第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过体系构建图系统梳理了不等式知识体系，涵盖不等式性质、基本不等式、一元二次不等式解法、恒成立问题及实际应用，以分层探究形式呈现知识脉络，突出各模块内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“典例-规律-对点练”三阶设计，如基本不等式求最值中“凑项法”“换元法”的技巧总结，培养数学思维与运算能力。高考真题溯源链接教材，单元检测卷分层设题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

章末综合提升 探究点一　不等式及其性质 (1)若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋x＜b＋y B．ax＞by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x＜(a－b)y (2)已知0＜a＜，且M＝－，N＝－，则M，N的大小关系为(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)因为当a≠0时，|a|＞0.由x＞y，得|a|x＞|a|y；由a＝0时，|a|x＝|a|y．因此|a|x≥|a|y．选项A、B、D均不满足不等式性质，不正确．故选C． (2)因为0＜a＜，所以1＋a＞0，1＋b＞0，ab＜1.M－N＝－－＝＋＝＞0，所以M＞N.故选A. 1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等． 2.运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性．判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题． 对点练1.(1)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．＜b B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| (2)已知2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6. ①求x的取值范围； ②求的取值范围； ③求2x－3y的取值范围． 答案：(1)C 解析：(1)取a＝1，b＝－1，排除选项A、B；取c＝0，排除选项D；显然成立．故选C． (2)①因为2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6， 所以5＜2x＜11，则． ②因为2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6， 所以＜3. ③设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，m，n∈R， 则2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y， 所以 所以2x－3y＝－(x－y)． 因为2＜x＋y＜5， 所以－(x＋y)＜－1①． 因为3＜x－y＜6， 所以(x－y)＜15②． ①＋②得5＜－(x－y)＜14. 即5＜2x－3y＜14. 探究点二　利用基本不等式求最值 (1)已知x＞1，则3x＋的最小值为　　　　． (2)已知a＞0，b＞0，若a2＋9b2＋3ab＝27，则a＋3b的最大值为　　　　． 答案：(1)2＋3　(2)6 解析：(1)因为x＞1，所以x－1＞0， 所以3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立， 所以3x＋＋3. (2)因为a2＋9b2＋3ab＝(a＋3b)2－3ab≥(a＋3b)2－＝(a＋3b)2， 当且仅当a＝3b时，等号成立， 所以(a＋3b)2≤27， 则0＜a＋3b≤6，所以a＋3b的最大值为6. 利用基本不等式求最值的三种解题技巧 1.凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值． 2.凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值． 3.换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后把式子转化为多项式(或将分母换元后把式子转化为多项式)，再利用基本不等式求最值． ［注意］　利用基本不等式求最值的前提：一正、二定、三相等． 对点练2.(1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为　　　　． (2)已知x＞1，y＞1，则＋的最小值为　　　　． 答案：(1)　(2)16 解析：(1)因为x＋y＝1，所以x＋y＋1＝2，则＋＝××(x＋y＋1)＝（3＋＋）≥＝，当且仅当＝，即x＝2－2，y＝3－2时等号成立，所以＋的最小值为. (2)由题意得x－1＞0，y－1＞0，令m＝x－1，n＝y－1，则＋＝＋≥＋＝8≥8×2＝16，当且仅当m＝n＝2时，两个等号同时成立，所以当x＝y＝3时，＋有最小值，为16. 探究点三　一元二次不等式的解法 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＞0. 解：原不等式可化为［x－(a＋1)］［x－2(a－1)］＞0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小： ①当a＋1＞2(a－1)，即a＜3时，x＞a＋1或x＜2(a－1)． ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4. ③当a＋1＜2(a－1)，即a＞3时，x＞2(a－1)，或x＜a＋1. 综上：当a＜3时，解集为{x|x＞a＋1，或x＜2(a－1)}， 当a＝3时，解集为{x|x≠4}， 当a＞3时，解集为{x|x＞2(a－1)，或x＜a＋1}． 一元二次不等式的解法 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 对点练3.(1)不等式≥1的解集为(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x≥1，或x≤0} C．{x|x＞1，或x≤0} D．