第2章　习题课2　不等式的恒成立、能成立问题课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的恒成立、能成立问题，通过复习一元二次函数、方程和不等式基础，以判别式法、数形结合法、分离参数法为学习支架，衔接前后知识，引导学生从基础应用过渡到综合问题解决。 其亮点在于分类型例题解析与跟踪训练结合，通过分类讨论（如判别式法中二次项系数是否为0的讨论）培养数学思维，数形结合（如例2结合函数图象分析端点值）发展几何直观，分离参数法（如例3转化为求函数最值）强化模型意识。课堂小结梳理方法，分层作业满足不同需求，助力学生提升解题能力，方便教师高效教学。

　第二章　一元二次函数、方程和不等式 习题课2　不等式的恒成立、能成立问题 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学习目标 会用判别式法、数形结合法、分离参数法等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题． 目录 互动探究通道 高效课时作业 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 互动探究通道 类型一　判别式法解决恒成立问题 【例1】　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　 　) A．－2<a≤2 B．－2≤a≤2 C．a≥2 D．a≤2 A 互动探究通道 判别式法解决恒成立问题可以转化为一元二次不等式解集为R的情况，即： 【提醒】　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 互动探究通道 [跟踪训练1]　(2024·浙江宁波中学月考)关于x的不等式(a2－25)x2－(a＋5)x＋1≤0的解集是∅，则实数a的取值范围是(　 　) C 互动探究通道 互动探究通道 类型二　数形结合法解决恒成立问题 【例2】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． [解]　令y＝x2＋mx＋4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. ． 互动探究通道 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 互动探究通道 [跟踪训练2]　已知二次函数y＝－x2＋4x＋6，若y≥mx＋1对∀x∈{x|－1≤x≤2}恒成立，求实数m的取值范围． 解　－x2＋4x＋6≥mx＋1对∀x∈{x|－1≤x≤2}恒成立，即x2＋(m－4)x－5≤0对∀x∈{x|－1≤x≤2}恒成立． 互动探究通道 类型三　分离参数法解决恒成立问题 【例3】　(2024·辽宁大连期中)“若∀x 3x2－λx＋1>0恒成立”是真命题，则实数λ的可能取值是(　 　) C．4 D．5 A 互动探究通道 对于容易分离参数的不等式在解决恒成立问题时，可转化为m>ymax或m<ymin的形式，通过求函数y的最大值或最小值，求得参数的取值范围． 互动探究通道 [跟踪训练3]　对任意的x∈{x|1<x<4}，不等式ax2－2x＋2>0恒成立，则实数a的取值范围是(　 　) D 互动探究通道 互动探究通道 类型四　简单的能成立问题 【例4】　设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则 (　 　) A．a≤2 B．a≥2 C 互动探究通道 (1)结合二次函数图象，将能成立问题转化为端点值的问题解决； (2)对一些简单的能成立问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 互动探究通道 [跟踪训练4]　若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在{x|1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是(　 　) A．a>－4 B．a<－4 C．a>－12 D．a<－12 解析　关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在{x|1≤x≤4}内有解，等价于在{x|1≤x≤4}内(2x2－8x－4)max>a，令y＝2x2－8x－4，x∈{x|1≤x≤4}，因为抛物线的对称轴为x＝ ＝2，所以当x＝4时，函数y＝2x2－8x－4有最大值，为－4，所以a<－4，故选B． B 互动探究通道 1．知识清单 (1)不等式在R上的恒成立问题． (2)给定范围内的恒成立问题． (3)解决简单的能成立问题． 2．核心提示 (1)要注意端点值的取舍． (2)方法归纳：判别式法(如例1)，数形结合法(如例2)，分离参数法(如例3)． 互动探究通道 1．已知命题：“∀x∈R，x2＋mx＋m＋3>0”为真命题，则实数m的取值范围为(　 　) A．{m|－2<m<6} B．{m|m<－6或m>2} C．{m|－6<m<2} D．{m|m<－2或m>6} 解析　因为“∀x∈R，x2＋mx＋m＋3>0”为真命题，所以Δ＝m2－4(m＋3)<0，解得－2<m<6. A 互动探究通道 2．对任意的x>0，x2－2mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为(　 　) A．m≥1 B．m>1 C．m≤1 D．m<1 D 互动探究通道 3．设命题p：∃x∈R，x2＋2－m≤0，写出一个实数m＝ ，使得p是真命题． 解析　若命题p：∃x∈R，x2＋2－m≤0为真命题，则Δ＝0－4(2－m)≥0，解得m≥2，故可取m＝2，使得p是真命题． 4．命题“∃x∈R，x2－ax＋5<0”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 2(答案不唯一，只要满足m≥2即可) 高效课时作业 返回目录 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 基础巩固 1．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　 　) A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} 解析　关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，故选B． B 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 2．若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　 　) A．－1<a<3 B．－1≤a≤3 C．a<－1或a>3 D．a≤－1或a≥3 解析　命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3. B 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 3．若对∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0恒成立，则a的取值范围是(　 　) A．a≤4 B．a≥4 C．a≤5 D．a≥5 解析　满足题意时a≥(x2)max，结合二次函数的性质和函数的定义域可得a的取值范围是a≥4. B 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 4．(2024·广东深圳期中)已知不等式x2－ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　 　) A．a≤－4或a≥4 B．a<－4或a>4 C．－4≤a≤4 D．－4<a<4 解析　因为不等式x2－ax＋4<0的解集为空集，所以a2－16≤0，解得－4≤a≤4. C 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 5．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是 (　 　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} 解析　因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，所以只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． A 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 6．(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是(　 　) A．a<1 B．a≤1 C．a<2 D．a<0 解析　显然a≤0时恒成立，又由解得0<a<1，综上，ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.故选BC． BC 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 7．若命题“∀x∈R，(a＋1)x2＋x＋1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为 ． 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 8．当2≤x≤6时，关于x的不等式mx2－2mx－5<0恒成立，则m的取值集合是 . 解析　当m＝0时，－5<0，显然恒成立． 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 9．已知关于x的不等式2x2＋bx＋c<0的解集是{x|1<x<5}． (1)求b，c的值； (2)若对于任意x∈R，不等式tx2＋cx＋b≤0恒成立，求实数t的取值范围． 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 10．已知y＝x2－(a＋1)x＋a. (1)若a＝2，求y≤0的解集A； (2)若对一切x>2的实数，y≥3x－7恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝2时，y≤0，即x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，故集合A＝{x|1≤x≤2}． (2)对一切x>2的实数，y≥3x－7恒成立，即x2－4x＋7≥a(x－1)恒成立， 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 能力提升 11．(2023·甘肃白银期末)已知p：2a＋3<0和q：∃x∈R，x2－(2a－1)x＋1<0均为真命题，则p是q的(　 　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 12．已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是(　 　) A．a<9 B．a≤9 C．a<10 D．a≤10 B 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 13．已知p：∃x≠0，mx2－x＋1≤0，q：∀x∈R，2x2－mx＋2>0. (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)若p，q中至少有一个为真命题，求m的取值范围． 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 新视野　素养·情境·思想 14．(数学运算)已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． 解　y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　∵对任意的x∈{x|1<x<4}，ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>对任意的x∈{x|1<x<4}恒成立．设y＝＝－＋＝－2＋，∵x∈{x|1<x<4}， ∴<<1，∴当＝，即x＝2时，函数y＝的最大值为，∴实数a的取值范围是a>. $