第5章 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式这一核心知识点，以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，引导学生推导二倍角公式，涵盖公式变形及在求值、化简、证明中的应用，搭建从基础公式到综合运用的学习支架。 该资料通过问题导思推动自主推导，培养逻辑推理素养，设计给角求值、给值求值等典例与对点练提升数学运算能力。课堂小结梳理方法，分层评价助力课后巩固，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标 1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，培养逻辑推理的核心素养． 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用，提升数学运算的核心素养． 任务一　二倍角的正弦、余弦、正切公式 (阅读教材P220－221，完成探究问题1、2) 问题1．请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 提示：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； tan(α＋β)＝． 问题2．当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝． 1.二倍角公式 记法 公式 推导 S2α sin 2α＝2sin αcos α S(α＋β)S2α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C2α cos 2α＝1－2sin2α cos 2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α T2α tan 2α＝ T(α＋β)T2α 2.二倍角公式的变形 (1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α． (2)变形： ①cos2α＝，sin2α＝； ②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α． ［微提醒］　(1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系．(2)正切二倍角的范围：α≠且α≠kπ＋，k∈Z． (链教材P223练习T5)求下列各式的值： (1)sin 15°cos 15°； (2)cos2－sin2； (3)； (4)2cos222.5°－1. 解：(1)sin 15°cos 15°＝． (2)cos2． (3)． (4)2cos222.5°－1＝cos 45°＝． 给角求值问题的解题策略 1.直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． 2.若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，注意利用互余、互补等关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得原式出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 对点练1.求下列各式的值： (1)1－2sin2750°； (2)cos2－cos2； (3)； (4)－． 解：(1)原式＝cos 1 500°＝cos 60°＝． (2)原式＝cos2) ＝cos2． (3)原式＝tan(2×150°) ＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－． (4)原式＝ ＝ ＝ ＝＝4. 任务二　给值求值 (链教材P221例5)已知cos＝，0＜α＜2π，求sin ，cos ，tan的值． 解：由0＜α＜2π，得0＜． 所以sin ； cos ； tan ． 解决给值求值问题的方法 1.给值求值问题：注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化． (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 2.注意几种公式的灵活应用 (1)sin 2x＝cos(－x)． (2)cos 2x＝sin(－x)． 对点练2.已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝． (1)求的值； (2)求的值． 解：由sin θ＋cos θ＝，① 两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0. 因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，cos θ＜0， sin θ－cos θ＝，② 由①②得sin θ＝，cos θ＝－． (1) ＝ ＝． (2) ＝＝2sin θcos θ＝－． 任务三　利用倍角公式化简与证明 (1)化简：，其中α∈(，2π)． (2)求证：＝tan θ． 解：(1)因为α∈(，2π)，所以cos α＞0，sin α＜0，，π)，所以sin ＜0，|sin )． (2)证明：左边＝ ＝＝tan θ＝右边． 所以等式成立． 三角函数式的化简方法 　　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等． 对点练3.(1)化简：＝　　　　； (2)化简：＝　　　　． 答案：(1)1　(2)sin 2α 解析：(1)原式＝＝1. (2)原式＝sin 2α． 任务再现 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导．(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明 方法提炼 公式法、转化法 误区警示 (1)化简求值开根号时，忽视角的范围、题中隐含的条件．(2)注意角的倍数关系 1.计算：2sin 75°cos 75°＝(　　) A．－1 B．2 C．－ D． 答案：D 解析：2sin 75°cos 75°＝sin 150°＝sin 30°＝．故选D． 2.若sin α＝－3cos α，则tan 2α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：因为sin α＝－3cos α，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝．故选A． 3.已知α∈(－，0)，cos(α－)＝－，则sin 2α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为cos(α－－α)＝sin α＝－，且α∈(－，0)，所以cos α＝，则sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－．故选B． 4.已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝　　　　． 答案： 解析：由题意得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，所以(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，所以2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，所以2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.因为α为锐角，所以cos2α≠0，sin α＋1≠0，所以2sin α－1＝0，所以sin α＝，所以α＝． 课时分层评价54　二倍角的正弦、余弦、正切公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.cos475°－sin475°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：cos475°－sin475°＝(cos275°－sin275°)(cos275°＋sin275°)＝cos275°－sin275°＝cos 150°＝－．故选A． 2.已知sin θ＝，sin θ·cos θ＜0，则sin 2θ的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：由sin θ＝，sin θ·cos θ＜0，则cos θ＜0，所以cos θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2×．故选B． 3.化简：＝(　　) A．sin 2－cos 2 B．cos 2－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2 答案：A 解析： ＝sin 2－cos 2.故选A． 4.＝(　　) A． B．－ C．－1 D.1 答案：B 解析：原式＝．故选B． 5.已知tan＝2，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由tan．故选A． 6.(多选)下列各式中，值为的是(　　) A． B．sin2－sin2 C．cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D． 答案：AB 解析：对于A， ．故选AB． 7.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝　　　　． 答案： 解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋． 8.化简：＝　　　． 答案：sin 4α 解析：原式＝2cos2α·(－cos 2α)·＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α＝sin 4α． 9.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为　　　　． 答案： 解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝． 10.(10分)已知α为锐角，且sin ＋cos ＝，求sin α及tan 2α的值． 解：因为sin ， 所以sin2，即1＋sin α＝，所以sin α＝． 因为α为锐角，所以cos α＝， 所以tan α＝， 所以tan 2α＝． (11—13每小题5分，共15分) 11.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝ ＝ ＝．故选A． 12.(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：cos α＝2cos2，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin(α－(sin α－cos α)＝．故选D． 13.＋32cos212°＝　　　　． 答案：16 解析：原式＝＋16cos 24°＋16＝－16cos 24°＋16cos 24°＋16＝16. 14.(10分)已知cos x＝，且x∈(－，0)，求cos(2x＋)＋sin2x的值． 解：因为cos x＝，0)， 所以sin x＝－． 所以sin 2x＝2sin xcos x＝－． 所以 ＝． 15.(5分)(新情境)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　) A.4 B．＋1 C.2 D．－1 答案：C 解析：由题意可知2sin 18°＝m＝＝2.故选C． 16.(15分)(新定义)我们规定把［cos2(B＋A)＋cos2B＋cos2(B－A)］叫做B对A的余弦方差，那么对于任意实数B，B对的余弦方差是多少？ 解：由题意，B对］ ＝)］ ＝) ＝． 学科网（北京）股份有限公司 $