第2章 2.1 第2课时 不等式的性质-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本高中数学讲义聚焦不等式的性质核心知识点，先以等式性质为基础，通过类比迁移引入不等式的对称性、传递性等7条性质，明确各性质成立条件，构建从等式到不等式的知识学习支架，结合情境问题驱动探究。 该资料亮点在于情境引入（交通环道模型）激发兴趣，知识梳理对比等式与不等式性质培养数学抽象，例题变式训练强化逻辑推理与数学运算。课中助教师引导学生主动探究，课后练习题助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　不等式的性质 课程标准 素养解读 1.掌握不等式的性质及各自成立的条件 2．能利用不等式的性质比较大小或证明不等式 通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系、不等式的性质提升数学抽象素养．通过作差法、运用不等式的性质解决问题、提升数学运算素养和逻辑推理素养 [情境引入] 如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)． [问题1]　你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？ 提示　x1＝50＋x3－55＝x3－5，x2＝x1－20＋30＝x1＋10，x3＝x2－35＋30＝x2－5. [问题2]　你能判断出x1，x2，x3的大小吗？ 提示　由1知x1＝x3－5，x2＝x3＋5，则x1<x3<x2. [知识梳理] [知识点一]　等式的性质　 1．等式的性质 性质1 如果a＝b，那么b＝a 性质2 如果a＝b，b＝c，那么　a＝c　 性质3 如果a＝b，那么a±c＝　b±c　 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝　　 2.本质：性质1,2反映了相等关系自身的特性，性质3,4,5是从运算角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性． 3．应用：处理等式运算过程中的依据． 1.想一想，以前我们用等式基本性质解决过哪些问题？ 提示：解方程过程中的去分母、移项、系数化为1的步骤都是利用了等式的性质． [知识点二]　不等式的性质　 1．不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 a＋b>c⇔a>c－b 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 同正 2.本质：不等式的性质是由等式性质类比而得到的，是解决不等式问题的基本依据． 3．应用：判断证明不等式是否成立，解不等式问题时的依据。 2.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 3．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． [预习自测] 1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a　　　 B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 答案：C 2．(多选)下列不等式中不成立的是(　　) A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 答案：AC 3．若a>b>0，n>0，则　________　.(填“>”“<”或“＝”) 答案：< 　　　利用不等式的性质判断命题的真假 [例1] 下列命题中一定正确的是(　　) A．若a>b且>，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b且ac>bd，则c>d [思路点拨]　根据不等式的性质逐一判断． [解析]　对于A项，因为>，所以－>0，即>0.又a>b，所以b－a<0.所以ab<0，所以a>0，b<0；对于B项，当a>0，b<0时，有<0<1，故B项错；对于C项，当a＝10，b＝3时，虽有10＋1>3＋2，但1<2，故C项错；对于D项，当a＝－1，b＝－2时， 有(－1)×(－1)>(－2)×7，但－1<7，故D项错． [答案]　A 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [变式训练] 1．(1)已知a＞b＞c＞0，则下列说法一定正确的是(　　) A．a＞b＋c　　　　 B．a2＜bc C．ac＞b2 D．ab＋bc＞b2＋ac (2)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．若a2＞b2，ab＞0，则＜ B．若＞，则a＞b C．若b＞a＞0，m＞0，则＞ D．若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d 解析：(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，a＝b＋c，且ac＜b2，故A，C错误；因为a＞b＞0，a＞c＞0，所以a2＞bc，故B错误；ab＋bc－(b2＋ac)＝(b－c)(a－b)＞0，故D正确． (2)对于A，取a＝－3，b＝－2，则＞，故错误；对于B，由c2＞0，＞，得a＞b，故正确；对于C，－＝＝，由b＞a＞0，m＞0，得＞0，所以＞，故正确；对于D，由c＜d，得－c＞－d，又a＞b，所以a－c＞b－d，故正确． 答案：(1)D　(2)BCD 　 利用不等式的性质证明不等式 [例2] 若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. [思路点拨]　利用不等式的性质等价变形． [证明]　因为bc－ad≥0，所以bc≥ad， 所以bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd>0，两边同除以bd得，≤. (1)利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． [变式训练] 2．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， 则(a－c)2>(b－d)2>0， 即<. 又e<0，∴>. 　 　　用不等式性质求代数式的取值范围 [例3] 已知1<a<6,3<b<4，求a－b，的取值范围． [思路点拨]　a－b＝a＋(－b)，＝a×，正确使用不等式的性质． [解]　∵3<b<4，∴－4<－b<－3. ∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3. 又<<，∴<<， 即<<2.综上，a－b的取值范围为{a－b|－3<a－b<3}，的取值范围为. 求代数式的取值范围的注意点 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． [变式训练] 3．