第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，涵盖证明不等式、实际生活及几何应用三大任务，通过教材典例（如已知a+b+c=1证不等式）与变式探究（变设问证1/a+1/b+1/c≥9），衔接基本不等式性质，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点是以数学建模和逻辑推理为核心，结合虎笼设计（实际应用）、矩形翻折面积最值（几何应用）等实例，通过规律方法总结（如“拆拼凑”技巧）培养数学运算能力。随堂与分层评价助力学生巩固，教师可高效开展差异化教学，提升学生解决实际问题的能力。

第2课时 基本不等式的应用 　 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元学习四 基本不等式 任务一　利用基本不等式证明不等式 1 任务二　基本不等式在实际生活中的应用 2 任务三　基本不等式在几何中的应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用，提升逻辑推理的核心 素养． 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题，培养数 学运算、数学建模的核心素养． 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题，培养数学运算、 数学建模的核心素养． 任务一　利用基本不等式证明不等式 返回 典例 1 (链教材P46练习T2)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证： ≥8. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 所以原不等式得证． 变式探究 (变设问)保持本例条件不变，试证明：＋＋≥9. 证明： ＝ ＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以原不等式得证． 规律方法 利用基本不等式证明不等式的关键点及注意事项 1.借助基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必有“和式”或“积式”，然后利用不等式的性质与基本不等式进行转化，达到放缩的效果． 2.注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立．(2)巧用“1”的代换证明不等式．(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用． 对点练1.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋． 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2＞0， 所以2(a＋b＋c)≥2()， 即a＋b＋c≥． 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以等号不能取得， 故a＋b＋c＞． 返回 任务二　基本不等式在实际生活中的应用 返回 (链教材P47例4)如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼． (1)现有36 m长的钢筋网材料，x，y的值分别为多少 时，每间虎笼的面积最大？ 解：设每间虎笼的面积为S m2， 由已知可得4x＋5y＝36，由基本不等式可得S＝xy＝·4x·5y≤×＝，当且仅当即时，等号成立. 因此，x，y的值分别为时，每间虎笼的面积最大． 典例 2 (2)若每间虎笼的面积为20 m2，x，y的值分别为多少时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解：由题意知xy＝20，则4x＋5y≥2＝40，当且仅当即时，等号成立. 因此，x，y的值分别为5，4时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小． 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 第一步：理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； 第二步：构造定值．利用基本不等式求最值； 第三步：检验．检验等号成立的条件是否满足题意； 第四步：得出结论． 对点练2.某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时． (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位：元)用航行速度x(单位：海里/时)表示； 解：由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，则y＝0.5x2·＋800·＝150(0＜x≤50). (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 解：由(1)得y＝150≥300·＝12 000， 当且仅当x＝，即x＝40时等号成立． 故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以40海里/时的速度行驶． 返回 任务三　基本不等式在几何中的应用 返回 (链教材P49T8)如图所示，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x． (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 解：矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24， 因为AB＝x，所以AD＝－x＝12－x， 因为AB＞BC＝AD，得x＞12－x，所以6＜x＜12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′， 所以AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP．在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，所以DP＝12－(6＜x＜12)． 典例 3 (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值． 解：在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x) ＝108－(6＜x＜12). 因为6＜x＜12，所以6x＋≥2＝72，当且仅当6x＝， 即x＝6时，等号成立. 所以S△ADP＝108－≤108－72， 所以当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72. 规律方法 1.充分利用几何性质，探究几何问题中相关各量之间的关系，建立函数模型． 2.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 对点练3.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝_____时，矩形花坛AMPN的面积最小． 4米 设BM＝x(x＞0)，则由DC∥AM得，解得ND＝，所以矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2，即x＝4时等号成立．所以当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小． 课堂小结 返回 任务再现 (1)利用基本不等式证明不等式．(2)基本不等式的实际应用．(3)基本不等式在几何中的应用 方法提炼 配凑法、综合法、数学建模 易错警示 生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围 随堂评价 返回 √ 1.用12 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积为 A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．12 cm2 设矩形的长、宽分别为x cm，y cm，则有2(x＋y)＝12，即x＋y＝6，则S＝xy≤＝9，当且仅当x＝y＝3时等号成立，故这个矩形的面积为 9 cm2．故选C． √ 2.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系：s＝－2t2＋40t－98，现要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间为 A．7年 B．8年 C．9年 D．10年 平均利润(单位：万元)为，因为＝－＋40≤－2＋40＝12，当且仅当2t＝，即t＝7时取等号，故要使年平均利润最大，则每条生产线要运行7年.故选A. √ 3.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥ 由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2.因为(1＋a)(1＋b)≤，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时取等号.故选B. 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为______． 