{x|0≤x＜1} (2)已知不等式ax2＋5x－2＞0的解集是M． ①若2∈M，求a的取值范围； ②若M＝，求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集． 答案：(1)C 解析：(1)不等式≥1可化为≥0， 则解得x≤0，或x＞1.故选C． (2)①因为2∈M，所以a×22＋5×2－2＞0，解得a＞－2，即a的取值范围是{a|a＞－2}． ②因为M＝，2是方程ax2＋5x－2＝0的两个根． 由根与系数间的关系得 解得a＝－2，所以不等式ax2－5x＋a2－1＞0即为－2x2－5x＋3＞0，即2x2＋5x－3＜0. 对于方程2x2＋5x－3＝0，因为Δ＞0，所以它有两个不等的实数根，解得x1＝－3，x2＝， 所以不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集为． 探究点四　不等式恒成立问题 已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a∈［4，6］时，y≥0恒成立，求实数x的取值范围． 解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， 故实数a的取值范围是{a|－6≤a≤2}． (2)将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈［4，6］时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， 即 解得x≤－3－，或x≥－3＋， 故实数x的取值范围是{x｜x≤－3－，或x≥－3＋}. 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 1.利用一元二次不等式判别式与图形相结合． 2.分离参数法． 3.转化为最大(小)值问题． 对点练4.已知x＞0，y＞0，且＋＝2，若x＋2y＞m2－3m－1恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≤－1，或m≥4 B．m≤－4，或m≥1 C．－1＜m＜4 D．－4＜m＜1 答案：C 解析：由＋＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋，所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，所以(x＋2y)min＝3，所以x＋2y＞m2－3m－1恒成立，可化为3＞m2－3m－1，即m2－3m－4＜0，解得－1＜m＜4.故选C. 探究点五　不等式在解决实际问题中的应用 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y(单位：万元)与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润与上年度相比有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意得y＝［12(1＋0.75x)－10(1＋x)］×10 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润与上年度相比有所增加，则y－(12－10)×10 000＞0(0＜x＜1)， 即－6 000x2＋2 000x＞0(0＜x＜1)， 解得0＜x＜，所以投入成本增加的比例x的取值范围是. 解决实际问题的关注点 1.审题要准，初步建模． 2.设出变量，列出函数关系式． 3.根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题． 对点练5.现要围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． (1)用x表示y； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解：(1)设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，由已知得xa＝360，得a＝． 所以y＝225x＋－360＝225x＋－360(x＞0). (2)因为x＞0， 所以225x＋≥2＝10 800， 所以y＝225x＋－360≥10 440，当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立. 故当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元. (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案：BC 解析：因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.取x＝，y＝－，则x2＋y2＝，故C正确，D错误.故选BC. 溯源：(教材P58复习参考题2T5)若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围． 点评：该高考题与教材复习题都是条件求最值问题，都涉及x＋y与xy的转化及不等关系，考查内容及解题方法均相同． (1)(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为　　　　． (2)(2019·天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为　　　　． 答案：(1)4　(2)4 解析：(1)＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即(a＋b)2＝16，即a＋b＝4时取等号.又因为ab＝1，所以或时取等号，所以＋＋的最小值为4. (2)因为x＋2y＝5，x＞0，y＞0，所以＝＝＝2＋≥2 ＝4，当且仅当即或时，等号成立，即原式取得最小值4. 溯源：(教材P46练习T2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证： (1)＋＞2；(2)＜． 点评：以上两道高考题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似 ． 单元检测卷(二)　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.不等式(x＋1)(x－3)＜0的解集为(　　) A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1} C．{x|x＜－1，或x＞3} D．