第2章 2.2 第1课时 基本不等式-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，在不等式性质基础上，系统学习定义、几何解释（圆的半径不小于半弦）、证明方法（作差法、性质法），构建从概念到应用的学习支架，掌握其解决最值问题的工具性。 资料含微课视频资源，以问题导思驱动探究，通过一题多解（如比较大小的作差法与特值法）培养数学抽象与逻辑推理素养，分层练习（对点练、随堂评价）结合配凑法等技巧提升数学运算能力，课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺。

单元学习四　基本不等式 　　［单元整体设计］　本单元是在研究不等式的性质的基础上，学习一种具体的不等式——基本不等式(a＞0，b＞0)，理解基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用，掌握基本不等式是解决许多最值问题的有力工具，学习计划2课时． 　　本单元内容重点是基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题．难点是基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题．在学习的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． 第1课时　基本不等式 学习目标 1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)． 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，培养数学抽象和数学运算的核心素养． 任务一　基本不等式 (阅读教材P44—45，完成探究问题1、2、3) 问题1.重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．当a＞0，b＞0时，用，分别代替重要不等式中的a，b可以得到什么样的结论？该结论中等号成立的条件是什么？ 提示：可得a＋b≥2，即≤.当且仅当a＝b时，等号成立. 问题2.你能证明上述问题1中得到的结论吗？ 提示：法一(作差法)：≥0，即，当且仅当a＝b时，等号成立． 法二(性质法)：要证，只需证2≤a＋b，只需证2－a－b≤0，只需证－()2≤0， 显然()2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． 问题3.结合教材P45中的探究，你能否给出≥的一种几何解释？ 提示：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝．由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为的几何意义是“圆的半径不小于半弦”． 1.基本不等式：如果a＞0，b＞0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2.叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 3.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式的几何意义：圆的半径不小于半弦． ［微思考］　“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b⇒；另一方面是仅当a＝b时取等号，即⇒a＝b． ［微提醒］　基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2.(2)ab≤≤(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立). (1)下列说法正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的前提条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2＞2ab成立的前提条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的前提条件是a≥0，b≥0 D．a＋b＞2成立的前提条件是ab＞0 (2)(一题多解)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)对于A，应为a，b∈R，故A错误；对于B，应为a，b∈R，且a≠b，故B错误；对于C，成立的前提条件是a≥0，b≥0，故C正确；对于D，应为a≥0，b≥0，且a≠b，故D错误．故选C． (2)法一：因为0＜a＜b，所以a＜＜b，排除A、C两项．又＞a，排除D项．故选B． 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜b．故选B． 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立． 对点练1.(1)不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　) A．a＝2 B．a＝±2 C．a＝ D．a＝± (2)(多选)若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．＞ B．＜ C．＞ D．＞ 答案：(1)D　(2)ABD 解析：(1)该不等式等号成立的条件为a2＝．故选D． (2)由a＞b＞0，得＜，即＞，所以＜1，即＜，故选项A、B、D均成立.故选ABD. 任务二　利用基本不等式求简单式子的最值 (阅读教材P45—46，完成探究问题4) 问题4.你能尝试说明满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？ 提示：关键看代数式是否具备：(1)转化为两个正数的和或积的形式；(2)和或积是否是一个定值；(3)不等式中的等号是否能取到． 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 简记为：积定和最小，和定积最大． ［微提醒］　利用基本不等式求最值的三个关键点：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (链教材P45例1、例2)(1)若x＞0，则x＋的最小值为(　　) A．4 B． C．2 D． (2)若x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为　　　　． 答案：(1)A　(2)400 解析：(1)因为x＞0，所以＞0，则x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立.所以x＋的最小值为4.故选A. (2)xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立．所以xy的最大值为400. 利用基本不等式求最值时要注意三点 1.各项均为正． 2.寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)． 3.考虑等号成立的条件是否具备． 对点练2.(1)当x＞0时，求＋4x的最小值； (2)当x＜0时，求＋4x的最大值； (3)已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值； (4)已知0＜x＜，求5x(1－5x)的最大值． 解：(1)因为x＞0，所以＞0，4x＞0，所以＋4x≥2＝8＝4x， 即x＝时取等号． 