线，有下面四个结论： 与的面积相等； ； 若点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，则的面积比的面积大； 点，是，所在直线上的两个动点点与点不重合，若，连接，，则． 所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，作，垂足为． 为中点， ， ，， ， 故说法正确．   延长，使得，则≌， ， ， ， ， 故说法正确．   如图，作垂足为，与， 则≌， ， ，， ， 故说法错误．   如图． ，，， ≌， ， ，故正确． 故选． 由中线性质可知，两个三角形等底等高，面积相等； 构造倍长线段，利用三角形三边关系解答； 构造全等三角形，比较两个三角形的高，进而比较两个三角形的面积； 构造全等三角形，得到内错角相等，从而判断． 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积、平行线的判定，作出适当辅助线是解题的关键． 10.如图，在 中， ， ，点，是边 上的两个定点，点，分别是边 ， 上的两个动点．当四边形 的周长最小时， 的大小是     ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查轴对称最短路径的运用，掌握最短路径的的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角的性质的综合运用．根据题意，分别作点的对称点 ，根据两点之间线段最短可确定点 的位置为点 ，此时四边形 的周长最小，根据对称的性质可得 ， ，根据三角形的外角的性质可得 ，根据直角三角形中两锐角互余可得出 ， ，运用等量代换即可求解． 【解答】 解：如图所示，作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ， 根据两点之间线段最短，可得 的值最小， 四边形 的周长最小值为 ， 在 中， ， ，即 是等腰直角三角形，  ， 在 中，  ，  ， 根据对顶角的性质可得， ， ， 根据对称的性质可得， ， ， ， ，  ， ， 在 ， 中，  ， ，  ， 当四边形 的周长最小时， 的大小是 ， 故选： ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.如图，，，，则          ． 【答案】  【解析】略 12.如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则          ． 【答案】  【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点是三个角的平分线的交点，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】点在内，且到三边的距离相等， 点是三个角的平分线的交点，       ， 在中，． 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并判断出点是三个角的平分线的交点是解题的关键． 13.如图，一个大正方形由个大小相同的小正方形组成，其中个小正方形已被涂成灰色如果要再将一个小正方形涂成灰色，使涂灰部分成为一个轴对称图形，那么一共有          种涂法． 【答案】  【解析】 共有种画法． 故答案为． 14.如图，在中，，平分，，若，，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：， ， 为等边三角形， ，， ，平分， ，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 先证明为等边三角形得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，接着计算出，则，然后计算出，从而得到的长． 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，解题时注意：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．能求出、的长是解决问题的关键． 15.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图；第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应角和对应边相等，这是解题的关键，当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论． 分两种情形解答：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，， ；垂直平分线段；利用，可求得，则，解直角三角形可求线段；点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，，；在中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得结论． 【解答】 解：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，设交边于点，如图， 由折叠知：≌≌，则，，  垂直平分线段，， 因为，，， 所以，． 因为， 所以， 即，， ， 在中，， 所以． 点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：≌≌，； 则，． 因为，， 所以， 所以． 综上，线段的长为：或． 故答案为：或． 16.如图，动点与线段构成，其边长满足，，点在的平分线上，且，则的取值范围是          ，的面积的最大值为          ． 【答案】   【解析】【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：在中，， ， 解得 ． 如下图，延长交于点．      为的平分线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即的面积最大值， 的面积的最大值为． 故答案为：，． 本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点即三角形的顶点都在格点上． 在图中作出关于直线对称的；要求：与，与，与相对应 若有一格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有          个； 在直线上找一点，使的值最小． 【答案】(1)解：如图所示，△A1B1C1即为所求；  (2)4  (3)如图所示，点Q即为所求．   【解析】 略  略  略 18.本小题分 如图，，，三点在同一直线上，且． 求证：； 请你猜想满足什么条件时，． 【答案】(1)证明：因为，所以，. 因为A，D，E三点在同一直线上，所以，所以.   (2)当时，， 因为，所以， 所以，所以.   【解析】 略  略 19.本小题分 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． 求证：． 若，，，求的长． 【答案】(1)证明:如图,连接AE, EF垂直平分AB,BE=AE, ADCE,且D是EC的中点, AD垂直平分EC,AC=AE, ​​​​​​​BE=AC.   (2)BAC=,B=,AC=8, BC=2AC=16,C=-B=, ADCE,ADC=, DAC=-C=, ​​​​​​​CD=AC=4,BD=BC-CD=.   【解析】 略  略 20.本小题分 如图，中，，平分交于点，为线段上一点，连接，且若，，求的长． 【答案】解：过点作于点，如图， 平分，，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ．  【解析】解：过点作于点，如图， 平分，，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ． 过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，再证明≌得到，所以，接着证明≌得到，然后计算即可． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 21.本小题分 如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． 若，求的度数； 求证： 【答案】(1)解：∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC， ∵∠C=36°， ∴∠ABC=36°， ∵BD=CD，AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°-36°=54°．  (2)证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠FBE=∠CBE=∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠CBE=∠FEB, ∴∠FBE=∠FEB， ∴FB=FE．  【解析】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．  只要证明即可解决问题． 本题考查角的平分线，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22.本小题分 如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． 求的度数； 证明：是等边三角形． 【答案】解：在中，，， ， ， ， 在中，，是边上的中线， ， ， ； 证明：的垂直平分线交于，交于， ， ， ， ， ，，， ， ， 即， 是等边三角形．  【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，进而求出，再求出，即可求出答案； 根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出和，进而求出，根据等边三角形的判定得出即可． 23.本小题分 如图，在中，为边上的高，是的平分线，为上一点，连接，． 求证：平分； 连接交于点，若，求证：； 在的条件下，当，时，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAD＝2∠BAF．∵∠BFE＝45°，∴∠FBA+∠BAF＝45°，∴2∠FBA+2∠BAF＝90°．∵AD为BC边上的高，∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°，∴2∠FBA＝∠EBF+∠FBA，∴∠FBA＝∠EBF，∴BF平分∠ABE．  (2)证明：如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N． ∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB，∴FM＝FN．∵S△ABF＝S△CBF，即，∴AB＝BC．  在△ABF和△CBF中，∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴∠AFB＝∠CFB．∵∠BFE＝45°，∴∠AFB＝135°，∴∠CFB＝135°，∴∠CFE＝∠CFB-∠BFE＝135°-45°＝90°，∴∠AFC＝90°．   (3)解：∵△ABF≌△CBF，∴AF＝FC．∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD，∴∠FAG＝∠FCE．  在△AFG和△CFE中，∴△AFG≌△CFE(ASA)，∴AG＝EC＝4.5．∵BE＝3，∴BC＝BE+EC＝7.5．∵△ABF≌△CBF，∴AB＝BC＝7.5．  【解析】 略  略  略 24.本小题分 在等腰三角形中，，的垂直平分线分别交，于，两点． 如图，连接，若，的周长为，则的长为          ． 若是的中线，如图，交于点，若，求证． 如图，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边三角形，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)7  (2)解法1:如图,连接OB,OC,过点O作OHAC,垂足为H. ​​​​​​​AB=AC,F是BC的中点, AF垂直平分BC. OB=OC. DE是AB的垂直平分线, OA=OB,ADE=. OA=OC. BAC=, AE=2DE,AED=. HOE=,HE=OE. OA=OC, AH=HC=AE-HE=2DE-OE. EC=HC-HE=AH-HE=2DE-OE-OE=2DE-OE=2OD+OE. 解法2:如图,延长OD到点N,使DO=DN,连接BE,AN. ​​​​​​​ DE是AB的垂直平分线, AE=BE,AN=AO. AB=AC,F是BC的中点,BAC=, BAF=CAF=, NAD=OAD=, NAE=. BAE=ABE=, AED=BED=. ​​​​​​​BEC==AEN. ABC=C=, EBC=ABC-ABE==NAE. NAECBE. NE=CE=ON+OE=2OD+OE.   (3).  【解析】 略  略  略 25.本小题分 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 如图，两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ______ ，此时和的数量关系是 ______ ； 如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 如图，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】解：；． 因为， 所以． 所以， 在和中， ， 所以≌， 所以， 故答案为：，； 且； 理由如下：因为， 所以． 所以． 在和中， ， 所以≌， 所以，， 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 综上所述：且； 如图所示，，； 因为和是等边三角形， 所以，，， 所以， 所以， 在和中，可以得到， 所以≌， 所以，， 所以 ， 所以．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第23页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $