第2章 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质及应用，通过问题导学（如判断等式命题、生活情境问题）引导学生回顾等式性质，再过渡到不等式性质探究，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于问题情境化（如糖水不等式生活实例）、例题与对点练结合，注重逻辑推理（证明过程严谨）、数学思维（作差法、赋值法）和数学语言（符号规范表达），帮助学生提升核心素养，为教师提供系统教学资源与分层评价工具。

第2课时 等式性质与不等式性质 　 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元学习三 等式性质与不等式性质 任务一　等式的基本性质 1 任务二　不等式的性质 2 任务三　利用不等式的性质证明不等式 3 随堂评价 5 内容索引 任务四　利用不等式的性质求代数式的取值范围 4 课时分层评价 6 学习目标 梳理等式的性质，掌握不等式的性质及其简单应用，培养逻辑推理的核心素养． 任务一　等式的基本性质 返回 问题导思 (阅读教材P40，完成探究问题1) 问题1.判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么＝． 提示：以上均正确，这些都是等式的基本性质． 新知构建 等式的基本性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 微提醒 (1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性．(2)性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性． √ 对点练1.(1)(多选)若ma＝mb，则下列等式一定成立的是 A．a＝b B．ma＋2 026＝mb＋2 026 C．ma－5＝mb－5 D．－ma＝－mb √ √ 根据等式的基本性质，知BCD正确，A错误．故选BCD． (2)利用等式的基本性质填空： ①若2x－3＝5，则2x＝____，x＝____； 8 4 根据等式的基本性质，若2x－3＝5，则2x＝8，x＝4. ②若5x＋2＝2x－4，则3x＝_____，x＝_____． －6 －2 根据等式的基本性质，若5x＋2＝2x－4，则3x＝－6，x＝－2. 返回 任务二　不等式的性质 返回 问题导思 (阅读教材P40—42，完成探究问题2、3、4) 问题2.如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？ 提示：甲比丙高．如果a＞b，b＞c，那么a＞c． 问题3.如果某月某公司员工甲比乙的薪水高，公司又给他们发了相同数额的奖金，那么这个月甲和乙谁的收入更高？扣除了相同数额的保险费用后呢？你能提炼出什么不等关系？ 提示：甲比乙的收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙的收入高．若a＞b，则a－c＞b－c． 问题4.若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多．这里反映出的不等关系如何用符号语言表述？ 提示：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d． 新知构建 不等式的基本性质 性质 名称 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔______ 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒______ 不可逆 3 可加性 a＞b⇔____________ 可逆 4 可乘性 ⇒________ c的符号 ⇒________ b＜a a＞c a＋c＞b＋c ac＞bc ac＜bc 性质 名称 性质内容 注意 5 同向可加性 ⇒____________ 同向 6 同向同正可乘性 ⇒________ 同向同正 7 可乘方性 a＞b＞0⇒__________ (n∈N，n≥2) 同正 a＋c＞b＋d ac＞bd an＞bn 微提醒 (1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．(2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(3)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(4)性质7(即可乘方性)的拓展：a＞b＞0⇒(n∈N，n≥2)． (链教材P42练习T2)(1)关于实数a，b，c，下列结论正确的是 A．如果a＞b＞c，那么ac＞bc B．如果a＞b，那么a＋c＞b＋c C．如果a＞b＞0，那么ac2＞bc2 D．如果＞，那么a＞b 典例 1 √ 对于A，当c＝0时，有ac＝bc＝0，故A错误；对于B，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，故B正确；对于C，当c＝0时，有ac2＝bc2＝0，故C错误；对于D，当c＜0时，a＜b，故D错误．故选B． √ (2)已知a，b，c满足c＜b＜a，且a＋b＋c＝0，那么下列选项中不一定成立的是 A．a＞0，c＜0 B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ab＞ac 因为a，b，c满足c＜b＜a，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，所以ab＞ac，故A、D一定成立；又因为b－a＜0，所以c(b－a)＞0，故B一定成立；因为b2是不是0不确定，所以cb2＜ab2不一定成立．故选C． 规律方法 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 1.直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可． 2.特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． √ 对点练2.(1)如果a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是 A．＜ B．a2＜b2 C．＞ D．＜ 对于A，如果a＜b＜0，那么ab＞0，则＜，即＞，故A错误；对于B，如果a＜b＜0，那么a2＞b2，故B错误；对于C，当a＝－2，b＝－1时，＝－1，＝－，即＜，故C错误；对于D，如果a＜b＜0，那么a2＞b2＞0，则＜，故D正确.故选D. √ (2)“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 可令a＝9，c＝6，b＝d＝7，则满足a＋c＞b＋d，但“a＞b且c＞d”不成立，所以“a＋c＞b＋d”不是“a＞b且c＞d”的充分条件．根据不等式的性质，由a＞b且c＞d，可得a＋c＞b＋d，所以“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的必要条件．故“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．故选A． 返回 任务三　利用不等式的性质证明不等式 返回 (链教材P42例2)已知a＞b＞0，c＜d＜0，证明： (1)ac＜bd； 证明：因为a＞b＞0，c＜0，所以ac＜bc＜0. 又c＜d＜0，b＞0，所以bc＜bd＜0，故ac＜bd． (2)＜． 证明：由c＜0，得－c＞0. 因为a＞b＞0，所以a－c＞b－c＞0， 所以0＜． 