{x|x＜－3，或x＞1} 答案：A 解析：不等式(x＋1)(x－3)＜0的解集为{x|－1＜x＜3}．故选A． 2.已知－b＜a＜0，则下列不等式中正确的是(　　) A．＞ B．a2＞b2 C．＞ D．|a|＞b 答案：C 解析：因为－b＜a＜0，所以b＞0＞a，所以＜，故A错误；当a＝－，b＝1时，a2＜b2，故B错误；因为a－b＜a＜0，所以＞，故C正确；当a＝－1，b＝2时，|a|＜b，故D错误.故选C. 3.已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　) A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．M≥N 答案：B 解析：M－N＝(2p＋1)(p－3)－［(p－6)(p＋3)＋10］＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4＞0，所以M＞N．故选B． 4.已知m＜8，则m＋的最大值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案：A 解析：因为m＜8，则m－8＜0，可得－＝＋－8≥2－8＝－4，即m＋≤4，当且仅当8－m＝，即m＝6时，等号成立，所以m＋的最大值为4.故选A. 5.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．如果a克糖水中含有b克糖(a＞b＞0)，再添加n克糖(n＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是(　　) A．＞ B．＞ C．≥ D．＞ 答案：A 解析：由题意可知，加入n克糖(n＞0)后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为；所以＞.故选A. 6.已知关于x的不等式x2－ax＋b≤0的解集为，则关于x的不等式x2－bx＋a＜0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：根据题意，方程x2－ax＋b＝0的两根为2和3，则a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6，则x2－bx＋a＜0为x2－6x＋5＜0，其解集为．故选D． 7.(2026·安徽淮南期末模拟)“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充分不必要条件可以是(　　) A．m≤1 B．m≥1 C．m≥2 D．m≤3 答案：C 解析：不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立，则Δ＝4－4m≤0，解得m≥1，选项中满足是集合{m|m≥1}真子集的是选项C，所以所求充分不必要条件是C．故选C． 8.(2025·安徽池州期末测试)若存在正实数x，y，使得等式＋＝1和不等式x＋＜3m2－m都成立，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由＋＝1，得x＋＝＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立，即x＋≥4恒成立.根据题意，得4＜3m2－m，即3m2－m－4＝＞0，解得m＜－1或m＞.故选B. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9.下列不等式中，推理正确的是(　　) A．若x＞y＞z，则＞ B．若＜＜0，则ab＞b2 C．若a2x＞a2y，则x＞y D．若a＞b＞0，c＞0 ，则a－c＞b－c 答案：CD 解析：对于A，例如1＞－2＞－3，此时＜，故A错误；对于B，若＜＜0，可得b＜a＜0，则ab＜b2，故B错误；对于C，由a2x＞a2y，可得a2(x－y)＞0，可得x－y＞0，即x＞y，故C正确；对于D，a＞b＞0，c＞0，由不等式的性质，可得a－c＞b－c，故D正确.故选CD. 10.(2026·广东汕头质量监测)已知不等式f＝kx2＋x－2，下列说法正确的有(　　) A．若k＝－，则不等式f＞0的解集为∅ B．若k＞0，则不等式f＜0的解集为 C．若∀x∈R，f＋x＜0恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式f＜0成立，则实数k的取值范围是 答案：ABD 解析：f＝kx2＋x－2＝.对于A，若k＝－，f＝＝－≤0恒成立，所以f＞0的解集为⌀，故A正确；对于B，若k＞0，则＞－2，f＜0的解集为，故B正确；对于C，f＋x＜0恒成立，即kx2＋2kx－2＜0，当k≠0时，等价于⇒解不等式组得－2＜k＜0，所以整数k的取值为－1；当k＝0时，kx2＋2kx－2＜0恒成立，满足题意.综上所述，整数k的取值集合为，故C错误；对于D，当k＝0时，f(x)＝－x－2＜0的解集为{x｜x＞－2}，易知该解集中不止两个整数解，不合题意，舍去；当＜－2时，f＝＜0的解集为，易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去.当－2≤＜0时，f(x)＝(kx－1)(x＋2)＜0的解集为，易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去，当＞0时，f＝＜0的解集为，若该解集中恰有两个整数解，则0＜≤1，解得k≥1.综上，实数k的取值范围是{k｜k≥1}，故D正确.故选ABD. 11.(2026·四川成都高二测试)已知关于x的不等式x2＋x－1＞0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a＋2b＝1 B．＋的最大值为 C．＋的最小值为3＋2 D．a2＋b2的最小值为 答案：ABC 解析：对于A，由题意得，－1是x2＋x－1＝0的两个根，故－1＝－，－＝，消去m得a＋2b＝1，故A正确；对于B，(＋)2＝a＋2b＋2＝1＋2，a＞0，b＞0，由基本不等式得≤＝，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立，则＝1＋2≤2，故＋≤，故B正确；对于C，a＋2b＝1⇒a＋1＋2＝4⇒＋＝1，由基本不等式得＋＝＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝3－2，a＝4－5时，等号成立，故C正确；对于D，a＞0，b＞0，a＝1－2b＞0，解得0＜b＜，a2＋b2＝(1－2b)2＋b2＝5b2－4b＋1＝5＋，故当b＝时，a2＋b2取得最小值，故D错误.故选ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上．) 12.若关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是　　　　　　 ． 答案： 解析：当m＝0时，不等式为－5x≤0⇒x≥0，显然不符合题意；当m≠0时，因为关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，所以有⇒m≤－，所以实数m的取值范围是. 13.实数a，b满足4≤a＋b≤7，2≤a－b≤3.则3a－2b的取值范围是　　　　． 答案：7≤3a－2b≤11 解析：设3a－2b＝x＋y，所以解得即3a－2b＝＋.因为2≤a－b≤3，所以5≤≤.又4≤a＋b≤7，所以2≤≤，所以7≤3a－2b＝＋≤11. 14.已知实数a，b满足a＞1，b＞0且2a＋2b－ab－2＝0，那么a＋2b的最小值为　　　． 答案：10 解析：实数a，b满足a＞1，b＞0且2a＋2b－ab－2＝0，所以＋＝1，所以a＋2b＝a－1＋2b＋1＝(a－1＋2b)＋1＝＋＋6≥2＋6＝10，当且仅当＝，即a＝4，b＝3时取等号. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 15.(13分)求下列不等式的解集： (1)－x2＋14x－45＞0； (2)≥1. 解：(1)不等式－x2＋14x－45＞0， 即＜0，解得5＜x＜9， 故不等式的解集为． (2)不等式≥1变形为－1＝≥0，则 解得3≤x＜5， 故不等式的解集为． 16.(15分)设实数a＞0，b＞0. (1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； (2)若a＋b＝2ab，求ab的最小值． 解：(1)证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， 所以a2＋3b2≥2b(a＋b)． (2)因为a＞0，b＞0， 所以2ab＝a＋b≥2≥1，所以ab≥1， 当且仅当a＝b时，即a＝b＝1时取等号． 故ab的最小值为1. 17.(15分)甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100(km/h)，若货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度v的平方的倍，固定成本为a元． (1)将全程运输成本y(元)表示为速度v的函数； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 解：(1)由题意得可变成本为元，固定成本为a元，所用时间为， 则y＝(0＜v≤1 00)． (2)由(1)得，y＝1 000≥1 000×2＝1 000，当且仅当v＝，即v＝2时取等号. 又0＜v≤100， 所以当0＜a≤7 500时，货车以v＝2km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当a＞7 500时，货车以100 km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 18.(17分)设y＝mx2＋(1－m)x＋m－2. (1)若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在(1)的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式y＜m－1. 解：(1)由y≥－2恒成立得，mx2＋(1－m)x＋m≥0对一切实数x恒成立． 当m＝0时，不等式为x≥0，不合题意； 当m≠0时，解得m≥. 综上所述：实数m的取值范围是． (2)因为m≥， 所以＝＝m＋1＋ ≥2＝4，当且仅当m＋1＝，即m＝1时取等号，所以的最小值为4. (3)由mx2＋(1－m)x＋m－2＜m－1得mx2＋(1－m)x－1＝(mx＋1)(x－1)＜0. ①当m＝0时，x－1＜0，解得：x＜1，即不等式解集为{x|x＜1}； ②当m≠0时，令mx2＋(1－m)x－1＝0，解得：x1＝1，x2＝－； 1)当－＜0，即m＞0时，不等式解集为； 2)当0＜－＜1，即m＜－1时，不等式解集为； 3)当－＝1，即m＝－1时，不等式可化为x2－2x＋1＝(x－1)2＞0， 所以x≠1，所以不等式解集为{x|x≠1}； 4)当－＞1，即－1＜m＜0时，不等式解集为； 综上所述：当m＝0时，不等式解集为{x|x＜1}； 当m＞0时，不等式解集为； 当m＜－1时，不等式解集为； 当m＝－1时，不等式解集为{x|x≠1}； 当－1＜m＜0时，不等式解集为． 19.(17分)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”． (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点P是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数k，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由． 解：(1)根据题设中的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为和. (2)点P的“下位点”． 证明：因为点的“上位点”， 所以． 又因为a，b，c，d均大于0， 所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 所以－＝＝＜0，即＞，即＞， 所以点P是点的“下位点”. (3)可证点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”. 证明：因为点是点的“上位点”，所以＞. 因为a，b，c，d均大于0，所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 所以－＝＝＝＞0，即＞， 所以点P是点的“上位点”. 同理可得－＝＝＜0，即＞， 所以点P是点的“下位点”， 所以点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”. 根据题意知，点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对m∈时恒成立， 根据上述的结论可知，当n＝2 026＋2 027＝4 053，k＝2m＋1时，满足条件． 故n＝4 053. 学科网（北京）股份有限公司 $