第2章 重点突破2 不等式恒成立、能成立问题-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式恒（能）成立问题，围绕Δ法、数形结合法、分离参数法、主参换位法展开，通过二次函数与方程、不等式的联系导入，以前期二次函数性质为基础，搭建技法分类学习支架，帮助学生逐步掌握不同情境下的解题思路。 其亮点在于以逻辑推理和直观想象为核心，通过典例解析（如Δ法解决R上恒成立、数形结合处理给定范围问题）和规律方法总结，结合讲练结合的教学方式，系统梳理解题策略。学生能提升数学运算能力，教师可借助清晰的技法体系高效开展教学。

重点突破2 不等式恒成立、能成立问题 　 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元学习五 二次函数与一元二次方程、不等式 技法一　“Δ”法解决R上的恒成立问题 1 技法二　数形结合法解决给定范围上的恒成立问题 2 技法三　分离参数法解决恒(能)成立问题 3 内容索引 技法四　主参换位法解决已知参数范围的恒成立问题 4 随堂评价 5 学习目标 1.能用判别式法、数形结合法、分离参数法与主参换位法解不 等式恒(能)成立问题，提升直观想象、逻辑推理的核心素养． 2.解决不等式恒成立、能成立问题的方法灵活多变，需根据具 体的条件求解，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 技法一　“Δ”法解决R上的恒成立问题 返回 典例 1 (链教材P58T6)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y＜0恒成立， 所以其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． 所以解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1＜k≤0}． 规律方法 一元二次不等式在R上恒成立 1.ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 2.ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 3.ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 规律方法 4.ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 注意　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参数，则一定要讨论二次项系数是否为0． √ 对点练1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k＜0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k＜0.综上，实数k的取值范围是 ．故选D． 返回 技法二　数形结合法解决给定范围上的恒成立问题 返回 b 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围． 解：令y＝x2＋mx＋4， 因为y＜0在1≤x≤2上恒成立， 所以y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得解得m＜－5， 所以实数m的取值范围是{m|m＜－5}． 典例 2 规律方法 在给定范围内的恒成立问题 1.当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. 2.当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. √ 对点练2.命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.故选B． 返回 技法三　分离参数法解决恒(能)成立问题 返回 若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围是 A．{m|m≤0} B．{m|m＞0} C．{m|m≥－2} D．{m|m＜－2} 典例 3 √ 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，所以4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，所以m≥2x2－8x＋6能成立．令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，所以m≥－2，所以m的取值范围是{m|m≥－2}．故选C． 规律方法 1.不等式(恒)能成立问题，借助不等式的性质，若能将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则利用分离参数法 解题． 2.(1)m＞y恒成立⇔m＞ymax；m＜y恒成立⇔m＜ymin． (2)对一些简单的能成立(有解)问题，可转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． √ 对点练3.(1)(一题多解)已知不等式－x2＋4x－a2＋3a≥0在R上有解，则实数a的取值范围是 A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1＜a＜4} C．{a|a≥4，或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} 法一：原不等式可化为－x2＋4x≥a2－3a．由于－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，又因为－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，则实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．故选A． 法二：由题意，Δ＝16－4(－1)(－a2＋3a)≥0，整理得a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4，则实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．故选A． √ (2)若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的取值范围是 A．{t|t≤2} B．{t|t≥2} C．{t|t≤4} D．{t|t≥4} 因为x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，所以t≤＝x＋在x≥1时恒成立，所以t≤. 因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以＝4，则t≤4.故选C. 返回 技法四　主参换位法解决已知参数范围的恒成立问题 返回 已知≤m≤3，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，求实数x的取值范围． 解：因为≤m≤3时，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立， 则m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立． 当x＝2时，不等式不成立，故x≠2. 令y＝m(x－2)＋(x－2)2，m为自变量， 且≤m≤3，则其函数图象是一条线段， 故对≤m≤3时，y＞0恒成立等价于解得x＞2，或x＜－1. 所以实数x的取值范围是{x|x＞2，或x＜－1}． 典例 4 规律方法 1.在解含有参数的不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，则可以得到意想不到的效果． 2.此题中，y＝m(x－2)＋(x－2)2，≤m≤3表示一条线段，数形结合转化为端点函数值大于0，避免了分类讨论． 对点练4.对任意1≤m≤2，函数y＝mx2－mx＋m－6的值恒小于0，求实数x的取值范围． 解：y＝mx2－mx＋m－6＝(x2－x＋1)·m－6，由题意知，当1≤m≤2时，y＜0恒成立． 因为x2－x＋1＞0， 所以y是关于m的一次函数，且在1≤m≤2上随m的增大而增大，所以y＜0对1≤m≤2恒成立等价于y的最大值小于0，即2(x2－x＋1)－6＜0， 则x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2. 因此x的取值范围是{x|－1＜x＜2}． 返回 随堂评价 返回 √ 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是 A． B． C． D． 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要故选D． √ 2.(新定义)在R上定义运算：xⓧy＝x(1－y)，若∃x∈R使得(x－a)ⓧ(x＋a)＞1成立，则实数a的取值范围是 A．a＜－，或a＞ B．－＜a＜ C．－＜a＜ D．a＜－，或a＞ 由题意知，(x－a)ⓧ(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a＝ －＋a2－a＋.若∃x∈R，使得不等式(x－a)ⓧ(x＋a)＞1成立，则需函数y＝－＋a2－a＋的最大值大于1，即x＝时，y＝a2－a＋＞1成立，解得a＜－，或a＞.故选A. √ 3.对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a＜0成立的必要不充分条件是 A．a＜－3 B．a＜－4 C．a＜0 D．a＞0 因为x2－2x＋a＜0，所以a＜－x2＋2x．又因为－1≤x≤2，－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3，所以a＜－3.又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a＜0成立的必要不充分条件”．由选项可知，a＜0为其必要不充分条件．故选C． 4.对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则实数x的取值范围是___________________． {x|x＞3，或x＜－1} x2＋px＞4x＋p－3⇔(x－1)p＋x2－4x＋3＞0.设y＝(x－1)p＋x2－4x＋3，0≤p≤4表示一条线段．由题意，当0≤p≤4时，y＞0恒成立，则解得x＞3，或x＜－1，所以实数x的取值范围是{x|x＞3，或x＜－1}． 返回 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 $