又因为a＞0，所以． 典例 2 规律方法 　　在应用不等式的性质进行推导时，应注意不等式性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 对点练3.证明下列不等式： (1)已知a＜b＜0＜c＜d，证明：ad＋c＜bc＋d； 证明：因为a＜b＜0， 所以－a＞－b＞0. 又0＜c＜d，所以－ad＞－bc，即ad＜bc． 又c＜d，所以ad＋c＜bc＋d． (2)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，证明：＞． 证明：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0， 所以a＞0，c＜0. 因为c＜b＜a，所以c－a＜b－a＜0， 所以－(c－a)＞－(b－a)＞0，(c－a)(b－a)＞0， 即＞0， 故－(c－a)·＞0， 所以＞0， 所以． 返回 任务四　利用不等式的性质求代数式的取值范围 返回 (链教材P43T5)(1)如果12＜a＜60，15＜b＜36，求a＋b，2a－b，的取值范围； 解：27＜a＋b＜96，24＜2a＜120， －36＜－b＜－15，， 所以－12＜2a－b＜105，＜4. 典例 3 (2)已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围． 解：设2a－4b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，x，y∈R， 则 所以2a－4b＝－(a＋b)＋3(a－b)． 因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2， 所以－5＜－(a＋b)＜1，－12＜3(a－b)＜6， 所以－17＜－(a＋b)＋3(a－b)＜7， 即－17＜2a－4b＜7. 规律方法 利用不等式的性质求取值范围的策略 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 对点练4.(1)已知－2＜a≤3，1≤b＜2，则2a－3b的取值范围是__________ _________． －10＜2a －b≤3 由题意得－4＜2a≤6，－6＜－3b≤－3， 所以－10＜2a－3b≤3. (2)已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，则a＋3b的取值范围是_______________． －≤a＋3b≤1 设a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－2b)＝(x＋y)a＋(x－2y)b，x，y∈R， 则 所以a＋3b＝(a－2b)， 故－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－， 则－≤a＋3b≤1. 教材拓展2 糖水不等式 1.糖水不等式定理 若a＞b＞0，m＞0，则一定有＞． 通俗的理解就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜． 2.糖水不等式的倒数形式 设a＞b＞0，m＞0，则有＞． √ 典例 4 (1)设a，b，m都是正数，且a＜b，记x＝，y＝，则 A．x＞y B．x＝y C．x＜ D．x与y的大小与m的取值有关 由a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，即b－a＞0，可得x－y＝＞0，即x＞y．故选A． √ (2)(多选)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a＞0，b＞0，且a＞b)，若再添加c克糖(c＞0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：＞．趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是 A．若a＞b＞0，m＞0，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若b＞a＞0，m＞0，则＞ C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则＜ D．若a＞0，b＞0，则一定有＋＜＋ √ √ 对于A，因为a＞b＞0，m＞0，所以－＝＞0，所以＞，故A错误，对于B，因为b＞a＞0，m＞0，所以－＝＜0，所以＞，故B正确；对于C，因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以a－b＞0，c－d＞0，所以－＝＝＞0，所以＜，故C正确；对于D，因为0＜1＋a＜1＋a＋b，0＜1＋b＜1＋a＋b，所以＞，＞，所以＋＞＋，故D正确.故选BCD. 课堂小结 返回 任务再现 (1)等式的性质．(2)不等式的性质及其应用 方法提炼 作差比较法、赋值法、不等式性质法 易错警示 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性 随堂评价 返回 √ 1.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b 由a＋b＞0知，a＞－b，所以－a＜b＜0.又b＜0，所以－b＞0，所以a＞－b＞b＞－a．故选C． √ 2.(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是 A．若a＜b，c＜d，则ac＜bd B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0 C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D．若a＞b，c＞d＞0，则＞ √ 对于A，若a＜0＜b，c＜d＜0，则ac＞bd，故A错误；对于B，若ab＞0，bc－ad＞0，则－＝＞0，故B正确；对于C，若c＞d，则－d＞－c.又a＞b，所以a－d＞b－c，故C正确；对于D，若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝＝－1，故D错误.故选BC. 3.已知实数a，b满足0＜a＜b＜2，则a－b的取值范围是______________． －2＜a－b＜0 因为0＜b＜2，所以－2＜－b＜0.因为0＜a＜2，所以－2＜a－b＜2.又a＜b，所以a－b＜0，所以－2＜a－b＜0. 4.用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c____b－d； ＞ 因为a＞b，c＜d，所以－c＞－d，所以a－c＞b－d． (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac____bd； ＜ 因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以－ac＞－bd＞0，所以ac＜bd． (3)如果a＞b＞0，那么． ＜ 因为a＞b＞0，所以0＜． 返回 课时分层评价 返回 1.与a＞b等价的不等式是 A．|a|＞|b| B．a2＞b2 C．＞1 D．a3＞b3 √ 可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但|a|＜|b|，a2＜b2， ＜1，故A、B、C都不正确．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是 A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax √ 因为x＜a＜0，所以x2＞a2.