所以当x＞0时，＋4x的最小值为8. (2)因为x＜0，所以－x＞0，则＋(－4x)≥2＝8，当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号. 所以＋4x≤－8.所以当x＜0时，＋4x的最大值为－8. (3)因为x＞0，a＞0，所以4x＞0，＞0，所以4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号.所以a＝36. (4)因为0＜x＜，所以1－5x＞0，所以5x(1－5x)≤＝，当且仅当5x＝1－5x，即x＝时取等号.所以当0＜x＜时，5x(1－5x)的最大值为. 任务三　配凑法、常数代换法、拆裂项法求最值 角度1　配凑法求最值 (1)已知x＞3，求y＝2x＋的最小值； (2)已知0＜x＜，求y＝x(1－3x)的最大值． 解：(1)因为x＞3，所以2x－6＞0， 所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号． 所以y＝2x＋的最小值为10. (2)因为0＜x＜，所以1－3x＞0， 所以y＝×3x(1－3x)≤×＝×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立. 所以y＝x(1－3x)的最大值为. 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法． 对点练3.(1)已知a＞1，则2a＋的最小值为　　　　． (2)若0＜x＜4，则y＝x(8－2x)的最大值为　　　　． 答案：(1)6　(2)8 解析：(1)因为a＞1，所以a－1＞0，所以2a＋＝2＋2(a－1)＋≥2＋2＝6，当且仅当a＝2时，等号成立.所以2a＋的最小值为6. (2)因为0＜x＜4，所以8－2x＞0，所以y＝x(8－2x)＝·2x(8－2x)≤·＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号.所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 角度2　常数代换法求最值 (1)设a，b为正数，且a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 (2)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，则3a＋2b的最小值为(　　) A．8 B．16 C．24 D．32 答案：(1)D　(2)C 解析：(1)＋＝×1＝×(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号.所以＋的最小值为4.故选D. (2)3a＋2b＝(3a＋2b)＝12＋＋≥12＋2＝24，当且仅当＝，即a＝4，b＝6时，等号成立.所以3a＋2b的最小值为24.故选C. 1.常数代换法是指凑出常数，使不等式通过变形达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 2.常数代换法主要解决的最值问题 (1)已知形如或可化为cx＋dy＝t(t为常数)，求的最值． (2)已知形如或可化为＝t(t为常数)，求cx＋dy的最值． 求解时要注意把已知条件变形为“1”的形式，将＋看作是·或把cx＋dy看作是（cx＋dy）·，变形后利用基本不等式求最值. 对点练4.(1)已知正实数m，n满足m＋2n＝1，则＋的最小值为　　　　． (2)已知正实数x，y满足xy＝4x＋y，则x＋y的最小值为　　　　． 答案：(1)17　(2)9 解析：(1)＋＝＋＋1＝(m＋2n)·＋1＝8＋＋＋1≥9＋2＝17，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立.所以＋的最小值为17. (2)由已知可得＝＋＝1，且x，y为正实数，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当y＝2x，即x＝3，y＝6时，等号成立.所以x＋y的最小值为9. 角度3　拆裂项法求最值 若x＞1，则函数y＝的最小值为　　． 答案：4 解析：因为x＞1，即x－1＞0，所以y＝＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立.所以y＝的最小值为4. 拆项与裂项的应用技巧 　　裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值． 对点练5.已知t＞0，则y＝的最小值为　　． 答案：－2 解析：由题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立.所以函数y＝(t＞0)的最小值为－2. ［教材拓展3］　基本不等式链 　　若a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．其几何表示及几何证明如下： 如图，在半圆O中，设AC＝a，BC＝b，且CD⊥AB，CE⊥OD，OF⊥AB， 则R＝OD＝OF＝，OC＝R－b＝，CF＝＝，在Rt△ADB中，由射影定理得CD＝，在Rt△OCD中，由射影定理得CD2＝DE·OD，所以DE＝＝＝，由图可知，DE≤CD≤OD＝OF≤CF(当且仅当D与F重合，即a＝b时，等号成立)，即不等式≤≤≤(a＞0，b＞0)成立(当且仅当a＝b时，等号成立)． (1)(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．有最大值 B．＋有最小值3 C．a2＋b2有最小值 D．＋有最大值 (2)当＜x＜时，函数y＝＋的最大值为　　　　． 答案：(1)ACD　(2)2 解析：(1)对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确.故选ACD. (2)由≤，得a＋b≤2， 则y＝＋≤2＝2， 当且仅当＝，即x＝时等号成立. 任务再现 (1)基本不等式的推导与证明．(2)求简单代数式的最值．(3)基本不等式与最值 方法提炼 配凑法、常数代换法、拆裂项法 易错警示 利用基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”缺一不可 1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝0 D．a＝±1 答案：A 解析：由基本不等式的定义得a＝1.故选A． 2.已知x＜0，则x＋－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 答案：C 解析：因为x＜0，所以－x＞0，所以x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝－，即x＝－1时“＝”成立.故选C. 3.(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为　　　　． 答案：4 解析：易知b＋＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时取得最小值．故b＋的最小值为4. 4.(双空题)已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为　　　　，此时x＝　　　　． 答案：　　 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立.故当x＝时，x(1－x)取得最大值. 课时分层评价12　基本不等式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 答案：D 解析：若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则，故C错误；由基本不等式可知D正确．故选D． 2.若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值为(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 答案：D 解析：因为m＞0，n＞0，所以m＋n≥2＝2×9＝18，当且仅当m＝n＝9时，“＝”成立．故选D． 3.3x2＋的最小值为(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 答案：D 解析：3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立.故选D. 4.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案：B 解析：(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时等号成立，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.故选B. 5.(多选)下列说法中，正确的为(　　) A．因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2 B．因为x∈R＋，所以＞1 C．因为a＜0，所以＋a≥2＝4 D．因为x，y∈R，xy＜0，所以＋＝－［＋］≤－2＝－2 答案：AD 解析：对于A，因为a，b为正实数，所以＞0，＞0，故＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故A正确；对于B，因为x∈R＋，x2＞0，所以x2＋1＞1，则0＜＜1，故B错误；对于C，当a＜0时，＋a＜0，故C错误；对于D，因为xy＜0，所以－＞0，－＞0，所以＋＝－［＋］≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，故D正确.故选AD. 6.(多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的有(　　) A．ab≤1 B．＋≤ C．a2＋b2≥2 D．＋≥2 答案：ACD 解析：因为ab≤＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，所以0＜＋≤2，当且仅当a＝b时，等号成立，故B不正确；a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确；＋＝＝≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故D正确.故选ACD. 7.若0＜x＜1，则的最大值为　　　　． 答案： 解析：由0＜x＜1知3－2x＞0，故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立.所以的最大值为. 8.已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为　　　　． 答案：16 解析：因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋.因为x＞0，y＞0，所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即y＝3x时，取等号.因为＋＝1，所以当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 9.已知x＞1，则的最小值为　　　　． 答案：3 解析：＝＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取得最小值3. 10.(10分)已知x，y都是正数． (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； (2)若x＋2y＝3，求＋的最小值． 解：(1)因为3x＋2y＝12， 所以xy＝·3x·2y≤×＝6， 当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立． 所以xy的最大值为6. (2)因为x＋2y＝3，所以1＝， 所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋， 当且仅当＝， 即x＝3－3，y＝3－时取等号， 所以＋的最小值为1＋. (11—13每小题5分，共15分) 11.若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　) A． B．a2＋b2 C．2ab D．a 答案：B 解析：由题设知0＜a＜b，且a＋b＝1，所以0＜a＜，＜b＜1，排除D；又＞＝，故a2＋b2＞，排除A；由a2＋b2＞2ab，所以a2＋b2最大.故选B. 12.(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．＋的最小值为4 B．的最小值为 C．＋的最大值为 D．a2＋b2的最大值为 答案：AC 解析：对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，所以0＜＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误.故选AC. 13.若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值为　　　　． 答案：4 解析：实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立. 14.(2026·安徽淮南期末模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋4y＝xy． (1)求xy的最小值； (2)求x＋4y的最小值； (3)求x＋y的最小值． 解：(1)x＞0，y＞0，xy＝x＋4y≥2，解得xy≥16，当且仅当x＝4y＝8时取等号． 所以当x＝8，y＝2时，xy取得最小值16. (2)x＞0，y＞0，x＋4y＝，解得x＋4y≥16，当且仅当x＝4y＝8时取等号． 所以当x＝8，y＝2时，x＋4y取得最小值16. (3)x＞0，y＞0，由x＋4y＝xy，得＝1， 则x＋y＝（(x＋y)＝5＋＋≥5＋2×2＝9，当且仅当x＝2y＝6时取等号. 所以当x＝6，y＝3时，x＋y取得最小值9. 15.(5分)(新定义)已知任意的正数a，b，c，有≥成立，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．若0＜m＜3，则m2(3－m)的最大值为(　　) A．6 B．4 C．5 D．3 答案：B 解析：根据题意可得m2(3－m)＝×m×m(6－2m)≤＝4，当且仅当m＝6－2m，即m＝2时，等号成立，故m2(3－m)的最大值为4.故选B. 16.(15分)已知实数a＞b＞0， (1)比较b(a－b)与的大小； (2)求a2＋的最小值及取最小值时a，b的值． 解：(1)因为a＞b＞0，所以a－b＞0， 所以b(a－b)≤＝，当且仅当b＝a－b，即2b＝a时，等号成立.所以b(a－b)≤. (2)由(1)知0＜b(a－b)≤， 当且仅当2b＝a时等号成立， 所以≥，所以≥， 所以a2＋≥a2＋≥2＝20， 当且仅当a2＝且2b＝a，即时取等号. 综上可知，当a＝，b＝时，a2＋取得最小值20. 学科网（北京）股份有限公司 $