已知1<a<4,2<b<8，试求2a＋3b与a－b取值范围． 解：∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2b＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∴1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 1．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0　　　 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 答案：A 2．已知a>b，不等式：①a2>b2；②>； ③>成立的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　 C．2　 　 D．3 答案：A 3．给出下列结论： ①若a<b，则ac2<bc2； ②若<<0，则a>b； ③若a>b，c>d，则a－c>b－d； ④若a>b，c>d，则ac>bd. 其中正确的结论的序号是　________　. 答案：② 4．若－1＜x＜2,0＜y＜3，则2x－y的取值范围为　________　. 答案：{2x－y|－5＜2x－y＜4} 5．如果a>b>0，c<d<0，f<0，证明：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0. 不等式的两边同乘， 得>>0， 又因为f<0，所以<，即>.. 1．设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2＜ax＜a2　　　 B．x2＜a2＜ax C．x2＞ax＞a2 D．x2＞a2＞ax 答案：C 2．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞＞ B.＞＞a C.＞a＞ D.＞＞a 答案：D 3．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab＞bc B．ac＞bc C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c 答案：C 4．若－5＜a＜－3,1＜b＜4，则的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：A 5．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若ab＞0，bc－ad＞0，则＞ D．若a＞b，c＞d＞0，则＞ 解析：AC　[结合不等式的性质逐项分析．A选项．由c＞d，得－c＜－d，根据不等式同向相加的原则可得a－d＞b－c，故A正确；B选项，若a＞0＞b,0＞c＞d，则ac＜bd，故B错误；C选项，ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故C正确；D选项，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，则＝＝－1，故D错误．] 6．(多选)设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是(　　) A.> B．ac<bc C．a(b－c)>b(a－c) 　 .> 解析：ABC　[对于A，∵a>b>1，c<0，∴－＝>0， ∴>，故A正确；对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc∴ac<bc，故B正确；对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确；对于D，∵<0，a>b>0，∴<，故D错误．] 7．若a＞b，c＞d，则下列不等式关系中一定成立的是　________　. ①a－b＞d－c　②a＋d＞b＋c ③a－c＞b－c　④a－c＜a－d 解析：∵a＞b，c＞d，∴a－b＞0，d－c＜0，∴a－b＞d－c，故①成立；取a＝0，b＝－2，c＝0，d＝－3代入②，可知②不成立； 由不等式的可加性知③成立；由c＞d知，－c＜－d，由不等式的可加性知④成立． 答案：①③④ 8．设p＝m2－m＋2，q＝，则p与4q的大小为　________　. 解析：因为p＝m2－m＋2＝2＋＞0，q＝＝＞0，则＝(m2－m＋2)(m2＋m＋2)＝(m2＋2)2－m2＝m4＋3m2＋4≥4，故p≥4q，当且仅当m＝0时取等号． 答案：p≥4q 9．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发　________　件，最高产值为　________　万元． 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20. 由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 答案：20　330 10．已知a＞b＞0，c＜d＜0.求证： ＜ . 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∴0＜－＜－.又a＞b＞0， ∴－＞－＞0. ∴ ＞ ，即－ ＞－ . 两边同乘以－1，得 ＜ . 11．若－1＜a＋b＜3,2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围． 解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)， 则，解得. 因为－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1， 所以－＜(a＋b)－(a－b)＜，即－＜2a＋3b＜.所以2a＋3b的取值范围为. 12．网上发布了“明天气温是今天气温的2倍”的信息，各地有不同的反应： (1)一位南方的网友做出的第一反应是“明天升温了”； (2)一位北方的网友做出的第一反应是“明天降温了”； (3)另一位北方的网友做出的第一反应是“明天的气温没有变化”． 请从数学上解释为什么不同地方的网友会有不同的反应． 解：设今天的气温为x ℃，则明天的气温为2x ℃，将两天的气温进行比较，有2x－x＝x，则所以不同地方的网友会有不同的反应． 13．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围． 解：∵f(x)＝ax2－c，∴ ∴ ∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)， 又∵－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5， ∴≤－f(1)≤，① －≤f(2)≤.② 把①②的两边分别相加，得－1≤f(2)－f(1)≤20，即－1≤f(3)≤20.∴f(3)的取值范围是[－1，20]． 学科网（北京）股份有限公司 $