因为x2－ax＝x(x－a)＞0，所以x2＞ax．又ax－a2＝a(x－a)＞0，所以ax＞a2.所以x2＞ax＞a2.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是 A．a＞b B．b＞a C．a＞m D．m＞b √ ＞0⇒＞0.因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若实数α，β满足－＜α＜β＜－，则α－β的取值范围是 A．－＜α－β＜－ B．－＜α－β＜0 C．－＜α－β＜ D．－＜α－β＜0 √ 因为－＜α＜β＜－＜α＜－＜－β＜，α－β＜0，所以－＜α－β＜0.故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的是 A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1 C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x √ √ √ 对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＜1－(－1)＝1－y，故A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，故B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1＞0，故C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y＞0，故D中不等式成立．故选BCD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知m＞n＞1，则下列结论正确的有 A．＜ B．m＋＞n＋ C．m3＋n3＞2m2n D．m＋＞n＋ √ √ 对于A，因为m＞n＞1，所以2m＞2n，所以mn＋2m＞mn＋2n，所以m(n＋2)＞n(m＋2)，又m，n都大于零，所以＞，故A错误；对于B，因为m＞n＞1，所以mn＞1，且m－n＞0，则mn(m－n)＞m－n，所以m2n－mn2＞m－n，所以m2n＋n＞mn2＋m，所以m＋＞n＋，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，当m＝3，n＝2时，m3＋n3＝27＋8＝35，2m2n＝36，即m3＋n3＜2m2n，故C错误；对于D，因为m＞n＞1，所以＞＞0，所以m＋＞n＋，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.不等式a＞b和＞同时成立的条件是__________． a＞0＞b 因为，所以a＞b和同时成立的条件是a＞0＞b． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知1＜α＜3，－4＜β＜2，若z＝α－β，则z的取值范围是 _________________． 因为1＜α＜3，所以α＜．又－4＜β＜2，所以－2＜－β＜4.所以－α－β＜． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(开放题)设a，b，c是任意实数，能够说明“若c＜b＜a且ac＜0，则ab＜ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________． 1，0，－1(答案不唯一) 若c＜b＜a且ac＜0，则a＞0，c＜0，则取a＝1，b＝0，c＝－1，则满足条件c＜b＜a且ac＜0，但ab＜ac不成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤． 证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc． 因为bd＞0，所以＋1， 所以． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是 A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| √ 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的有 A．b2＜ab＜1 B．＜＜1 C．1＜＜ D．a2＜ab＜1 √ √ 因为0＜b＜a＜1，所以b2－ab＝b(b－a)＜0，所以b2＜ab，又ab＜1，所以b2＜ab＜1，故A正确；当a＝，b＝时，＝，＝，所以＞，故B不正确；因为0＜b＜a＜1，所以1＜＜，故C正确；因为0＜b＜a＜1，所以a2－ab＝a(a－b)＞0，即a2＞ab，故D不正确.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知三个不等式：①ab＞0，②＞，③bc＞ad，将其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成____个真命题． 3 ⇒⇒bc＞ad，故以①②为条件，③为结论的命题是真命题；⇒＞，故以①③为条件，②为结论的命题是真命题；⇒⇒ab＞0，故以②③为条件，①为结论的命题是真命题，故可组成3个真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)(1)已知1＜a＜6，3＜b＜4，求2a－b，的取值范围； 解：由题意可知，2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，则－2＜2a－b＜9. 因为＜2， 所以． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a，b，x，y均是正实数，且＞，x＞y，试比较与的大小． 解：． 因为，且a，b均是正实数，所以b＞a＞0. 又因为x＞y＞0，所以bx＞ay＞0，(x＋a)(y＋b)＞0，则bx－ay＞0，所以． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知b＞0，且－4b≤a－c≤－b≤4a－c≤5b，则的取值范围是____ ____________． －1 易得令9a－c＝m(a－c)＋n(4a－c)＝(m＋4n)a－(m＋n)c，m，n∈R，则解得所以9a－c＝－(a－c)＋(4a－c).又b≤－(a－c)≤b，－b≤(4a－c)≤b，故b－b≤－(a－c)＋(4a－c)≤b＋b，即－b≤9a－c≤20b，因为b＞0，所以－1≤≤20. ≤≤20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对(m，n)是(p，q)的“下位序列”． (1)对于2，3，7，11，有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”吗？请简单说明理由； 解：有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”． 因为3×7＜11×2， 所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设a，b，c，d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系． 解：因为(a，b)是(c，d)的“下位序列”，所以ad＜bc． 因为a，b，c，d均为正数， 所以＞0， 即． 又． 综上所述，． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 返回 $