第2章 重点突破1 基本不等式的综合应用-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦基本不等式及其变形的应用这一核心知识点，系统梳理利用“1”的代换、消元法、换元法求最值，以及求参数范围、证明不等式等内容，构建从基础变形到综合问题的学习支架。 该资料通过典例解析与规律方法结合，培养逻辑推理及数学运算核心素养，如“1”代换求最值、消元法转化变量等实例。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用． 2.能构造基本不等式求最值，并求解一些综合问题，培养逻辑推理及数学运算的核心素养． 类型一　利用基本不等式求最值 角度1　巧用“1”的代换求最值 已知a＞0，b＞0，3a＋b＝2ab，求a＋b的最小值． 解：因为a＞0，b＞0，且3a＋b＝2ab， 所以＝1， 则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2， 当且仅当时等号成立， 即a＝时取等号， 则a＋b的最小值为2＋． 　　常数代换通常是指“1”的代换，“1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 角度2　消元法求最值 已知实数x，y满足xy＋3x＝3，且0＜x＜，求＋的最小值． 解：因为实数x，y满足xy＋3x＝3(0＜x＜)， 所以x＝，解得y＞3. 则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6 ≥2＋6＝8， 当且仅当y－3＝时，等号成立． 故的最小值为8. 　　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，转化为只含一个变量的最值问题． 角度3　换元法求最值 若a＞0，b＞0，且＋＝1，求a＋2b的最小值． 解：令解得 所以＋＝1，a＋2b＝＋－. 因为＋＝＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝，即m＝n＞0时取等号， 所以a＋2b＝＋－≥ ＋. 故a＋2b的最小值为＋. 　　若题目中的条件是含两个分式的求最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分别运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 对点练1.(1)已知x＞0，y＞0，x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值为　　　　． (2)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，x＋2y的最小值为　　　　． (3)已知x，y为正实数，则＋的最小值为　　　　． 答案：(1)18　(2)4　(3)6－4 解析：(1)因为x＞0，y＞0，x＋8y＝xy，所以＋＝1，所以x＋2y＝（＋）(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时等号成立.所以x＋2y的最小值为18. (2)由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8，所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立.所以x＋2y的最小值为4. (3)令＝t＞0，则＋＝2t＋＝2(t＋2)＋－4≥2－4＝6－4，当且仅当2(t＋2)＝，即＝t＝－2时，等号成立.所以＋的最小值为6－4. 类型二　利用基本不等式求参数的值(范围) 已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案：B 解析：因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立.只需m≤(2a＋b)（＋）恒成立，又(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.故实数m的最大值为9.故选B. 求参数的值或取值范围的一般方法 1.分离参数，转化为求代数式的最值问题． 2.观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围． 3.注意等号的取舍，防止失误． 对点练2.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y＞4＋2m恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　． 答案：{m|m＜2} 解析：因为x＞0，y＞0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立.由x＋2y＞4＋2m恒成立，可知4＋2m＜8，解得m＜2，所以实数m的取值范围是{m｜m＜2}. 类型三　利用基本不等式证明不等式 已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝1，a，b，c不全相等，求证：＋＋＞＋＋． 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以①，当且仅当a＝b时等号成立， ②，当且仅当b＝c时等号成立， ③，当且仅当a＝c时等号成立， 由①＋②＋③，得 2≥2，当且仅当a＝b＝c时等号成立， 所以＋＋≥＋＋＝. 又abc＝1，且a，b，c不全相等， 所以＋＋＞＋＋. 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 1.策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求证的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“求知”． 2.注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用． 对点练3.已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：因为x，y都是正数， 所以x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0， 所以x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0，当且仅当x＝y时等号成立， 所以(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． 1.若正数a，b满足2a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案：C 解析：因为正数a，b满足2a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋－1＝(2a＋b)－1＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝4a＝时取等号，所以＋的最小值为8.故选C. 2.若对∀x＞－1，不等式x＋≥a－2 026恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　． 答案：{a|a≤2 027} 解析：因为x＞－1，所以x＋1＞0，则x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立．由题意可得a－2 026≤min＝1，即a≤2 027. 3.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为　　　　． 答案：5＋2 解析：由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a＞0，b＞0，所以a＝＞0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋2. 4.设a＞0，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为　　　　． 答案：3 解析：设＝m，＝n，所以m＞0，n＞0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9.由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)，则(m＋n)2≤18，所以0＜m＋n≤3，当且仅当m＝n＝时，等号成立，故＋的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $