第1章 1.2 集合间的基本关系-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理子集（含Venn图表示）、集合相等、真子集、空集的概念及性质，子集个数规律与由集合关系求参数的方法，通过实例观察、概念构建到应用的学习支架，衔接前后知识。 资料以问题驱动探究（如实例引入子集）培养数学抽象，数形结合（Venn图、数轴）发展直观想象，分层练习（典例变式）提升逻辑推理。课中辅助教师系统授课，课后助力学生回顾强化，有效查漏补缺。

1.2　集合间的基本关系 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用，培养数学抽象和直观想象的核心素养． 3.在具体情境中，了解空集的含义，培养数学抽象的核心素养． 任务一　子集 (阅读教材P7，完成探究问题1) 问题1.观察下面的几个例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)A＝{高一年级的女生}，B＝{高一年级的全体学生}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 上述实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：集合A中的元素都是集合B中的元素；实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素． 1.Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形为Venn图． 2.子集 文字叙述 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 符号表示 记作：A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图表示 ［微提醒］　(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B．(2)“A⊆B”不能理解为B比A大，它有两种可能：①A是B的一部分，②A与B是同一个集合． ［微思考］　1.任何两个集合之间是否都有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，1}，这两个集合没有包含关系． 2.符号“∈”与“⊆”有什么不同？ 提示：符号“∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合与集合之间的关系． 3.集合相等 文字叙述 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 符号表示 若A⊆B且B⊆A，则A＝B Venn图表示 ［微提醒］　集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致． (链教材P9练习T3)判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； (3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B． (3)正方形是特殊的矩形，故A⊆B． (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M． 判断集合间关系的常用方法 对点练1.(1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　) A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆P C．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P (2)如果集合A＝{x|x∈Z，且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A，B的关系为　　　　． 答案：(1)B　(2)B⊆A 解析：(1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，则Q⊆M⊆N⊆P．故选B． (2)因为x∈Z，所以x2∈Z，且x2≥0.因为A＝{x|x∈Z，且x≥0}，所以x2∈A．故B⊆A． 任务二　真子集与空集 (阅读教材P8，完成探究问题2) 问题2.观察下面两个例子，回答问题： ①集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； ②集合M＝{x∈R|x2－2x＋2＝0}． (1)集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：不全是.1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素． (2)集合M中有多少个元素？ 提示：集合M中没有元素． 1.真子集 文字叙述 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 符号表示 记作：A⫋B或B⫌A 读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图表示 ［微提醒］　(1)A是B的真子集的含义：A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． (2)符号⊆，⫋，⊇，⫌表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包含“⫋”和“＝”两种情况． 2.集合间关系的性质 (1)自反性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A． (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若A⫋B，B⫋C，则A⫋C． 3.空集 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特征 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅⫋A ［微提醒］　∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；而{0}是含有一个元素的集合，且∅⫋{0}． ［微思考］　能不能说空集是任何集合的真子集？ 提示：不能，空集不是空集的真子集，但能说空集是任何非空集合的真子集． (链教材P8例1)填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 真子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} {a，b，c，d} (1)你能直接说出集合{a，b，c，d，e}的子集与真子集的个数吗？ (2)假设给定的集合含有n个元素，能否猜想其子集、真子集、非空子集及非空真子集的个数？ 解：填表 集合 集合的子集 子集的个数 真子集的个数 ∅ ∅ 1 0 {a} ∅，{a} 2 1 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 3 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 7 {a，b，c，d} ∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 15 (1)集合{a，b，c，d，e}共有32个子集，31个真子集． (2)假设给定的集合含有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 求集合子集、真子集个数的三个步骤 ［注意］　求给定集合的子集：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．(2)在写子集时不要忘记空集和集合本身． 对点练2.若集合A满足{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则集合A所有可能的情形有(　　) A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 答案：C 解析：由{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，可知集合A必有元素，且至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：，，，，，，七种可能.故选C. 任务三　由集合间的关系求参数(范围) (链教材P9习题T5(2))已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：{m|3≤m≤4} 解析：因为A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}． ［变式探究］　1.(变条件)将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：{m|m＜－5} 解析：①当B＝∅时，有m－6＞2m－1，则m＜－5，此时B⊆A成立； ②当B≠∅时，B⊆A，此时满足 不等式组的解集为∅．由①②可知，实数m的取值范围是{m|m＜－5}． 2.(变条件)将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2＜x＜5}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：{m|3≤m≤4} 解析：因为A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}． 3.(变条件)将“B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B＝{x|m－6＜x＜2m－1}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：{m|3＜m＜4} 解析：因为A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6＜x＜2m－1}，且A⊆B，所以解得3＜m＜4. 所以实数m的取值范围是{m|3＜m＜4}． 由集合间的关系求参数的方法 1.当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论． 2.当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． ［注意］　(1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 对点练3.已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合为(　　) A．{－1，2} B．{－2，1} C．{－2，0，1} D．{－1，0，2} 答案：C 解析：因为B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合为{－2，0，1}．故选C． 对点练4.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若A⫋B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：(1)若A⫋B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a＞2， 所以实数a的取值范围是{a|a＞2}． (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2， 所以实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}． 任务再现 (1)子集、真子集的概念与性质．(2)子集的个数．(3)由集合间的关系求参数(范围) 方法提炼 分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论 易错警示 (1)混淆子集和真子集的概念．(2)在解决问题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位．(3)求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论 1.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 答案：C 解析：由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．故选C． 2.若A＝，则下列说法正确的是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：A＝＝，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；≠，故B错误；－1∉，故C错误；0∈，故D正确.故选D. 3.已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则M　　　N(填“⊆”或“⊇”或“＝”或“≠”)． 答案：＝ 解析：因为M＝{y∈R|y＝|x|}＝{y|y≥0}，N＝{x∈R|x＝m2}＝{x|x≥0}，所以M＝N． 4.已知集合A＝{x|x＞4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：{a|2＜a≤3} 解析：因为B≠∅，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2＜a≤3. 课时分层评价3　集合间的基本关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2a}，若A＝B，则a等于(　　) A．－1 B．1 C．－1或2 D．－1或1 答案：B 解析：集合A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2a}，因为A＝B，所以2a＝2，解得a＝1.故选B． 2.下列四个集合中是空集的是(　　) A． B．{x∈R|x2＋1＝0} C． D．{x|x2＋2x＋1＝0} 答案：B 解析：对于A，集合中有一个元素，故不是空集；对于B，方程x2＋1＝0无实数解，所以集合{x∈R｜x2＋1＝0}为空集；对于C，是无限集，所以不是空集；对于D，{x｜x2＋2x＋1＝0}＝，不是空集.故选B. 3.已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系为(　　) A．M⊆P B．P⊆M C．M＝P D．M，P互不包含 答案：D 解析：由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．故选D． 4.已知集合A＝{x|1＜x＜2 026}，B＝{x|x≤a}．若A⫋B，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥2 026} B．{a|a＞2 026} C．{a|a≥1} D．{a|a＞1} 答案：A 解析：因为A＝{x|1＜x＜2 026}，B＝{x|x≤a}，又A⫋B，所以a≥2 026.故选A． 5.(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　) A．{1，8} B．{2，3} C．{1} D．{2} 答案：AC 解析：因为A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意．故选AC． 6.(多选)下列命题正确的是(　　) A．集合{a，b}的真子集为{a}，{b} B．{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} C．设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{－1，b}，若A＝B，则a－b＝－2 D．{x|x2＋5x＋6＝0，x∈N}＝∅ 答案：BCD 解析：对于A，集合{a，b}的真子集为{a}，{b}，∅，故A不正确；对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以{x|x是菱形}⊆{x|x是平行边形}，故B正确；对于C，由A＝B及集合元素的互异性得a＝－1，b＝1，故a－b＝－2，故C正确；由x2＋5x＋6＝0，得x＝－2或x＝－3，都不是自然数，故为空集，故D正确．故选BCD． 7.设x，y∈R，集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B之间的关系为　　　　． 答案：B⫋A 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B⫋A． 8.若集合A⫋{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有　　　　个． 答案：5 解析：若集合A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若集合A中含有两个奇数，则A＝{1，3}．所以满足题意的集合A有5个． 9.(双空题)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}． (1)若A＝B，则y的值为　　　　； (2)若A⊆C，则实数a的取值范围是　　． 答案：(1)1或3　(2){a|3＜a＜5} 解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3. 综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2＜x＜5}，A⊆C， 所以所以3＜a＜5. 所以a的取值范围是{a|3＜a＜5}． 10.(10分)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B⫋A，求m的取值集合M． 解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 若B＝∅，则m＝0，此时B⫋A． 当B≠∅时，此时B＝． 由B⫋A，得－3＝－， 解之得m＝． 综上所述，m的取值集合为M＝． (11—13每小题5分，共15分) 11.若A＝，B＝，C＝，则这三个集合间的关系为(　　) A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆B C．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B 答案：C 解析：由题意，A＝＝，B＝，C＝＝，而{x|x＝k＋3，k∈Z}＝Z，{x|x＝2k，k∈Z}＝{偶数}，因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，所以C⊆B⊆A．故选C． 12.(多选)已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2a－3＜x＜a－2}，下列结论正确的是(　　) A．不存在实数a使得A＝B B．存在实数a使得A⊆B C．当0≤a≤4时，B⊆A D．存在实数a使得B⊆A 答案：AD 解析：对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，故A正确；对于B，由A⊆B，得即此不等式组无解，故B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合B⊆A；当a＜1时，要使B⊆A，需满足解得2≤a≤4，不满足a＜1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B⊆A，故C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B⊆A，故D正确.故选AD. 13.(易错题)已知集合A＝{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n＝　　　　． 答案：或2 解析：因为集合A＝{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，所以当m＝0时，可得当m≠0时，可得所以m＋n＝或m＋n＝2. 14.(10分)已知集合A＝． (1)若集合B＝，且A＝B，求实数a的值； (2)若集合C＝，且C⊆A，求实数a的取值范围． 解：(1)由集合A＝，B＝，且A＝B， 所以可得此时方程组无解； 或解得a＝5， 所以实数a的值为5. (2)当集合C＝，且C⊆A，可知： 若C＝∅，则； 当C≠∅时，若2∈C，则4a＋4＝0，a＝－1，此时C＝，不满足C⊆A， 若6∈C，则a＝0，此时C＝，满足C⊆A，符合题意； 综上可知，实数a的取值范围是． 15.(5分)(新定义)若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝，B＝，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：当a＝0时，B＝∅，此时B⊆A，即两个集合构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝，此时两个集合不能构成“鲸吞”，则两个集合构成“蚕食”，所以＝2或＝1，解得a＝或a＝2，当a＝时，B＝，两个集合构成“蚕食”，当a＝2时，B＝，两个集合构成“蚕食”，综上可得，a的取值集合为.故选C. 16.(15分)(新定义)定义：若任意m，n∈A(m，n可以相等)，都有1＋mn≠0，则集合B＝称为集合A的生成集． (1)求集合A＝{3，4}的生成集B； (2)若集合A＝{a，2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合A＝{x|－1＜x＜1}，A的生成集为B，求证A＝B． 解：(1)由题可知， ①当m＝n＝3时，x＝， ②当m＝n＝4时，x＝， ③当m＝3，n＝4或m＝4，n＝3时，x＝． (2)①当m＝n＝2时，x＝， ②当m＝n＝a时，x＝， ③当m＝2，n＝a或m＝a，n＝2时，x＝， B的子集个数为4个，则B中有2个元素， 所以， 解得a＝±1或a＝(a＝2舍去)， 所以a＝±1或a＝． (3)证明：∀m，n∈{x|－1＜x＜1}＝A， ＞0， ＜0， 所以－1＜＜1，即B＝{x|－1＜x＜1}， 所以A＝B． 学科网（北京）股份有限公司 $