400 由题意，设矩形花园的长为x(x＞0)，宽为y(y＞0)，矩形花园的面积为xy．根据题意作图，如图．因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以．又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40.由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 返回 课时分层评价 返回 1.设m＝a＋2，n＝a＋b＋1，a，b∈R，且b＞0，则m与n的大小关系为 A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n √ 因为b＋1≥2(当且仅当b＝1时等号成立)，所以a＋2≤a＋b＋1，所以m≤n．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若直角三角形的面积为18，则两条直角边的和的最小值为 A．3 B．6 C．6 D．12 √ 设直角三角形的两直角边分别为a，b，因为直角三角形的面积为18，即ab＝36，所以两条直角边的和a＋b≥2＝12，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以两条直角边的和的最小值为12.故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是 A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4 C．≥2 D．＞ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，a＋b＋≥2＋≥2，故A成立；对于B，(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，故B成立；对于C，由a＞0，b＞0，则a2＋b2≥2ab＞0，所以≥＝2，故C成立；对于D，当a＝b＝1时，＝1＝，故D不成立.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某工厂要建造一个长方体形状的无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是 A．160 000元 B．179 200元 C．198 400元 D．297 600元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设池底的长为x m，宽为y m，则3xy＝4 800，即y＝.因为水池无盖，则建造池体需要建造池壁4个面和池底一个面，建造这个水池的总造价是100xy＋2(x＋y)×3×80＝160 000＋480≥160 000＋480×2＝198 400，当且仅当x＝，即x＝40时，等号成立.所以贮水池的最低总造价是198 400元.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a＜b)，其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是 A．a＜v＜ B．v＝ C．＜v＜ D．v＝ √ √ 设甲、乙两地之间的距离为s.因为a＜b，所以v＝＝＜＝.又v－a＝－a＝＝＞0，所以v＞a，所以a＜v＜.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是 A．车辆运营年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某商店出售的某种饮料需分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p％，第二次提价q％；方案乙：每次都提价％，若p，q＞0，且p≠q，则提价较多的方案是____． 乙 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设原价为1，则按方案甲提价后的价格为(1＋p％)(1＋q％)，按方案乙提价后的价格为，易知≤ ＝1＋，当且仅当1＋p％＝1＋q％，即p＝q时等号成立.又p≠q，所以(1＋p％)(1＋q％)＜，所以提价较多的方案是乙. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过____h后，池水中该药品的浓度达到最大． 2 C＝＝.因为t＞0，所以t＋≥2＝4(当且仅当t＝，即t＝2时等号成立)，所以C＝≤＝5，故当t＝2时，C取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值为______dm2． 56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2 ＝56(dm2)，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立.即四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝－1＋－1＋－1 ＝＋＋－3. 因为a，b，c为正数， 所以≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)； ≥2(当且仅当a＝c时，等号成立)； ≥2(当且仅当b＝c时，等号成立)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时，等号成立). 所以＋＋－3≥3，即＋＋≥3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m √ 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)，当且仅当a＝b＝2时等号成立.故C既够用，浪费也最少.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为____． 设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，S＝a2＋b2≥2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为______． 3 由题意知，p＝7，S＝＝≤ ·＝3，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，因此三角形面积的最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)某地欲修建一个384 m2的长方形休闲广场，如图所 示，场地上、下两边要留1.5 m宽的空白，左、右两侧要留1 m 宽的空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？ 解：设休闲广场用地的宽为x m，则长为 m， 则长方形用地的面积S＝(x＋2)·＝3x＋＋390≥2＋390＝486 m2，当且仅当3x＝，即x＝16时，等号成立，此时长方形用地的长为27 m，宽为18 m. 所以应选择长为27 m，宽为18 m的长方形用地． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)如图所示，4个长为a，宽为b的长方形拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则 A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2＞(a－b)2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可知，正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a＋b)2≥4ab，故A正确；因为正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2＞(a－b)2，且当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合，故B、D正确；正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和的大小关系不确定，因此选项C错误．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格． (1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？ 解：因为所以0＜x＜100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝x－－20(0＜x＜100)， 当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)， 此时销售量为10－0.1×80＝2(万套)， 总利润为2×55＝110(万元)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润． 解：y＝x－－20， 因为0＜x＜100，所以100－x＞0， 所以y＝－［＋(100－x)］＋80≤－2 ＋80＝60， 当且仅当＝100－x，即x＝90时，等号成立，即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，最大利润为60元． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 $