7.8 空间向量的运算及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-定理-运算-应用”为逻辑主线，系统整合空间向量知识，通过分类典例强化几何问题代数化解决能力，培养空间观念与运算推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识复习|概念+定理+公式|梳理共线/共面/基本定理、坐标运算及位置关系向量表示|从空间向量基本概念出发，通过定理构建理论体系，结合坐标实现几何问题代数化| |典型例题|10类44题|覆盖选择（含多选）、填空、解答，聚焦概念辨析、线性运算、位置关系证明等|按“概念理解-运算应用-几何证明”递进，典例涵盖高频考点与易错点，实现知识向能力转化|

7.8 空间向量的运算及其应用（精讲） 第一部分：知识复习 1．空间向量及其有关定理 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量 定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ，使a＝λb 共面向量 定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 2．空间向量的数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 3．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 4．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 [常用结论] 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．三点共线⇔＝λ(λ≠0)． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 第二部分：典型例题 典例一：空间向量的基本概念 1．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 2．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 3．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A．若共线，则 B．已知，，若，则 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．如果，是两个单位向量，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由同向和反向即可判断，对于B，由垂直的坐标表示即可判断，对于C，由共面向量即可判断，对于D，由单位向量概念即可判断. 【详解】对于A，当共线反向时，，共线同向时，，错误； 对于B：由，可得，解得，正确， 对于C，因为，即与任何向量都一定共面，故不能构成基底，正确， 对于D，单位向量，即模长为一个单位，故正确. 故选：BCD 4．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 典例二：空间向量的线性运算 5．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 6．（25-26高三上·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 7．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）（多选）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 ，故A正确，C错误； ，故B错误，D正确. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 典例三：共线、共面向量定理的应用 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 14．（25-26高三上·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 15．（25-26高二下·上海·期末）已知，，，若、和共面，则实数________． 【答案】 【详解】若、和共面，则且， 所以，则，可得. 16．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 典例四：空间向量基本定理与坐标运算 17．（25-26高三上·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 18．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 19．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 20．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 典例五：空间向量中投影的问题 21．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，写出，的坐标，然后代入投影向量公式可得到正确答案. 【详解】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系, 由，，是的中点，得： ，，， 故， 故， 故， 故选：D 22．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】借助模长公式可得A；借助向量平行的充要条件计算可得B；借助向量坐标运算可得C；借助投影向量公式计算可得D. 【详解】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即， ，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 23．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______. 【答案】4 【分析】由投影向量计算公式即可求解. 【详解】若在上的投影向量为， 即， 则，解得. 故答案为：4 24．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知，，，则在上投影的数量为_________. 【答案】 【分析】先求出和的坐标，再利用投影定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 故,且， , 则在上投影的数量为， 故答案为：. 典例六：空间向量中夹角的问题 25．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 26．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 27．（25-26高二下·浙江衢州·期中）在长方体中，，点是的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，， 向量， 则异面直线DE和BC所成的角的余弦值为： . 28．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出的坐标，结合模长的坐标运算可得答案； （2）根据向量夹角公式可得答案； （3）根据数量积为0可求答案. 【详解】（1）因为，所以； 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 典例七：空间向量中模长的问题 29．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 30．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 31．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 32．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 【答案】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 典例八：空间向量中平行、垂直的问题 33．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 34．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 35．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 36．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 典例九：直线的方向向量与平面的法向量 37．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 38．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据已知有，应用空间向量共线的坐标表示列方程求参数，即可得. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故答案为： 39．（2026高二·全国·专题练习）已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下， 由图可知，设， 则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 易知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出，设平面的法向量为，建立方程组，求出，即可求解； （2）根据条件求出和平面的一个法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）如图所示，以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）不存在，略. 40．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）由题意知：， ，； （2），，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 典例十：利用空间向量证明平行与垂直 41．（25-26高三上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 42．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 43．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)取的中点F，连接， 因为E为的中点，故， 又为的中点，,得, 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. (2)以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故，即， 故平面； (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可证明； （3）取的中点G，连接，确定P点在上，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出m的值，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点G，连接，则,且， 结合题意可知四边形为矩形，此时， 即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，（舍去）， 故. 44．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)证明：直线平面 (2)是否在线段存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）证明，根据线面平行的判定定理判断即可. （2）求出平面与平面的法向量，根据面面垂直的性质，使得它们满足垂直条件即可. 【详解】（1）为线段的中点，为线段的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）存在点，，理由如下： 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段的中点，为线段的中点，所以，. 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设，则. 设平面的法向量为. ，，， 则，即， 令，则，，所以. 若使平面平面，则，即， 解得. 所以，故，即. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.8 空间向量的运算及其应用（精讲） 第一部分：知识复习 1．空间向量及其有关定理 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量 定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ，使a＝λb 共面向量 定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 2．空间向量的数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 3．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 4．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 [常用结论] 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．三点共线⇔＝λ(λ≠0)． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 第二部分：典型例题 典例一：空间向量的基本概念 1．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 2．（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 3．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A．若共线，则 B．已知，，若，则 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．如果，是两个单位向量，则 4．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 典例二：空间向量的线性运算 5．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）（多选）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 典例三：共线、共面向量定理的应用 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 12．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 14．（25-26高三上·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 15．（25-26高二下·上海·期末）已知，，，若、和共面，则实数________． 16．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 典例四：空间向量基本定理与坐标运算 17．（25-26高三上·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 19．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 典例五：空间向量中投影的问题 21．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 23．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______. 24．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知，，，则在上投影的数量为_________. 典例六：空间向量中夹角的问题 25．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 26．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 27．（25-26高二下·浙江衢州·期中）在长方体中，，点是的中点，那么异面直线DE和BC所成的角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 典例七：空间向量中模长的问题 29．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 30．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）设，，，，且，，____ ． 典例八：空间向量中平行、垂直的问题 33．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 34．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 35．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 36．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 典例九：直线的方向向量与平面的法向量 37．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 38．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________. 39．（2026高二·全国·专题练习）已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 40．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 典例十：利用空间向量证明平行与垂直 41．（25-26高三上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 42．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 43．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 44．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)证明：直线平面 (2)是否在线段存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由？ 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $